諧和與氣動(dòng)噪聲聯(lián)合激勵(lì)下碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)分析

張憲政，張里偉，梅李霞，李森，胡益富

（中航工業(yè)洪都，江西南昌，330001）

諧和與氣動(dòng)噪聲聯(lián)合激勵(lì)下碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)分析

張憲政，張里偉，梅李霞，李森，胡益富

（中航工業(yè)洪都，江西南昌，330001）

借助飛行器表面氣動(dòng)噪聲環(huán)境特性的工程估算公式，對(duì)諧和與氣動(dòng)噪聲聯(lián)合激勵(lì)下飛行器內(nèi)部單邊約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了分析。

諧和激勵(lì)；氣動(dòng)噪聲；碰撞振動(dòng)

0 引言

由于飛行器在高速飛行過(guò)程中需經(jīng)歷復(fù)雜的動(dòng)力環(huán)境，特別是非定常的飛行擾流，將導(dǎo)致飛行器表面產(chǎn)生脈動(dòng)壓力(氣動(dòng)噪聲)。這種脈動(dòng)壓力,成為飛行器結(jié)構(gòu)所承受的隨機(jī)載荷,有可能引起飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)(Vibro-Impact)，即零部件之間（或零部件與邊界間）的往復(fù)碰撞。為使越來(lái)越精密的飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)安全可靠地運(yùn)行，必須深入研究系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)是復(fù)雜的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，目前已有大量的文獻(xiàn)涉及單、多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性、分岔及混沌，但其絕大多數(shù)是討論確定性的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，而對(duì)涉及隨機(jī)因素的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，特別是多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的研究成果并不多見(jiàn)[1]。本文基于工程實(shí)際的需要，利用數(shù)值模擬對(duì)諧和激勵(lì)與氣動(dòng)噪聲聯(lián)合作用下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了探究。

1 力學(xué)模型

在飛機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中，常常會(huì)遇到這樣一種模型，它由一個(gè)簡(jiǎn)單的振子和位于振子一側(cè)的一個(gè)彈性壁共同構(gòu)成，如圖1所示[2]。假設(shè)系統(tǒng)振子的運(yùn)動(dòng)可以由具有約束的Duffing方程來(lái)表示，則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 具有單側(cè)約束面的機(jī)械振子

式中：c，ω1分別表示系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率，F(xiàn)，ω分別表示系統(tǒng)外激勵(lì)力的幅值和頻率，a0為振子靜平衡位置到約束面的距離，約束條件為x＜a0，約束面為∑={(x,x˙)｜x=a0}，躍變方程為x˙+=-ex˙-，e為系統(tǒng)的碰撞恢復(fù)系數(shù)，ε?1為一個(gè)小參數(shù)，ξ(t)是氣動(dòng)噪聲導(dǎo)致的隨機(jī)載荷，其譜密度函數(shù)取為：

其中:prms為均方根脈動(dòng)壓力，為當(dāng)?shù)馗矫鎸雍穸龋琑ex為當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)；Vc=0.6V∞為邊界層外緣速度。下面將通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)研究此類(lèi)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和氣動(dòng)噪聲對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。

2 系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

圖2 振幅F=1.3,系統(tǒng)1-1響應(yīng)

圖3 振幅F=1.5，系統(tǒng)2-1響應(yīng)

基于上述系統(tǒng)，首先來(lái)考慮沒(méi)有隨機(jī)激勵(lì)的情形，即ξ(t)=0，這時(shí)系統(tǒng)僅有外部的諧和激勵(lì)[4]。在以下的數(shù)值模擬中，取系統(tǒng)參數(shù)分別為：系統(tǒng)阻尼系數(shù)c=0.3，系統(tǒng)自然頻率ω1=1.0，小參數(shù)ε=0.3，系統(tǒng)碰撞恢復(fù)系數(shù)e=0.7，振子平衡位置到約束面的距離，系統(tǒng)初始條件為：t=0時(shí)，x=-4.0，x˙=0.0。

當(dāng)系統(tǒng)諧和激勵(lì)的頻率ω=0.5，振幅F=1.3時(shí)，利用數(shù)值模擬求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可知系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期響應(yīng)，系統(tǒng)周期為T(mén)=2π，繪制系統(tǒng)穩(wěn)定周期下的相軌跡和時(shí)間歷程如圖2所示，由圖2(b)可知，系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)有一次位移到達(dá)碰撞面，則可知系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生了一次碰撞，可將其記作1-1運(yùn)動(dòng)。其他參數(shù)不變，增大振幅F，當(dāng)F=1.5時(shí)，由圖3（b）知，系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)有兩次位移到達(dá)碰撞面，即有兩次機(jī)會(huì)使得位移x=1，則可知系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生兩次碰撞，可將其記作2-1運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增大振幅F，當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)振幅F=2.1時(shí)，如圖4所示，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變?yōu)?-1運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)增加振幅F，可以知道系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將出現(xiàn)4-1運(yùn)動(dòng)，如圖5所示，繼續(xù)增大振幅F，則會(huì)出現(xiàn)5-1運(yùn)動(dòng)，6-1運(yùn)動(dòng)等等。取系統(tǒng)振幅F為變量，可得到系統(tǒng)的分叉圖，如圖6所示，取系統(tǒng)碰撞面為Poincare截面，根據(jù)這個(gè)Poincare截面圖，可以清晰的看到振幅F變化時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

圖4 振幅F=2.1，系統(tǒng)3-1響應(yīng)

圖5 振幅F=2.7，系統(tǒng)4-1響應(yīng)

圖6 振幅F變化時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的分叉圖

分析上述得到的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)（即相軌圖，時(shí)間歷程圖，分叉圖），不難發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)發(fā)生了一種很特別運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，即擦邊碰撞，不難看出，其原因是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時(shí)刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生的，這類(lèi)系統(tǒng)的分叉也叫做擦邊分叉，與一般光滑系統(tǒng)的分叉有著明顯的區(qū)別。同時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖容易看出，系統(tǒng)在碰撞面不斷分生這種擦邊碰撞，但從分叉圖又可以看出，每相鄰兩次碰撞發(fā)生的時(shí)間間隔是遠(yuǎn)小于一個(gè)外激勵(lì)周期T的，由此，學(xué)者們把這種現(xiàn)象統(tǒng)稱(chēng)為“磕碰運(yùn)動(dòng)”(chatting impact),這種運(yùn)動(dòng)也是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中存在的一種重要現(xiàn)象。

另一方面，再來(lái)考慮系統(tǒng)外激勵(lì)頻率變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，取系統(tǒng)的初始條件同上，諧和激勵(lì)的振幅F=4.0，頻率ω從1.7遞減到0.2，利用數(shù)值模擬可求得系統(tǒng)的分叉圖，如圖7所示，取系統(tǒng)碰撞面為Poincare截面，根據(jù)這個(gè)Poincare截面圖，可以很容易的得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)的頻率遞減時(shí)，該系統(tǒng)的響應(yīng)從1-1運(yùn)動(dòng)變換為2-1運(yùn)動(dòng)、3-1運(yùn)動(dòng)、4-1運(yùn)動(dòng)……n-1運(yùn)動(dòng),也就是說(shuō)系統(tǒng)不斷發(fā)生碰撞，產(chǎn)生了擦邊分叉，但其產(chǎn)生的原因與上述提到的產(chǎn)生原因有所不同，它不是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時(shí)刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生，而是由系統(tǒng)本身的非線性與碰撞產(chǎn)生的，如圖8所示，可以清晰的看到頻率不同時(shí)系統(tǒng)的1-1運(yùn)動(dòng)、2-1運(yùn)動(dòng)、3-1運(yùn)動(dòng)、4-1運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，這種現(xiàn)象也可以導(dǎo)致“磕碰運(yùn)動(dòng)”的發(fā)生。

圖7 頻率ω變化時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的分叉圖

從上述數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，擦邊分叉這種特殊的分叉是普遍存在于這個(gè)系統(tǒng)當(dāng)中的，但是它們的產(chǎn)生原理卻是不同的，值得注意，第一種擦邊分叉是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時(shí)刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生的；第二種擦邊分叉是由于系統(tǒng)本身的非線性與碰撞產(chǎn)生的，這里不在贅述。如果考慮系統(tǒng)響應(yīng)關(guān)于約束面的周期性的話，上述兩種分叉均具有相似的地方，都可以稱(chēng)為“加周期分叉”。上述所看到的擦邊分叉現(xiàn)象是非光滑碰撞系統(tǒng)當(dāng)中所特有的，而一般光滑系統(tǒng)不存在此現(xiàn)象。

圖8 不同頻率時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

現(xiàn)在來(lái)考慮系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的變化情況，以振幅F=1.7,頻率ω=0.5時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)做進(jìn)一步的研究，當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)譜密度S(ω)=S0=0.00001時(shí)，可得到系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖9所示，圖(a)為相軌跡，圖(b)為時(shí)間歷程的局部放大圖，觀察發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)并沒(méi)有明顯的變化，這是由于隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度比較小的原因，繼續(xù)增加隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度，當(dāng)S(ω)=S0=0.00005時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖10所示，圖(a)為相軌跡，圖(b)為時(shí)間歷程的局部放大圖，仔細(xì)觀察時(shí)間歷程放大圖可知，系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)有兩次位移到達(dá)碰撞面，即有兩次機(jī)會(huì)使得位移x=1，則可知系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生兩次碰撞，可將其記作2-1運(yùn)動(dòng)，比較圖9與圖10可以發(fā)現(xiàn)，隨著隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度的變化，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)生了本質(zhì)的變化，這種變化的原因主要是由于系統(tǒng)的軌線本來(lái)就靠近碰撞約束面，隨著隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)受到隨機(jī)擾動(dòng)作用，使得系統(tǒng)的軌線發(fā)生擴(kuò)散，從而與彈性壁發(fā)生碰撞，這與光滑系統(tǒng)中隨機(jī)噪聲對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響也是完全不同的，而對(duì)于圖3原系統(tǒng)的2-1運(yùn)動(dòng)等類(lèi)似情形，則沒(méi)有多大的影響，只是系統(tǒng)軌線發(fā)生了擴(kuò)散，這是因?yàn)?-1運(yùn)動(dòng)的軌線與碰撞面相距較遠(yuǎn)，即不是在系統(tǒng)發(fā)生擦邊分叉的臨界情形，只有在更大的強(qiáng)度激勵(lì)時(shí)才可能由于擾動(dòng)而再次發(fā)生碰撞，但如果是在將要發(fā)生擦邊分叉的臨界情形，則會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似于圖10的情形。

圖9 譜密度時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖10 譜密度時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

3 結(jié)論

本文從客觀實(shí)際抽象出的模型出發(fā)，研究了在諧和與氣動(dòng)噪聲聯(lián)合激勵(lì)下單邊約束的Duffing系統(tǒng)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中不僅具有一般光滑動(dòng)力系統(tǒng)所能產(chǎn)生的現(xiàn)象，而且具有自己本身獨(dú)特的現(xiàn)象，如：擦邊分岔、倍周期分岔等，并且發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象是互相伴隨產(chǎn)生的。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)隨機(jī)噪聲對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)響應(yīng)的影響并不像對(duì)于光滑系統(tǒng)那樣單純，在某些臨界的情況下，隨機(jī)噪聲對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的影響是非常明顯的，甚至能改變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。

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>>>作者簡(jiǎn)介

張憲政，男，1983年出生，2007年畢業(yè)于哈爾濱工程大學(xué)，工程師，現(xiàn)從事飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)工作。

Analysis on Response of Vibro-Impact System under United Excitation of Consonance and Aerodynamic noise

Zhang Xianzheng,Zhang Liwei,Mei Lixia,Li Sen,Hu Yifu

(AVIC-HONGDU,Nanchang,Jiangxi,330024)

By using the engineering estimation formula for environment characteristic of surface aerodynamic noise from flying vehicle,this paper makes an analysis on the response of vibro-impact system restricted unilaterally inside the flying vehicle under united excitation of consonance and aerodynamic noise.

Consonance;Aerodynamic noise;Vibro-impact

2016-10-18）