基于導學案建設的三角形“四心”問題

宋偉

摘 要：三角形的外心、內心、重心、垂心以及三角形的外心與幾何圖形的有機結合，可拓寬應用范圍，使很多幾何問題得以解決，向量法解決“四心”問題可以簡化計算.要注重概念的內含與外延.

關鍵詞：外心；內心；垂心；重心

在高中數學的學習過程中，“四心”問題經常出現在立體幾何與向量問題中.三角形的“四心”問題是學生在學習過程中比較棘手的問題.如果我們對這一問題進行專項訓練和研究會收到良好的效果.我們應該對“四心”的概念及性質做到心中有數，三角形“四心”即外心、內心、重心、垂心.

一、在立體幾何中，經常涉及三角形的“四心”問題

1.常見題型

過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥a，垂足為O，連接PA，PB，PC

（1）若PA=PB=PC，△ABC是直角三角形，則點O是AB邊的 中點.

（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的外心.

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA則點O是△ABC的垂心.

2.三角形的外心在立體幾何中有廣泛的應用

在高考中，有時會涉及空間幾何體的內切及外接球問題，事實證明，學生對這個問題的處理能力非常薄弱，不得要領.很多學生按照思維定式試圖畫出圖形來觀察，結果陷入誤區.要畫出比較直觀的立體圖形是難上加難，但如果抓住要領，不畫球就能解決所有問題，其中特別有一類關于三棱錐和三棱柱的外接球問題.

對于三棱錐或三棱柱的外接球問題，我們首先可以借助于正弦定理求出底面三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理求幾何體外接球半徑.

已知，球的直徑SC=4，A，B是該球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為（ ）

A. B. C. D.1

我們可以通過余弦定理先求出△ABC的∠C的余弦值，再求出∠C的正弦值，然后利用正弦定理求出三角形△ABC的外接圓半徑，△ABC外心和SC中點的連線就是棱錐高的一半，這樣利用勾股定理即可求出棱錐的高，問題得以解決.答案是C.這類題在高考選擇題中都屬于壓軸題目，如果我們選擇了比較合理的方法可以迅速準確地得出問題的答案.

二、向量與三角形“四心”的結合

向量在處理和解決三角形“四心”問題上具有獨到的作用.向量本身具有雙重身份：一是幾何形式——向量既有大小，又有方向，向量可以用有向線段來表示，其運算都具有明確的幾何意義；二是代數形式——平面內任意向量都可以用有序數對來表示，這就使得向量成為了溝通代數與幾何的有力工具.

1.三角形重心的（中線交點）性質

命題1 點O是△ABC的重心的充要條件是

命題2 若點O是△ABC的重心，則S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC

2.三角形內心的（內角平分線交點）性質

命題3 已知I為△ABC所在平面上的一點，且AB=c，AC=b，BC=a.若a+b+c=0，則I為△ABC的內心.

3.三角形垂心的（高線的交點）性質

命題4 P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC的垂心.

4.三角形外心的（中垂線的交點）性質

命題5 O是△ABC的外心

基于三角形“四心”問題在立體幾何與向量問題上的重要性，導學案在設計時首先要明確學生必須要掌握的知識與技能，三角形“四心”的概念和性質.在導學案的設計上可以以一些立體幾何中常見問題為依據，教師引導學生去發現解決這類問題的常用方法.引導學生利用三角形的外心找到解決空間幾何體的外接球問題的方法，給出向量與三角形“四心”的五個常見命題，并展開交流討論.導學案的最后要給學生設計當堂的反饋環節，使得導學案做到有時效性，而不是流于形式.

不論是向量法在解決“四心”問題上的獨到優勢，還是“四心”問題在立體幾何中的有效使用，都給我們提供了解決數學問題的有效途徑.基于導學案解決三角形的“四心”問題更是給我們學生提供了一個強有力地教學平臺，做到有的放矢.

參考文獻：

[1]劉超.三角形四心性質的討論[J].中學數學，2012（12）.

[2]李顯權.簡述三角形四心的優美向量性質[J].中學教研：數學，2011（03）.

注：本文系河北省教育科學研究所《高中基于導學案建設高效課堂的研究》（課題編號：1405455）的研究成果。

編輯 魯翠紅