三次貝塞爾曲線關于深基坑深層水平位移數據異常修正的探討

羅莉，文選躍

（廣東省重工建筑設計院有限公司，廣州 510670）

三次貝塞爾曲線關于深基坑深層水平位移數據異常修正的探討

羅莉，文選躍

（廣東省重工建筑設計院有限公司，廣州 510670）

針對變形監測工程中時常出現的深層水平位移數據因孔深（即起算基準深度）的變化，造成數據異常的情況，利用三次bezier曲線數據內插擬合和兩組數據相關計算，準確修正失真數據，反映深基坑支護工程的真實變化。

bezier曲線；深層水平位移；誤差修正；內插

【DOI】10.13616/j.cnki.gcjsysj.2016.07.026

1 引言

在深基坑工程的監測過程中，時常會出現一些測點保護不當，造成深層水平位監測孔（測斜管）上部斷裂和底端泥漿、石塊等雜物填充，導致測斜管起算深度改變，引起的采集數據異常。同時，一些現場不合理的操作也能導致起算深度差異，也能造成數據異常。

測斜儀的原理是利用測量儀器軸線與鉛垂線之間傾角來計算其水平位置，如果起算深度變化，則采集數據會不同。在測孔不發生變形的情況下，理論上兩次測斜管水平位置的曲線，經過深度和水平方向的上下左右平移，是能夠重合的；如果測斜管發生變形，在起算深度不變的情況下，前后兩次測量的曲線具有一定相似性。

文章利用三次Bezier曲線內插修正深層水平位移測量數據，同時結合相關系數計算原理，探討在相關系數最大的情況下，對深層水平位移測量數據修正的合理性。

2 深層水平位移測量原理

深層水平位移監測一般稱為測斜監測，是一種利用重力感應傳感器的便攜式探頭（測斜儀），觀測深基坑或高邊坡圍護結構和土體各個深度水平位移的深基坑監測技術（見圖1）。

圖1 測斜儀的工作原理

測斜儀是一種通過重力感應原理，測量儀器軸線與鉛垂線之間傾角的變化量，進而計算支護結構或土體各個深度水平位移的專門儀器。

測斜儀探頭與鉛垂方向的傾角和讀書儀輸出值之間的關系式:式中，U為讀數儀輸出值；A為加速度計的偏值（零點漂移）；K為加速度計的標度因數；g為重力加速度；

采用正反兩個方向測量，消除加速度計零點漂移：

如圖1，每個測點處測斜管的水平偏移量計算公式：

式中，L為測點間距，一般取 0.5m，為測斜管滑輪軸心間距。

由式（2）和式（3），得

規范要求，圍護結構深層水平位移孔不小于樁（墻）體的深度，土體深層水平位移孔不小于基坑深度的1.5倍并進入穩定巖體；深層水平位移計算時，一般認為孔底穩定不變，并將測孔底部作為起算點，則測孔第n段深度的水平偏移總量計算公式為：

3 三次bezier曲線的分割和計算公式

3.1 三次bezier曲線的定義

給定4個頂點Vi（i=0，1，2，3），則可以定義一條平面三次Bezier曲線：

曲線P(u)通過首、末頂點V0和V3，并于由四個頂點相連所形成的控制多邊形首、末兩邊相切，三次Bezier曲線的參數方程式為：

其中（xi，yi）是點Vi的坐標，i=0，1，2，3。

3.2 三次bezier曲線的分割作圖（見圖2）

首先給定參數值u，在特征多邊形的每一條邊上確定某一分割點，使分割后的兩線段之比為u:（1-u），由此可以得到分割點的點矢為：式中，第二個下標1表示第1次分割，分割后得到3個分割點，由其組成一個新的多邊形，其邊數變為2（V01V11和V11V21）。

用同樣的方法對該2條邊進行第2次分割，得到2個分割點V02和V12（下標為2），形成一個新的邊V02V12。

對第2次分割的邊V02V12進行第3次分割，得到點V03（下標為3）即為三次Bezier曲線上與參數u相對應的點，線段V02V12為曲線在V03處的切線。

圖2 三次Bezier曲線的分割作圖計算示意圖

4 相關系數的計算和主要運用方向

相關系數是研究變量之間線性相關程度的量，廣泛應用于調查統計分析領域，例如衡量國民收入和居民儲蓄存款、身高和體重、高中成績和高考成績、溫度和空調使用量等變量間的線性相關關系等。一般情況下，相關系數越大表明相關程度就越高。

定義兩組相互獨立的隨機正態連續數據Y1i和Y2i（i=1，2，…，n），其數學期望為EY1i和EY2i，方差為DY1i和DY2i。數學期望和方差代表兩組數據重要的數學特征，數學期望表示了隨機數據的平均值，方差描述了隨機數據對于其數學期望的離散程度。當兩者之間呈線性關系時，表現這兩組數據之間相關程度用其協方差和相關系數進行確定。

Y1i和Y2i之間的協方差計算：

Y1i和Y2i的相關系數計算公式如下：

相關系數的絕對值界于[0,1]，相關系數越大，數據之間的相關性越強，相關系數越小，相關性越弱。

通常，界于 [0.8,1]表示極強相關，[0.6,0.8]表示強相關，[0.4,0.6]表示中等程度相關，[0.2,0.4]表示弱相關，[0.0,0.2]表示極弱相關或不相關。

5 工程實例

5.1 樣本選擇與處理前后對比

從作業中，選取幾個典型的數據異常深層水平位移監測孔實例，并對比數據處理情況。

由圖3可見，孔1-4均出現了數據異常。孔1因基坑開挖產生了向基坑方向的變形，修正前是一條畸變的曲線，修正后為平滑曲線；孔2～4因基坑未進一步開挖基本未發生變形，修正前存在不同程度的畸變，修正后為平滑曲線。變形情況基本與工況一致。

根據現場記錄，數據異常的原因主要為測斜管管頂斷裂或孔內堵塞，根據數據處理，可以判定異常的原因。

5.2 數據處理過程說明

對本次異常數據以0.005m的間距進行上下平移，同時根據三次Bezier曲線對每個深度的測量數據進行內插，求取每一個間距深度內插出來的測量數據與測斜孔異常的前一次數據的相關系數。

在確定基坑不發生變形的情況下，內插修正的數據與測斜孔異常的前一次數據的曲線基本平行；如基坑存在一定變形，內插修正的數據與測斜孔異常的前一次數據的曲線近似平行，且兩次數據的曲線基本相似。

根據深層水平位移的計算原理，在測斜孔深度滿足要求的情況下，我們認為孔底穩定不變，并將測孔底部作為起算點，孔底的變化量為零，以前一次數據的曲線為基準，將修正的數據進行平移至孔底重合，則數據修正完成。

由表1可見，修正的數據與異常前一次數據的相關系數超過0.99，相似性超過99%；通過修正深度，判定孔1、2、4異常的主要原因是管頂斷裂，孔3異常的主要原因是管底堵塞。

5.3 連續兩次測量數據修正前后的對比

將異常后的連續兩次測量數據修正前后進行對比，其成果如圖4。

圖3 數據異常處理前后對比圖

圖4 連續兩次測量數據修正前后對比圖

6 判斷與結語

通過工程實例的修正計算結果，可以得出如下幾個判定。

（1）異常的曲線是畸形的，不符合基坑開挖后因受力變化產生變形的合理性；經修正后的曲線是平滑的，與基坑開挖后受力變化而產生的變形情況基本一致，與其他正常監測孔的變化情況一致。（2）修正前和修正后兩次連續觀測的對應的每一深度變化的差值基本一致，正確反映了兩次測量之間的變化量。（3）修正的理論依據是因深度不同造成兩次測量數據的錯位，需要內插和上下左右平移使兩條曲線近似重合，達到修正數據的目的，具有相當的可靠性。（4）修正后的數據與異常情況修正前的數據相關系數超過0.99，說明內插修正后兩次數據已具有極強的相關性；同時也表明修正后的數據相似度超過99%，修正數據具有可靠的正確性。

因此，我們可以得出如下結論：在數據出現異常，且無法恢復的情況下，通過參考前一次正確的測量數據，根據三次Bezier曲線內插和相關系數的計算，求得與前一次最大相關的深層水平位移修正數據，具備一定的科學性，其變形姿態與正常施工受力變化情況一致。且經修正的數據，在一定程度上正確地反映了該部位的變形，可做指導施工使用。

【1】[美]約翰·鄧尼克利夫[著]．盧正超,黎利兵，姜云輝，王耿，等譯.巖土工程監測技術手冊[M].北京：中國質檢出版社、中國標準出版社，2013.

【2】張旭.利用三次Bezier曲線求解幾何約束問題算法的改進研究[D].黑龍江大學,2009.

【3】王家潤,趙南松,華文元,等.分段連續三次Bezier曲線控制點的構造算法[J].計算機工程與應用,2010（22）:190-193.

【4】謝明文.關于協方差、相關系數與相關性的關系[J].數理統計與管理, 2004（3）:33-36.

【5】孫福剛,鄭廣文.隨機變量的方差、協方差與相關系數的一些性質及關系[J].克山師專學報,2003（3）:23-25.

The Discussion on Correcting Abnormal Data of Horizontal Displacement of Deep FoundationBased on Cubic Bezier Curve

LUOLi,WENXuan-yue
（GuangdongZhonggongArchitecturalDesignInstituteCo.Ltd.,Guangzhou510670,China）

The article describes the horizontal displacement abnormal data due to hole depth change (starting reference depth) in deformation monitoring projects.Usingcubic bezier curve date interpolation fittingand two setsofrelated data to calculate and revise themiscalculate data accurately.At the end , the real changeofdeepfoundationsupportprojectisshowed.

beziercurve;horizontaldisplacement;errorcorrection;interpolation

F416.9

A

1007-9467（2016）07-0042-03

2016-6-11

羅莉（1985.12～），女，貴州人，工程師，從事地鐵土建施工第三方監測、民用基坑、既有結構保護監測研究，（電子信箱）349027838@qq.com