懸索橋成橋狀態(tài)主纜非線性找形分析

徐朝前

（池州市建筑設(shè)計院，安徽 池州 247100）

懸索橋成橋狀態(tài)主纜非線性找形分析

徐朝前

（池州市建筑設(shè)計院，安徽 池州 247100）

論文從索單元的靜力平衡關(guān)系推導(dǎo)出懸索在外荷載作用下的坐標的表達式，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出求解分段懸鏈線索單元坐標求解的有限元迭代格式，用于懸索橋成橋狀態(tài)主纜找形分析。以前述理論基礎(chǔ)用大型數(shù)學軟件MATLAB編制了主纜找形的有限元程序，用于矮寨鋼桁懸索橋成橋線形分析中，驗證了理論的正確性。

主纜找形；分段懸鏈；線迭代方法；矮寨鋼桁懸索橋

【DOI】10.13616/j.cnki.gcjsysj.2016.07.073

1 主纜找形的分析方法

均勻的纜索在自重作用下，呈懸鏈線的形狀。有限元法應(yīng)用于索結(jié)構(gòu)分析的主要思路是:假定索單元的幾何形狀，推導(dǎo)其位移模式，計算變形前后的索長變化，根據(jù)平衡方程或者能量原理來推導(dǎo)剛度矩陣(彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣)，計算索單元端結(jié)點力和端結(jié)點位移的關(guān)系，集成結(jié)構(gòu)整體平衡方程進行迭代計算，若控制變量誤差或結(jié)點不平衡余量誤差滿足精度要求，則認為得到了滿足要求的解，結(jié)束迭代。

對索結(jié)構(gòu)常見的有限元分析方法有分段懸鏈線理論、分段拋物線理論、分段直線理論及傳統(tǒng)拋物線理論。其中分段懸鏈線法嚴格按照索單元的受力情況進行假定，計算結(jié)果最精確，但由于計算涉及大量三角函數(shù)，所以計算最耗時。其他方法對索結(jié)構(gòu)的受力形式做了不同程度的簡化與假定，會降低計算精度，但是提高了計算效率。

2 平面索微段的平衡方程

2.1 索結(jié)構(gòu)計算假定

1）索是理想柔性的，不能抗壓，也不能抗彎；

2）索的材料符合胡克定律；

3）主纜的橫截面積在外荷載作用下變化十分微小，計算主纜的抗拉剛度時，可以忽略這種變化的影響。

2.2 荷載分布與索單元形狀

圖1為一索單元平衡關(guān)系圖，qx和qz分別為索單元上沿x分布的橫向和豎向的荷載集度。H和V分別是索單元切向拉力T的水平分分量和豎向分量，坐標系和各量的正方向如圖1所示。

根據(jù)平衡關(guān)系有：

水平方向：H=H+dH+qxdx

豎直方向：V=V+dV+qzdx

化簡得平衡微分方程：

式中H′表示dH/dx。V′表示dv/dx,又根據(jù)幾何關(guān)系，V/H=dz/dx，代入式（1a）、式（1b），有

圖1 索微段平衡關(guān)系圖

索曲線找形問題便化為在一定邊界條件下，求解上述關(guān)于z（x）的平衡微分方程問題。對于一般的懸索橋而言，水平分布的荷載集度qx為零，所以H為沿索段不變的恒量。對于式（2b）而言，如果已知qz的分布情況，直接對式（2b）進行積分，即可得到索形z（x），索找形問題退化為線性問題，比如假設(shè)qz是沿x分布的常量q0，y″=-q0/H積分可知，索形為拋物線形狀；對于一般的索結(jié)構(gòu)而言，豎向荷載集度一般是沿著索的弧長分布的，轉(zhuǎn)換成沿x方向分布后有由于qz與z是非線性關(guān)系，所以索曲線找形問題也是非線性的，需要迭代求解，此時索曲線呈懸鏈線形。對于實際的懸索橋結(jié)構(gòu)，在空纜狀態(tài)，主纜僅受自重作用，自重集度沿弧長分布，所以此時呈標準的懸鏈線形狀。在成橋狀態(tài)，主梁的自重及二期通過吊桿傳給主纜，相當于每根吊桿給主纜施加了一個集中的外荷載，在吊桿之間的主纜僅承受沿弧長分布的自重，所以，此時主纜不再呈標準的懸鏈線，而是呈分段懸鏈線形狀。

2.3 分段懸鏈線索單元平衡方程

如前所述，實際的懸索結(jié)構(gòu)荷載分布集度沿主纜弧長分布，索呈懸鏈線或分段懸鏈線形狀。現(xiàn)取吊桿之間的索單元進行分析：

圖2為一平面索單元受力示意圖，為了求解的方便，取Euler坐標為Cartesian坐標｛x，z｝，取Lagrange坐標｛s｝為無應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的無應(yīng)力索長。Vi、Hi為Cartesian坐標系下索段單元i端點x，z方向所受的節(jié)點力，對應(yīng)的切向力為Ti；q為索段沿弧長分布的自重荷載集度，各量值的正方向如圖2所示。

圖2 沿弧長分布的均布荷載作用的索段

取變形后索段上任意一點P，對應(yīng)索段的張力為T，該點處對應(yīng)索段長度微分由變形前的ds變?yōu)樽冃魏蟮膁p，且應(yīng)滿足相容方程為

在索段的端點i，j節(jié)點應(yīng)滿足邊界條件：

s=0時，x=0，z=0，變形后的索長p=0

s=s0時，x=1，z=h，變形后的索長p=s

令Hi=H，Vi=V，由力的平衡及質(zhì)量守恒原理，應(yīng)有：

根據(jù)Hook定律，張力與應(yīng)變關(guān)系為：

2.4 懸鏈線索單元平衡微分方程求解

據(jù)式（4b）可得：

將（4a）、（4b）兩式兩端平方后代入幾何相容方程（3），可以求得任意Lagrange坐標位置下的張力：

根據(jù)式（4a）、式（5a）得到

將上式在（0，s）區(qū)間內(nèi)積分，因為：

可得：

該式表明了索段上任意一Lagrange坐標為s的點對應(yīng)變形后的Euler坐標。

利用式(4b)和式(5b)可以得到

對式（10）在區(qū)間（0，s）內(nèi)直接積分可得：

上式描述了任意Lagrange坐標位置在變形后的豎向位置,根據(jù)上述公式，將相應(yīng)的坐標換為j點位置的坐標，便可得索段單元j端的相關(guān)量值，計算結(jié)果如下：

水平投影長度：

豎向投影長度：

2.5 索段數(shù)值計算的兩類問題

通過式(12a)和式(12b)可知，對于一條無應(yīng)力索長S0給定的索段，如果已知一個端點的內(nèi)力H和V，則其跨度l和兩端點的高差h就已經(jīng)確定；若已知索段的跨度l和兩端點的高差h，就可以計算索段的內(nèi)力。可見對于一索微段的方程組，獨立的未知數(shù)有三個，而且索的內(nèi)力和線形一一對應(yīng)。

對于懸索橋的計算，一般需要解決索段數(shù)值計算的兩類問題：第一類是已知H，V及跨度l，求解S0和h，第二類問題是已知索段的無應(yīng)力長度S0、跨度l和高差h，求解H和V。

3 懸索橋成橋主纜線形分析

在懸索橋的成橋狀態(tài)，主纜恒載集度q，中跨吊桿間距l(xiāng)i，矢高f，鞍座上IP點坐標均已知，根據(jù)2.5節(jié)可知，懸索橋成橋線形分析屬于二類問題中的后者。

對于主纜而言，所受荷載為沿弧長均布的主纜自重及吊桿施加給主纜的集中荷載，后者包括索夾、吊索、錨頭自重以及通過吊索傳遞的加勁梁恒載及橋面二期恒載。

根據(jù)前述理論，將成橋狀態(tài)懸索橋簡化為圖3(a)所示的受力模式，為了尋找主纜變形后在吊索力作用下的平衡索形，主纜被分割成獨立的5部分，它們靠支座的左、右邊豎向力和水平力的平衡條件取得聯(lián)系。

圖3 成橋狀態(tài)主纜力學模型示意圖

設(shè)主跨主纜被分割成n個索段，共有n+1個節(jié)點，取圖3（b）的第i段索進行受力分析，根據(jù)公式（12a）和（12b），吊索間任意一索段都必須滿足：

i號梁段水平投影長度（等于吊桿間距）：

i號豎向投影長度：

對僅有垂直吊桿的情況：

若未特別說明，各量的符號意義同前。中跨的吊桿間距l(xiāng)i，矢高f，鞍座上的IP點坐標為設(shè)計參數(shù)，均視作已知，計算結(jié)果應(yīng)滿足這三個參數(shù)對應(yīng)的協(xié)調(diào)條件：

式中，m為索鞍到設(shè)計變量C位置處主纜劃分的單元數(shù)，A為IP點之間的高差。A、C可以通過設(shè)計參數(shù)得到。

4 真實索形的迭代方法

實際計算時，根據(jù)初擬索形得到索鞍處近似的豎向力H*和V*，代入式（15）得如下誤差方程：

設(shè)迭代目標函數(shù)為φ=（ef）2+（ey）2，“*”表示初擬量，不一定是準確量。

成橋狀態(tài)主纜找形的迭代步驟如下：

1）根據(jù)鞍座位置處初擬的H*和V*得到第一次迭代的水平力H(1)1、V(1)1，左下標“（1）”表示節(jié)點號，右上標“1”代表迭代次數(shù)。

2）根據(jù)H(1)1、V(1)1計算

3）計算誤差向量及目標函數(shù)φ1

4）判斷目標函數(shù)是否小于預(yù)設(shè)值誤差限值ε，若φ1<ε，則求解結(jié)束，否則繼續(xù)計算，求解影響矩陣。

5）分別使初擬的力H*和V*產(chǎn)生單位增量，即H*=H*+1和V*=V*+1，分別代入式（16）求解相應(yīng)的誤差向量ey1和ef1，從而得到誤差影響矩陣：

式中第一列為豎向力V引起的ef1和ey1，第二列為水平力H引起的ef1和ey1。

6）求出H、V的修正向量（ΔV，ΔH）

7）修正索端力 H（1）2=H（1）1+ΔH，V（1）2=V（1）1+ΔV進入下一次迭代，直至滿足φ<ε

8）根據(jù)真實的IP點和H、V，求解主纜處吊索吊點豎坐標yi

9）根據(jù)IP點的實際的H和V，和計算邊跨主纜的成橋線形，根據(jù)主索鞍和準索鞍的設(shè)計半徑，可計算主纜與鞍座的切點坐標；根據(jù)吊桿在主纜和橋面上的y坐標，可以計算吊索在成橋狀態(tài)的長度。至此，整個吊索部分的受力與幾何形態(tài)都被唯一確定。

迭代過程收斂速度與初擬的H*和V*有很大關(guān)系，文獻[7]給出了初值估算的簡便公式：

在上述迭代過程中，第i段索的無應(yīng)力索長是未知的，吊桿間距和索鞍處的力H*和V*的已知，求解si為索形問題中的第一類。所以懸索成橋狀態(tài)找形包含了索段數(shù)值計算的兩類問題。由于式(13a)為超越方程，需要通過迭代求解。

設(shè)函數(shù)

式中Hi，E，A，li均為已知量。將f（si）對si求導(dǎo)：

對于實際的橋梁，Hi>0，si>0，從而在[0,+∞]內(nèi)，恒有：

可見，f（si）在[0,+∞]內(nèi)單調(diào)增加且有唯一實根，對方程(14)的求解采用改進的Newton割線法。具體步驟如下：1）選取兩個初值X1=li，X2=li+0.1；2）計算f1=f（X1），f2=f（X2）

3）若f1.f2<0，進行下一步，否則令X1=X1-0.1，X2=X2+0.1，返回(2)

5）計算f=f（X）

返回（2）

綜上，懸索橋成橋狀態(tài)主纜找形迭代流程圖如圖4所示。

圖4 主纜找形迭代流程圖

5 實例驗證

根據(jù)上述迭代步驟，用Matlab編制了索單元找形的通用程序，應(yīng)用于矮寨鋼桁懸索橋的主纜成橋狀態(tài)找形分析中，并與通用有限元程序midas的計算結(jié)果進行對比。

5.1 工程背景

矮寨鋼桁懸索橋主纜的孔跨布置為：242m+1176m+116m，主梁全長1000.5m；采用兩根主索，主索垂跨比F/L=1/9.6，主索中心距為27m，采用平面索布置；全橋采用71對吊索，吊索標準間距為14.5m，端吊索的間距29m；主跨梁高（主桁中心線處）7.5m。主跨主纜每延米自重36.6493kN/m。兩側(cè)索塔錨固點高程不等高，左側(cè)IP點高程為699.716m，右側(cè)為709.124m（見圖5）。

5.2 通用有限元程序模型

全橋模型中桁梁采用空間模型，全橋模型包括兩個索面主纜、單主梁、門式式塔、鞍座、吊索、錨固拉索、中央扣、彈性索、橋面板。全橋有限元模型：主纜、吊索、中央扣采用索單元；桁梁主桁（弦桿、豎腹桿、斜腹桿、抗風板）、桁梁橫桁（弦桿、豎腹桿、斜腹桿）、上下平聯(lián)、橋塔、索鞍、橫梁、散索鞍、橋面板采用梁單元；彈性索采用索單元。主纜與塔頂采用彈性連接中的剛性連接；墩柱與索塔底固結(jié)約束；主纜端部三向線位移固結(jié)約束。共48+36+3628+138+130+4= 3984個梁單元，105+105+77+77=364個桁架單元（見圖6）。

圖5 矮寨鋼桁懸索橋總體布置圖

圖6 全橋Midas有限元模型

表1 主纜成橋狀態(tài)線形計算結(jié)果對比

5.3 計算結(jié)果對比

為了節(jié)省篇幅，給出部分節(jié)點的計算結(jié)果，并分別與midas與設(shè)計院給出的計算標高進行對比。其中設(shè)計院計算軟件采用西南交通大學開發(fā)的 《橋梁結(jié)構(gòu)空間靜動力非線性分析系統(tǒng)SBS2000》。（表1）

以矮寨鋼桁懸索橋為工程實例，分別使用大型通用有限元程序Midas和自編懸索橋成橋狀態(tài)找形程序，計算該橋成橋狀態(tài)主跨主纜節(jié)點坐標，并與設(shè)計院給出的設(shè)計值進行了對比，由結(jié)果可知，自編程序與Midas計算結(jié)果最大差2.8cm，自編程序與設(shè)計院給出的結(jié)果最大差0.9cm，相對與跨徑誤差＜1/1000，足以滿足工程要求。驗證了本文所提出的理論和自編程序的正確性。

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【11】王正林，劉明.精通MATLAB[M].電子工業(yè)出版社.

Non-linear Shape-finding Analysis for Suspension Bridges under Dead Load

XUChao-qian
（ChizhouArchitecturalDesignInstitute,Chizhou247100,China）

In thispaper, the coordinatessuspension under external loadwere got based on the statical equilibriumrelationship ofa cable segment. Furthermore, finite element iterative formulasfor segmental catenarycablewasintroduced,usingfor suspension bridgesshape-finding.Based on above thesis, shape-finding finite element program was compiled with mathematics software MATLAB and was applied to find the shape of the main cable for Aizhai suspension bridge. Which proved the correctnessofthethesisandtheprogram.

shape-findingformaincable;segmentalcatenary;iterativemethod;aizhaisteelsuspensionbridge

TU997

A

1007-9467（2016）07-0114-04

2016-6-14

徐朝前（1978~），男，安徽池州人，高級工程師，從事建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計研究，（電子信箱）1033404195@qq.com。