我關于探究“分式方程的解法”的新思考

徐文波

摘 要：蘇科版數學“8.5分式方程”是一堂經典的課，這一節難點是引導學生探究分式方程的解法和理解分式方程產生增根的原因。以往的教學方法都是，在解整式方程的基礎上，引導學生采用類比的方法，得出分式方程的解法。就分式方程解法的探究方式談談看法，這節課如果能從分式等于零的角度出發，引導學生總結出分式方程的解法。

關鍵詞：分式方程；分式；增根

蘇科版數學“8.5分式方程”是一堂經典的課，這一節的難點是引導學生探究分式方程的解法，并讓學生理解分式方程產生增根的原因。有不少老師在講公開課的時候，都會選擇這一節課。我也聽了不少這一節的公開課，有經驗豐富的老教師，也有年輕有為的名教師。但所聽到的課都大相徑庭，都是在讓學生模仿解整式方程的基礎上解分式方程，即先讓學生去分母，最后讓學生檢驗。通過老師的耐心講解和大量練習，最后學生都知道了如何解分式方程，也知道要把根代入最簡公分母去檢驗。可很多學生卻不能理解為什么要檢驗，為什么要代入最簡公分母里檢驗。這里，關于這一節的教學，關于分式方程解法的探究方法，我想從“一個分式等于零”的角度談談另外一種探究方式，讓學生從根本上理解分式方程的解法。

我簡單地設計了如下探究過程：

探究一：如果分式=0，那么A和B應該滿足什么條件？為什么？

這時學生在以往的知識基礎上很容易得出：A=0且B≠0。因為分母不能等于零。

探究二：那么如果=0，你能猜出x的值嗎？x能等于-1嗎？

在探究一的基礎上，學生能夠得出：x=0且x≠-1當x=0時，x+1≠0，于是x=0就是方程的解。

探究三：你能把=0變形為=0的形式嗎？你能算出x的值嗎？x能等于-1嗎？

這時學生在老師的引導下能把方程左邊變形成：=0，進而得出：x=2且x≠-1。當x=2時，x+1≠0。于是x=2就是方程的解。

探究四：在前面的基礎上，你能把分式方程變形為=0嗎？你能解出分式方程嗎？分式方程呢？

對于引導學生把它變形為=0的形式，例如：

通分得：

移項得：=0，即=0。這時學生能夠得到24x-20（x+1）=0且x（x+1）≠0，得到x=5，而且當x=5時，x（x+1）≠0。于是得到x=5就是分式方程的解。

通過這樣的引導，學生知道采用把一個分式方程變形為=0的形式來解分式方程，當然這種方法很笨，很繁，可是卻能讓學生從根本上去理解“分式方程的解法”。當然更符合學生的知識發展順序，也符合數學的嚴密性、邏輯性。

接下來我們就可以在這種笨方法的基礎上，開始簡化這種

方法。

可以讓學生觀察剛才解分式方程的過程，把和=0和24x-20（x+1）=0放在一起比較，讓學生思考我們最終解出x=5是利用哪個方程解出來的？我們又是如何得到整式方程24x-20（x+1）=0的呢？對于整式x（x+1）又有什么用呢？是最后考慮它，還是先考慮它呢？對于分式方程你認為我們還可以怎樣去解呢？

通過這樣的引導，學生自然會想到，我們在解分式方程的時候，不如先假設最簡公分母不等于零，利用等式性質2把分母去掉，從而得到一個關于分子的整式方程，在解完關于分子的整式方程以后，然后再去考慮公分母。于是我們就得到分式方程的基本解法。

三大步驟：去分母（把分式方程變成整式方程），解整式方程，檢驗（把整式方程解出的值代入公分母）。

于是我們就可以這樣去解分式方程：

去分母得：24x=20（x+1）

解這個整式方程得：x=5

檢驗得：當x=5時，最簡公分母x（x+1）≠0

所以x=5就是方程的解。

接下來就是例題講解和學生練習。

以上就是我對分式方程解法的簡單課堂設計，我認為采用這種方法，能讓學生深刻感受到知識的演化過程，體會知識的內在聯系；這種設計更符合學生的認知情感，學生更容易接受，對知識的理解、記憶更深刻；這種設計也符合數學的嚴密性、邏輯性；也符合數與式的銜接。所以我認為對于分式方程解法的教學，這種探究方式或許更好。

編輯 孫玲娟