一道“北約”自主招生試題的另證
2016-01-28 23:07:29喻俊輝
新課程·中學 2015年12期
喻俊輝
2014年“北約”自主招生考試中有這樣一道不等式試題：
設正實數x1，x2，…，xn滿足x1，x2，…，xn=1.證明：
將會發現雖然從n=k過渡到n=k+1依然困難，但是由n=k時命題成立推出n=k-1時命題成立卻是輕而易舉的。那么，能否由此導出對任意的n≥2，n∈N+時（*）成立呢？結論是肯定的，其證明如下：
先用歸納法證明對于k∈N+時，（*）對n=2k成立
即（*）命題對n=k-1成立；綜上所述，由歸納原理，（*）對于一切不小于2的正整數都成立。
這種先由n=21推到n=2k，再由n推到n-1的歸納法叫做反向歸納法。反向歸納法的使用在自主招生與競賽中時常出現，它區別于一般歸納法，適用于從n=k較難過渡到n=k+1，但是由n=k命題成立推出n=k-1時命題成立較易，且對于n=2k時命題的證明較簡單。抓住這個特點很容易分辨哪些問題可以用反向歸納法來
處理。
能用反向歸納法解決的問題特點非常鮮明，較易判斷，用其他做法往往比較困難，有計劃參加競賽或自主招生的學生應加以掌握。
編輯 謝尾合
