同步軌道雙星定位中等頻差曲線特性分析

石 榮,姜道安

(電子信息控制重點實驗室,四川 成都 610036)

同步軌道雙星定位中等頻差曲線特性分析

石 榮,姜道安

(電子信息控制重點實驗室,四川 成都 610036)

針對同步軌道雙星對地面衛星通信類輻射源時差頻差定位應用中，用傳統方法無法解釋等頻差曲線的幾何物理意義而只能通過復雜數值仿真計算得到的缺點，利用同步軌道雙星對地定位中主副星間經度間隔的工程應用約束條件，將地面衛通輻射源與兩顆衛星間連線的方向性單位矢量，采用角平分線上的單位矢量進行近似，巧妙地將該問題轉為同步軌道單星運動對地所形成的等多普勒曲線問題，從而清晰地展示了模型的幾何物理意義，并可快速獲得等頻差曲線的形狀分布與綜合定位性能等特性。討論了等時差與等頻差曲線對定位性能的影響，發現在主星選擇固定時，在多個滿足頻率轉發條件的副星中選擇與主星間相對運動速度較大，且相對運動速度方向盡量平行于地球自轉軸線者，能使等時差線與等頻差線盡可能形成正交，從而進一步改善定位精度。仿真結果驗證了該法的有效性。研究為同步軌道雙星定位特性分析提供了新的途徑。

同步軌道； 雙星定位； 時差頻差定位； 無源定位； 等多普勒曲線； 等頻差曲線； 等時差曲線； 定位性能

0 引言

利用同步軌道的兩顆配置有透明轉發器的通信衛星分別接收并轉發地面上處于靜止狀態的衛星通信類輻射源所發射的信號，并測量這兩顆衛星接收到信號的時間差(TDOA)和頻率差(FDOA)參數，建立起時差方程、頻差方程和地球表面位置約束方程，便可求解出該輻射源的位置坐標。這一同步軌道雙星TDOA/FDOA定位方法對衛星通信終端和衛星干擾源的定位十分有效，目前已經在各類衛星通信信號及衛星干擾源信號監測系統中得到了應用，并開發了相應的商業化產品[1-2]。十多年來有文獻對此同步軌道雙星TDOA/FDOA定位方法的技術原理、參數測量與誤差分析、定位精度、鄰星選擇、工程實現、發展趨勢和擴展應用等進行了研究，但未對該定位體制中頻差方程形成的等頻差曲線的相關特性進行深入探討[3-9]。雖有部分文獻對低軌雙星定位中的等時差曲線與等頻差曲線的特性開展了分析，但同步軌道雙星定位與低軌雙星定位有較大差異[10]。在低軌雙星定位應用中兩顆衛星通常是同軌道飛行，相互間隔一定距離，在此條件下兩星的速度矢量近似相同；同步軌道雙星定位應用中兩顆衛星的軌道參數與微動漂移特性各不相同，定位過程中存在兩個各異的速度矢量，等頻差曲線的形成與這兩個各異的運動速度的大小與方向都有關系，難以建立幾何意義明晰的簡潔數學模型，只能通過復雜的數值仿真計算以獲得最終結果。這導致雙星定位中鄰星選擇的多方案對比、定位特性的分析等過程繁瑣而復雜，而隱藏于數值計算結果背后的物理規律和幾何意義并未得到清晰的解釋，從而影響了實際工程應用中定位條件的快速有效構建。

針對這一情況，本文在同步軌道雙星對地定位原理簡要概述的基礎上，闡述了單顆同步軌道衛星運動對信號接收所產生的多普勒效應，討論了單顆衛星的運動方向對地面上所形成的等多普勒曲線形狀的影響。利用同步軌道雙星對地定位中主副星經度間隔的工程應用約束條件，將地面衛星通信類輻射源與兩顆同步軌道衛星間連線的方向性單位矢量，采用位于這兩個矢量構成夾角的角平分線上的單位矢量進行近似，從而將同步軌道雙星定位中的等頻差曲線問題巧妙地轉化成為同步軌道單星對地的等多普勒曲線問題。由此利用已有的分析結果，得到同步軌道雙星定位中的等頻差曲線的相關特性，給出具直觀幾何意義的物理解釋，以使工程實際應用中對副星的選擇和定位特性的分析能快速有效實施。

1 同步軌道雙星定位模型

同步軌道雙星對地面衛通類輻射源的定位應用場景如圖1所示。衛通類輻射源的天線主瓣指向主星，而旁瓣指向副星，所發射的上行信號被衛星上的透明轉發器轉發后由地面觀測站進行接收[2]。

圖1 同步軌道雙星對地面衛通類輻射源定位場景Fig.1 Geosynchronous orbit dual satellites location for communication equipment on earth

在這一應用場景中，地面衛通類輻射源處于靜止狀態，地面觀測站的位置、2顆同步軌道衛星的位置與速度均為已知量。因在模型建立過程中可補償掉2顆衛星下行轉發至地面觀測站路徑上的時差與頻差，故為簡化討論，在補償后可只針對2顆衛星接收到的上行信號構建定位模型。

ΔT；

(1)

(2)

式中：c為電磁波傳播速度；λ為信號波長；[ax,iay,iaz,i]為地面衛星通信終端至第i顆同步軌道衛星的方向性單位矢量(i=1,2)，且

(3)

假設地面衛星通信終端位于地球表面，且地球模型采用球形簡化模型，則有

(4)

式中：RE為地球平均半徑。

2 單顆同步軌道衛星運動產生的多普勒效應

由于地球偏心率、等軸諧波引起的共振、太陽與月亮引力場、太陽光壓等因素的影響，同步靜止軌道衛星(后文簡稱同步軌道衛星)相對地面并不是絕對靜止，即衛星軌道的傾角is和偏心率es都不為零，這使同步軌道衛星相對地面作周期性的微小運動。如衛星軌道的長半軸與標準同步軌道半徑有差異，衛星還會向東或西發生漂移運動。正是由于上述相對地面的微小運動才導致同步軌道衛星在接收信號時產生了多普勒效應，從而為雙星頻差FDOA的形成提供了條件。在軌道半徑與同步軌道標準半徑值相差1km，is=0.000 1°，es=0.000 1條件下，仿真所得同步軌道衛星圍繞同步軌道靜止參考點處的漂移，以及對應的三維運動速度如圖2所示(仿真時間段為24×5h)。

圖2 同步軌道衛星微小運動仿真結果Fig.2 Simulation for geosynchronous orbit satellitesmall movement

由圖2可知：同步軌道衛星相對地面的運動速度較小，一般為數個米/秒的量級，且以24h為周期變化。由該運動速度可計算出衛星在接收地面衛通類輻射源信號時產生的多普勒頻移

fd=vScosθγ/λ.

(5)

由式(5)可知：在三維空間中由于衛星運動產生的等多普勒頻率面是一組圓錐面，其頂點為衛星所在位置處，軸線為衛星運動速度所在方向線。該圓錐面與地球表面相交即形成分布于地球表面的等多普勒曲線簇。對衛星運動速度矢量方向線、地球球心與同步軌道衛星間的連線，設上述兩線間的夾角為θγ,e，兩線所在平面與地球赤道平面間的夾角為θκ,e。在θκ,e=0，θγ,e取不同典型值情況下，在地球表面產生的等多普勒曲線的形狀如圖3所示(圖中衛星星下點對應經度0°緯度0°的坐標點)。無論衛星的運動速度大小如何改變，圖中的等多普勒曲線的形狀不會改變，改變的僅是具體的多普勒頻率數值。

圖3 在θγ,e為典型取值時地球表面等多普勒曲線Fig.3 Equal Doppler curves on earth on condition of typical θγ,e

圖4 在θκ,e不同取值下地球表面等多普勒曲線旋轉效應Fig.4 Rotation of equal Doppler curves on earth on condition of typical θκ,e

圖3為θκ,e=0條件下的等多普勒曲線，當θκ,e≠0時，上述等多普勒曲線簇會圍繞圖3中的中心發生旋轉。以圖3(c)為例，θκ,e分別為0，π/3，π/2，π2/3時的曲線如圖4所示。由圖4可明顯觀察到多普勒曲線的旋轉變化。

3 同步軌道雙星對地定位的等頻差曲線近似逼近

由式(2)可知：在同步軌道雙星對地定位模型的頻差方程中，絕對頻率之差實際上對應了多普勒頻率之差，即式(2)中等號左邊的被減數與減數分別為兩顆衛星對地面衛通類輻射源信號接收時的多普勒頻移。雖然從純粹的數學表達式上看，可由式(2)直接形成等頻差曲面，該曲面然后與式(4)表示的地球表面相交，從而形成位于地球表面的等頻差曲線，但這樣的直接處理，缺乏直觀而明晰的幾何意義，只能通過數值仿真實現。為解決該問題，可對同步軌道雙星定位的等頻差曲線進行近似逼近。

根據同步軌道雙星定位的實際工程應用條件，為避免地面衛通類輻射源的天線副瓣增益大幅度衰減給時差頻差測量帶來的低靈敏度問題，一般要求選擇的同步軌道主星與副星軌位間的經度間隔不能太大，如在Ku頻段通常不超過8°。根據此約束條件，地面衛通類輻射源與兩顆同步軌道衛星間的連線的方向性單位矢量[ax,iay,iaz,i]，i=1,2，可用位于這兩個矢量構成夾角的角平分線上的單位矢量[bx,Tby,Tbz,T]近似。此處：

(6)

(7)

設兩顆同步軌道衛星間的相對運動速度矢量為[vx,Tvy,Tvz,T]，即vx,T=vSx,1-vSx,2，vy,T=vSy,1-vSy,2，vz,T=vSz,1-vSz,2，則式(7)可用兩個矢量內積形式表示為

(8)

比較式(5)、(8)可知：式(8)可解釋為前文中單星多普勒頻移的表現形式，即在同步軌道雙星對地面衛通類輻射源的定位應用中所形成的位于地球表面的等頻差曲線，可近似認為是兩顆衛星間的相對運動速度(具體體現為兩者的速度矢量之差)在地球表面產生的等多普勒曲線。

則前文中描述的單顆同步軌道衛星微小運動產生的多普勒效應的相關分析結果可完全對應到同步軌道雙星對地頻差定位的分析中，即前文所繪制的各種條件下的單星等多普勒曲線對應了同步軌道雙星對地等頻差曲線。這樣，同步軌道雙星定位中等頻差曲線的直觀幾何意義就明顯展現出了。

4 等時差曲線與等頻差曲線對定位性能的影響

同步軌道雙星對地面衛通類輻射源的定位主要是基于TDOA，FDOA的測量。對式(1)表達的時差方程來說，其幾何意義是以同步軌道的2顆衛星為焦點的旋轉雙曲面，該雙曲面與式(4)表達的地球表面相交，從而形成位于地球表面的等時差曲線。在雙星對地面衛通類輻射源的定位應用中，典型的等時差曲線如圖5所示。(圖5中2顆衛星連線中點的星下點對應經度0°、緯度為0°的坐標點，且2顆衛星間的經度差為6°)。

圖5 地球表面等時差曲線Fig.5 Equal TDOA curves on earth

前述定位原理表明：地球表面相應的頻差曲線與時差曲線的交點處即為目標所在位置。根據前文的等頻差曲線的特性可知：當速度矢量方向線、地球球心與同步軌道衛星間連線的夾角θγ,e接近于π/2時，等頻差曲線有較好的分布特性，這意味著同步軌道雙星間的速度差矢量需盡量垂直于地球球心與同步軌道衛星間的連線。在此基礎上，結合等頻差曲線旋轉特性可知，為在衛星星下點覆蓋區域內與圖5所示的地球表面的等時差線盡可能有正交的分布，同步軌道雙星間的速度差矢量需盡可能平行于地球的旋轉軸，在此條件下形成的地球表面的等頻差曲線簇類似于如圖4(c)所示。則在θγ,e=π/2，θκ,e=π/2的條件下，較理想的地球表面等時差曲線與等頻差曲線的交匯如圖6所示。圖6中，在星下點±50°經緯度范圍時差曲線與頻差曲線都有較好的交匯狀態，這利于定位精度的提高。

圖6 較理想的等時差曲線與等頻差曲線的交匯圖Fig.6 Intersection of equal TDOA and FDOA curves onideal condition

在同步軌道雙星對地面衛星通信類輻射源定位應用中，主星的選擇是固定的，因為這與目標信號直接相關，而對副星的選擇可按上述分析結果，在多個滿足頻率轉發條件的副星中選擇與主星間相對運動速度較大，且相對運動速度方向盡量平行于地球自轉軸線的副星，這樣的選擇能使等時差線與等頻差線盡可能地形成正交，從而進一步改善定位精度。另一方面，從上述分析結果并結合衛星軌道特點可知：為滿足上述條件，需優先選擇有相對較大軌道傾角的衛星作為副星，由此形成的相對運動速度方向會盡可能地平行于地球自轉軸線。

5 仿真驗證

由上述理論分析可知：同步軌道雙星定位中頻差曲線的形成與兩顆衛星相對地面的運動速度，以及它們之間的相對經度間隔有密切的關系，本文對兩顆衛星運動速度的大小比取不同數值進行仿真，在不同經度間隔條件下，比較由式(2)算得的精確頻差值，以及由式(8)算得的近似頻差值。因運動速度是一個矢量，故對2顆同步軌道衛星的運動方向單位向量采用空間內等概率隨機方式產生。對地球表面的頻差測量點在經度與緯度向均在星下點±50°范圍內以1°等間隔方式均勻抽樣，共由抽樣點101×101個，用每個抽樣點上的頻差誤差的絕對值除以該次仿真中的最大精確頻差的絕對值表征該點頻差測量的相對誤差，將該次仿真中101×101個相對誤差的平均值作為其頻差相對誤差。

在兩顆同步軌道衛星速度大小比分別為1∶1，1∶3，1∶10條件下，求精確頻差值與近似頻差值間的誤差，再按前述方法求相對誤差，所得2顆衛星間不同經度間隔下頻差的相對誤差大小分別如圖7～9所示。其中經度間隔變化范圍為[1°，8°]，如兩顆衛星間的經度間隔大于8°，會出現接收靈敏度問題；如經度間隔小于1°，會造成時差曲線密集問題，上述兩種情況都會導致定位性能的下降，因此合理的經度間隔范圍一般在兩者之間。仿真中，在每個經度抽樣點上進行蒙特卡羅仿真2 000次，取2 000次仿真的平均值作為最終值。

圖7 衛星速度大小比1∶1時頻差的相對誤差Fig.7 Statistic results for relative error of FDOA (1∶1)

圖8 衛星速度大小比1∶3時頻差的相對誤差Fig.8 Statistic results for relative error of FDOA (1∶3)

圖9 衛星速度大小比1∶10時頻差的相對誤差Fig.9 Statistic results for relative error of FDOA (1∶10)

由仿真試驗的統計結果可知：按式(8)的近似處理后，頻差的相對誤差隨兩顆同步軌道衛星間的相對經度間隔增大而變大，原因是采用角平分線矢量近似替代處理時，角度越小，近似程度越高；隨著兩顆同步軌道衛星間的速度大小相差越大，近似處理后，頻差的相對誤差越小，這是因為兩顆衛星的速度相差越大，有較大運動速度的衛星在頻差曲線形成過程中發揮的主導作用就越強，另一顆衛星的作用也越小，這樣與單星運動產生多普勒效應的情形也更相似，故在此情況下式(8)的近似處理精度也就更高。上述仿真統計結果表明：即使在兩顆同步軌道衛星速度大小一樣的情況下，最大相對誤差統計平均值不超過12.5%。由此可見，按式(8)所作的近似處理是較合理的。這也同時說明本文對同步軌道雙星定位中等頻差曲線的近似逼近和特性分析結果在統計意義上是正確的。

6 結束語

本文針對同步軌道雙星對地面衛星通信類輻射源實施TDOA/FDOA定位中等頻差曲線的特性進行了分析與討論。根據實際工程應用中的約束條件，通過小角度的角平分線矢量近似方法巧妙地將

同步軌道雙星定位中的等頻差曲線問題轉換為同步軌道單星對地形成的等多普勒曲線問題，避免了復雜的數值仿真計算過程，從而利用單顆同步軌道衛星運動產生的多普勒效應分析結果，建立了同步軌道雙星定位中等頻差曲線的幾何模型，對定位特性進行了分析，給出了具有直觀幾何意義的物理解釋，仿真試驗結果驗證了上述處理的合理性與有效性。上述研究結果一方面為同步軌道雙星定位特性的研究提供了新途徑，另一方面也使工程實際應用中對副星的選擇和定位特性分析能快速進行，更利于對短暫持續信號的定位。

[1] 齊曉東, 潘玉平, 丁靜. 民用衛星干擾源定位技術[J]. 無線電工程, 2005, 35(9): 28-29+34.

[2] 葉尚福, 孫正波, 夏暢雄, 等. 衛星干擾源雙星定位技術及工程應用[M]. 北京: 國防工業出版社, 2013.

[3] 周鴻順. 衛星干擾源的定位技術和手段[J]. 中國無線電管理, 2001(7): 30-31.

[4] 瞿文中, 葉尚福, 孫正波. 衛星干擾源定位中的誤差分析與預測[J]. 電波科學學報, 2005, 20(5): 590-593+609.

[5] 陳靜. 雙星定位中精度空間模型的建立及應用[J]. 微計算機信息, 2010, 26(1): 160-161+159.

[6] 朱銳, 朱莉. 談衛星干擾源雙星定位法中的鄰星選擇[J]. 衛星與網絡, 2007(8): 62-64.

[7] 劉卓然. 淺談TDOA & FDOA衛星干擾源定位原理和實踐中的幾個關鍵因素[J]. 中國無線電, 2006(10): 23-25.

[8] 穆旭成, 張鵬, 李燁. 衛星干擾定位技術的最新發展動態[J]. 中國無線電, 2014(12): 58-59+64.

[9] 姜道安, 石榮. 航天電子偵察技術[M]. 北京: 國防工業出版社, 2016.

[10] 張勇, 盛衛東, 郭富成, 等. 低軌雙星無源定位算法及定位精度分析[J]. 中國慣性技術學報, 2007, 15(2): 188-192.

Characteristic Analysis on Equal FDOA Curves for Geosynchronous Orbit Dual Satellites Location

SHI Rong, JIANG Dao-an

(Science and Technology on Electronic Information Control Laboratory, Chengdu 610036, Sichuan, China)

The equal frequency difference of arrival (FDOA) curves in geosynchronous orbit dual satellites time difference of arrival (TDOA) and FDOA location are obtained through the complicated numerical calculation in traditional methods because geometry significance cannot be revealed obviously. The engineering constrained conditions about longitude interval between major satellite and accessorial satellite were utilized in this paper. The unit vectors along earth communication equipments and satellites were approximated through the angle bisector vector. Then the problem was changed into another equivalent one, which was equal Doppler curve produced by single geosynchronous orbit satellite. Its geometry significance was definitely disclosed. The shape distribution of equal FDOA curves and integration location characteristics could be obtained quickly. The influence of equal FDOA curves and equal TDOA curves on location performance was discussed. It found that the salve satellite would be chosen among the satellites satisfying frequency transmission condition which relative motion velocity was big and the velocity direction was parallel to the earth self-rotation axis when the master satellite was fixed. It would make the equal TDOA perpendicular to the equal FDOA so the location performance could be improved. The simulation results proved the validity of this method. It is a new approach for characteristic analysis on geosynchronous orbit dual satellites location.

Geosynchronous orbit; Dual satellites location; Location by TDOA and FDOA; Passive location; Equal Doppler curves; Equal FDOA curves; Equal TDOA curves; Location performance

1006-1630(2016)06-0129-07

2016-09-18；

2016-11-12

預研共用技術基金資助(9140A21XX01XXDZX9066)

石 榮(1974—)，男，博士，研究員，主要研究方向為電子對抗、通信與雷達系統。

V443； TN971

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.06.019