函數(shù)思想在解題中的應用

摘 要：函數(shù)思想作為重要的數(shù)學思想之一，其主要是通過運用函數(shù)的性質(zhì)以及概念，去轉(zhuǎn)化、分析和解決問題。高中數(shù)學的主要內(nèi)容就是函數(shù)，近幾年來，函數(shù)也成為各省歷年的高考重點。將函數(shù)思想應用于解方程、不等式、化簡求值和應用試題，從而拓寬學生解題思路，促進學生解決問題能力的提升。

關鍵詞：函數(shù)思想；解題；應用

函數(shù)思想的本質(zhì)是提出數(shù)學對象，將數(shù)量特征抽象化，從而建立函數(shù)關系。高中數(shù)學教學中最值、方程和不等式等問題，都需要運用函數(shù)思想，通過使用函數(shù)思想構建中間函數(shù)，建立函數(shù)關系式，從而有效地解決數(shù)學相關問題。函數(shù)思想的應用，不僅能夠起到化繁為簡的作用，還可達到化難為易的目的。

一、解決方程式問題

雖然函數(shù)和方程是兩個不同的數(shù)學概念，但兩者間又有緊密的聯(lián)系。如果函數(shù)可用解析式表達，那么表達式可看成是一個方程。如果二元方程的兩個未知數(shù)的關系為對應關系，且對應關系是單值的，則可將方程看成函數(shù)。由此可見，解決方程式問題時，可運用函數(shù)思想。

例1.已知實數(shù)a，b，且滿足方程lg（lg3a）=lg（2-b）+lg（b+1），求實數(shù)a的取值范圍。

分析：可以把a看成是b的函數(shù)，原方程就變成函數(shù)式，從而將該問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域。

解：因為lg（3a）=（2-b）（b+1）

所以a=3（2-b）（b+1）（-1

所以b∈（1，）

例2.若關于a的方程25-| a+1|-4×5-| a+1|-x=0有實根，求x的取值范圍。

分析：將方程中的變量a看成自變量，常數(shù)x作為自變量a的函數(shù)，方程就變成函數(shù)式，從而將該問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域。

解：設m=5-|a+1|，則x=m2-4m，其中m∈（0，1]

所以，x=（m-2）2-4∈[-3，0）。

二、解決不等式問題

例1.若f（a）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，對一切p，q∈（0，+∞）都有f（）=f（p）-f（q），且f（4）=1.解不等式f（a+6）-f（）>2。

解：因為f（）=f（p）-f（q），且f（4）=1，

所以f（a+6）-f（）推出f（a+6）-f（）>2f（4）推出f（a2+6a）-f（4）

推出f（）>f（4）。

又由于f（a）是（0，+∞）上的減函數(shù)，因此

>0，a+6>0，<4推出a>0，a>-6，-8

所以原不等式解集為（0，2）

例2.設f（a）是定義在（-∞，3]上的減函數(shù)，已知f（m2-sina）≤

f（m+1+cos2a）對于a∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解：原式等價于m+1+cos2a≤m2-sina≤4對a∈R恒成立，等價于m2≤3+sina，①，m2-m≥1+cos2a+sina，②，對a∈R恒成立。

令x（a）=3+sina，則①對a∈R恒成立，就等價于m2≤x（a）的最小值是2，③

令P（a）=1+cos2a+sina=-（sina-）2+≤。

則②對a∈R恒成立，等價于m2-m≤。④

由③、④可知，所有實數(shù)m的取值范圍為[一，]。

三、解決化簡求值問題

例1.若p，q是實數(shù)，且x>+2+，化簡|1-2x|++.

解：因為f（y）++2+的定義域為{1}，

所以，x>。

所以，原式=2x-1+x+1+x+2=4x+2。

例2.已知（p+2q）5+p5+2p+2q=0，求p+q的值。

解：原方程可變?yōu)椋╬+2q）5+（p+2q）=-（p5+p），①

設f（x）=p5+p，那么f（x）在R上是奇函數(shù)且為增函數(shù)。

①式可變成f（p+2q）=-f（p），即f（p+2q）=f（-p）

所以，p+2q=-p，

所以，p+q=0。

四、解決應用試題

例1.在aOb平面上給以曲線b2-2a=0，設點Z坐標為（，0），求曲線上距點Z最近點W的坐標和相應距離WZ。

解：設W（a，b）為曲線上任意一點，則b2=2a（a≥0），

則WZ2=（a-）2+b2=（a+）2+.

因為a≥0

所以a=0時，WZ有最小值，此時W點坐標為（0，0）。

【總結】

通過上述幾類數(shù)學問題的解答來看，函數(shù)思想在數(shù)學教學的應用十分廣泛，解方程、不等式、化簡求值和應用試題等均用到了函數(shù)思想，由此可見，函數(shù)思想是數(shù)學最常見也是最重要的一種思想。學生在學習過程中，要認認真真地掌握函數(shù)思想的相關知識，并能夠運用函數(shù)知識解決實際問題，不斷總結解題經(jīng)驗，提高自身解決問題的能力。

參考文獻：

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[3]丁亞萍.函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的應用分析[J].高中數(shù)理化，2014（24）：13.

作者簡介：趙遠揚，男，高中數(shù)學教師，單位：豐縣廣宇中英文學校。

編輯 張珍珍