對中考中類比探究類題型的一點思考

薄建軍

近幾年中考中最后兩個大題經常出現類比探究類題型，這類題目往往突出能力與發展性，側重于對考生數學思想和數學方法的考查。針對這類題目，我認為可從以下兩方面考慮。

1.執果索因即反證法。先假設結論成立，根據假設進行推理，繼而進行推理與計算。

2.類比為主，探究為輔。這類題目往往多問，這些問題常常是層層深入，但解題方法又是一脈相承的。并且第一問又相對簡單，所以，我們一定要把第一問做出來，這時候先抓住類比，類比共性的特征，有共性特征的都可以類比，當我們發現類比不下去的時候再去探究，看看第一問是否有其他的解題方法，如果有，第二問再按照另外的解題方法去遷移。

下面我借助一道在不同省市考卷中出現的類似題目進行說明。

（2010·無錫）（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點。若∠AMN=90°，求證：AM=MN。

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明。

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME。正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE。

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由。

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當∠AMN=時，結論AM=MN仍然

成立。

分析：（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN。

（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后，根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN。

（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內角，即等于時，結論AM=MN仍然成立。

但在2014年東營中考中將該題圖形進行了變式，同時去掉了題干中證明兩線段相等的思路，如下所示。

（2014·東營）如圖3，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F。當點E是BC的中點時，有AE=EF成立。

【數學思考】某數學興趣小組在探究AE、EF的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，通過驗證得出如下結論：當點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其他條件不變），結論AE=EF仍然成立。

假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”“點E是線段BC延長線上的任意一點”“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進行證明。

【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結論求出S△ABC ∶ S△AEF的值。

許多學生在證明點E是BC的中點，AE=EF時采用了過F作BC垂線，設其中一條線段長，利用三角函數求出AE與EF的辦法進行了證明，結果再想采用類比的辦法解答下面幾道題時遇到了困難，自己“掉進了自己設置的陷阱”。這也就是我所說的第二點，當發現類比不下去的時候，看看第一問是否有其他的解題方法，如果有，第二問再按照另外的解題方法進行解答。

編輯 張珍珍