拖纜水動力學的正問題與反問題研究

張大朋，朱克強，牛天鑫，王自發

（1.寧波大學海運學院，寧波315211；2.中海油天津分公司，天津300450）

拖纜水動力學的正問題與反問題研究

張大朋1，朱克強1，牛天鑫1，王自發2

（1.寧波大學海運學院，寧波315211；2.中海油天津分公司，天津300450）

基于不可壓縮流體中受到水動力曳力作用下的不可伸長的撓性纜索的二維運動模型，研究了在海洋地震勘探中重構與流線型拖纜沖擊的海流速度的問題。首先介紹了正問題模型，并在已知拖船運動和水動力載荷的條件下對拖纜的速度、曲率和張力進行了求解。然后，通過離散纜索形狀和張力的樣本值，提出了推斷到海流速度的反問題，并發現這個反問題是缺秩和不適定的。在魯棒離散噪聲信號的背景下，解決逆問題數值穩定問題，采用了基于廣義Tikhonov正則化算法。為了驗證該方案的實用性，給出了一些用模擬噪聲數據重建海流的例子。

拖纜水動力學；海流速度重組；病態反問題

對于拖曳線列陣來說，海流速度對于優纜索線型非常重要。根據海流作用在拖纜上的水動力去研究拖纜的空間幾何形態及張力已經在國內外大量的文獻中有詳細的論述與研究［1-6］，這就是所謂的拖纜水動力學的正問題；而拖纜水動力學的反問題是通過已知的拖纜的空間幾何形態及其張力去反推出拖纜周圍的海流流速分布情況，這在國內學術界內相關研究資料較少。這就在逆參數辨識問題背景下提出了一個問題，即通過定位及張力測量來重現沿拖纜海流流速分布圖。

本文選擇了一個簡單的拖纜二維運動模型，首先提出了正演模型來描述在水動力作用下纜索運動，簡單討論了幾種有限差分解法。然后通過積分方程重構正演模型推導出反問題，并用廣義Tikhonov正則化解決。以奇值分析和敏感性討論為背景，概述了反問題的數值特征，還解決了阻力系數中涉及到的噪聲魯棒性和不確定性。并用仿真算例驗證了該方法。計算結果表明，該方法對實際的工程實踐有一定指導意義。

1拖纜正問題水動力學模型

忽略慣性項，在切向-法向的坐標系中，給出拖纜的牛頓運動定律以及動量方程

為表示纜索的形狀和方向對于相應的速度分量的影響，給出纜索的運動學方程

式中：T（s，t）指在時間t時，與拖曳點距離為s處的張力；ρ為海水密度，d為纜索直徑，Ct為切向阻力系數，Cn為法向阻力系數，θ（s，t）為指s上的切向量和x軸正方向之間的方位度，?θ/?s為纜索曲率。纜索在切向和法線方向上的相對速度分別用Vtr（s，t）和Vnr（s，t）來表示，對應的海流速度為u（s，t）和v（s，t），Vt（s，t）和Vn（s，t）分別為纜索的切向絕對速度和法向絕對速度。

拋物形方程組（1）～（4）是從笛卡爾坐標系（X，Y）以θ角通過正交變換到二維坐標系（t，n）得到的。其中，t（s）是指纜索上在s點的單位切向量，n（s）是指單位法向量。拖曳系統的構型如圖1所示。

圖1 二維條件下拖纜的局部及全局構型Fig.1 Local and global configuration of towed cable under two dimensional condition

如果系統在初始狀態是靜止的，4個邊界條件完全在系統中實施。纜索鉸接于拖船，纜索前端速率是

式中：θ（0，t）為纜索起始端的方位角，v1（t）和v2（t）是在時間t時船速在笛卡爾坐標系下的分量，在這里設定v1和v2的合速度v船合=2.57 m/s。注意到根據條件（6）～（7）以參數形式給出的纜索速度的邊界信息，而給出纜索速率的邊界信息，需要預先知道拖曳點的角度以確定該點的速度。如圖1所示，在纜索和拖船鉸接的部位，拖船的速度就是纜索在此點的速度，而隨著纜索離鉸接點位置越來越遠，沿纜索長度方向某一位置的速度與拖船的速度相差越來越大。

［7-9］中考慮尾端（自由端）的張力為0，這樣的話，從理論上來說，作用力和時間段的總和也會隨之消失。然而，在震動纜索的尾部，通常裝備有一個附在表面浮標來獲取一尾部的拖曳力［10］。事實上，這個拖曳力包含一個作為張力分布曲線的下端邊界的尾部張力，與纜索速度成線性關系

假設在速度為2.57 m/s時，TL=2 000 N，再者，假定角度的變化率為零，即

其中式（8）、式（9）中的L為纜索長度。根據式（8）和式（2）可以推斷纜索在尾端的法向速度只是取決于橫向海流。

結合上述條件，在模型的數值實現中，假設纜索橫截面d是均勻的、各向同性的、彈性的且是不可伸長的，并忽略其剪切變形和動量項。

2正問題的數值解

應用有限差分法得到方程組（1）～（4）和（6）～（9）的數值解。特別地，首先，用時間上的有限差分將空間-時間問題被轉化為一個空間上的兩點邊值問題，然后將得到的非線性微分方程用一階泰勒級數展開來逼近，這樣可以得到一個線性的兩點邊值問題。最后的代數方程組可以用牛頓法來解決［11］。Hughes［12］采用了一種基于廣義梯形法的隱式格式。Gatti詳細地論述了參數的選擇對穩定性和精度的影響［13-14］。而Ablow使用的盒子方法（box method）是有條件穩定的［15］，Gobat和Grosenbaugh采取基于盒子方法的廣義α算法，通過增強額外的時間均衡來校正不穩定性［16］。正問題的控制方程的矩陣形式及處理方法參見文獻［17］。

在matlab對系統進行仿真，設定纜索的長度L=6 000 m，直徑d=0.05 m。纜索被拖曳在船舶上，以恒速行駛。水的密度設定為1 025 kg/m3，切向和法向上的牽引系數假設為Ct=0.006，Cn=2。為了仿真海流，使用了三角功能的組合。在固定的直角坐標系中，海流的速度被纜索的長度和仿真器時間上的持續簡單標準化如下

在本仿真方案的實施中，包含了一個由n=1 201個均勻分布成Δs=5 m纜元素的節點組成的網格。時間間隔設為Δt=10 s，仿真時間為0 s≤t≤3 000 s。仿真結果如圖2所示，這些圖形表示在連續流體動力激勵下的張力和定位數據的連續空間變化。這個觀察對于反向問題是很重要的，例如反向方法論的選擇需要一個前置數據可辨性的預知。再者，因為根據預期，張力是一個嚴格遞減函數，切向纜索速度保持平穩和負方向，這是切向坐標向量的默認方向也就是沿著纜索軸向的方向，而纜索的法向速度輪廓也是平穩的，雖然它似乎是一個更大變量。

圖2 在平滑變化的切向和法向水動力載荷下正問題的計算結果Fig.2 Calculation results of the forward problem under smooth change of tangential and normal hydrodynamic loads

3反問題簡述

在前面的段落里，為了在拖曳數組觀察系統中建立相對于海流速度的測量方法，通過方程式組（1）～（9），調查了正向的流體動力學模型。這樣，前置模型認為纜索的形狀和張力受流體動力干擾的影響。如果選擇適當的邊界條件，該系統的反應是唯一確定的（在無限空間里），也就是說，在一定邊界條件下，在一個任意時間點，拖纜的空間形態與其所處的海流環境呈一一對應的映射關系。再換句話說，在一定條件下，可以根據這種一一對應的映射關系根據拖纜的空間形態及所受到的張力反推出其所處的海流環境。因此，可以根據這種特殊條件下的對應性和解決方法的唯一性對其進行離散。

可認為在任意一個時間點，認為有限空間的內射矩陣運算B，在一個由儀器和物理噪音總量設定的一個容忍值內映射海流的度量。這個總量用W=N（0，σ2）。

反問題的關鍵在于推斷出一個納入拖纜形態測量值的有限集去獲得其對應的海流值，設這個集合為z=Z+W。式（11）中u和v的重建，主要依賴于前置運算的可逆性和篡改數據的噪音等級。模型方程式（1）和（2）的微分形式認為B是一個擬線性積分算子，它決定了一個由它的導數和一個邊界條件給出的未知離散函數。實際上，B-1是一個線性微分算子，它可以映像一個函數給它的第一空間導數，這個本身是它固有缺乏的秩。這個表明在一個自由度是n的函數f中，它的導數f只能被自由度n-1唯一指定，尤其在這些樣品n之間間隔的中點。結果，在由度量值n所給出的空間分辨率n度下的海流重建的反向問題是有秩虧的缺陷的，這對于這個方案的唯一性和穩定性有著直接的影響。對于這個工作的范圍，它足夠可以估算在n-1自由度下的海流流速分布，它可以構成一個所謂輕微的病態問題，因為雖然非唯一性是根除的，但是由于模型的微分形式之間的結合中的噪音數據的影響使得穩定性問題依然存在。噪音數據的求導是極不穩定的，在信號處理中，一直是被研究的對象。為了克服所提供的不穩定性正則化，建立了一個強大的B-1算子的近似值，要利用一個所要求的預知信息。

為了制定反向問題的正則化，需要引入2個動量方程（12）和（13），用在tilde里所引用的噪音數據來表示

對于測得的張力和曲率中的噪音內容，式（12）和（13）左邊的導數達到標準，當Δs→0時，任意增長，這樣的話，為了增強穩定性，用核心是Heavyside的階躍函數的積分算子的逆分化改寫方程式。

在一個有n個節點的有限網格上，算子以B∈Rn×n-1的矩陣形式導出動量方程式的積分公式

在上式中，D∈Rn-2×n-1是一個一階差分算子的離散形式，附加上之后，所以對于一個非0的參數λ，吉洪諾夫公式承認了一個獨特的解析值

根據切向流體拖曳力的定義，纜索上的內聯流速分布可以計算為

按照式（16）的類似程序，可以得到法向流體拖曳力的吉洪諾夫正則化的解決方案

在這里，⊙指的是元素級乘法，隨后從以下方程序計算出十字流速

4奇異值和靈敏度分析

在反向問題的公式中，算子B和D，還有正則化因子λ，都扮演著重要的角色。在這個意義上，它們是密切相關的，差分算子將積分算子反轉，正則化參數衡量它們在重建解決問題上的貢獻。關于反向問題理論的詳細分析出現在很多教科書中，這里不再贅述。對于這個工作的范圍，它足夠可以以他們的奇異值譜來證明兩個算子的關系，這樣可以幫助選擇合適的λ。圖3表示的是離散在一條6 000 m長的纜索上，有著601個等距節點的網格上的算子的奇異值。以指數方式衰減的奇異值B和以對數方式減少的奇異值D，它們之間的反向的相互作用確定為BDT=I∈Rn×n-2。

圖3 B算子和D算子的奇異值Fig.3 The singular value of B operator and D operator

奇異值區間提供了一個對最優正則化參數的選擇問題的深入了解。這個參數從基本上，利用式（17）中對于最小化目標的先前約束加權偏值，為之前和提取的測量信息之間，提供了必要的平衡。因此，這個選擇必須和測量中的噪音水平、模型參數的不確定性和可用先前信息的可靠性保持一致。最優參數要滿足在這里指的是奇異值，它利用L曲線法或者廣義交互驗證法來計算。

有些模型參數，比如纜索的長度和直徑，可以精確的測量出來，但是有些很難準確的獲得。例如在經過一系列的實驗室控制實驗后，拖曳系數Ct和Cn是分配值，雖然似乎有理由認為存在小小的不確定性，但還是應該更嚴謹的檢查這種不確定性對反演方法性能的影響。從模型方程式中清楚的知道，Ct中的錯誤只對內聯流速的計算值產生影響，Cn中的錯誤只對十字速度分量產生影響。

如果確切知道切向系數，那么，在認為無噪音存在的測量中，可以用一個給定的小值λ從式（19）中得到準確的內聯流速u*。引入一個小的擾動值δ，所以Ct→Ct＋δ。

可以根據一個平方誤差導出一個輪廓u

在這里，我們知道張力梯度總是負的。為了便于比較，對精確的法向拖曳系數用同樣的攝動，比如Cn→Cn＋δ，計算出在十字線速度上的平方誤差

在這里，從式（21）中獲得v*的精確值。當拖曳系數的標稱值滿足Ct?Cn，很顯然但是這不一定表明對于同樣的δ來說，εδ(u)＞εδ(v)。事實上，公式中，張力對εδ(v)的影響是決定性的，雖然這關系到曲率的反比例，在和應用相關的角度范圍中，因子T⊙?θ/?S可以任意大，尤其是朝著拖曳點。再者，Grosenbaugh中已經指出，在不穩定的拖曳運動中發生的流激振動，可能導致纜索的拖曳系數與它們的名義值有很大差異。特別是在切向上是多種多樣的，法向系數改變是可能的，在運動中多達40％。在這種情況下，Cn上的大偏移可能對重建的十字電流產生誤導的結果。為了避免發生這種情況，允許沿著纜索的拖曳系數的分布的不確定性在一定范圍內，建議的反演方法需要在以穩健的參數估計下重新表示。

為了闡述在兩個分量中的一個作為主導的重建速度剖面的過程中，反演方法的強大性和堅決性，進行了一些附加的模擬。在一個問題中，假設大的均勻速度CX（x，t）垂直于原先的垂直纜索配置，低幅度平滑變化的電流Cy（y，t）平行于初始柜道。假設在一個北上的直線軌道，以勻速2.57 m/s拖曳，設定CX（x，t）=10 m/s，Cy（y，t）=2 m/s（最大速度絕對值）。所得的法向拖曳力導致纜索逐漸偏離船舶軌跡，最終在一個大角度θ時，得到一個0度曲率配置。如圖4的第一行所示，高法向速度的影響隨著朝向末端的低張力，越來越大，調整它的形狀可將法向流速的影響最小化。當θ增加時，圖表顯示纜索接近筆直，所以最終大部份投射在t軸上。在相反的情況下，流速主要平行于纜索時，張力增加，由于邊界條件（8）使得張力梯度變化的絕對值增加，也使得曲率保持在一個低水平。圖4最后一行所顯示的結果已經用CX（x，t）=-10 m/s和Cy（y，t）=2 m/s（最大速度絕對值）計算出來，它們的拖曳速度和軌道是相同的。在這種情況下，決定形狀和曲率的定位數據的精確性變得很重要，因為內聯流速方法的靈敏度關系到在曲率變化中張力的產生，因此偏離直線軌道將意味著更高的法向流速。

圖4 在時間為60 s、80 s、100 s和120Δt時模擬和重現海流Fig.4 Simulation for reproducing of the current in time for 60 s，80 s，and 100 s and the 120Δt

圖5 無噪音時的計算結果Fig.5 Calculation results without noise

式（18）和（20）的重建公式清楚的表明了內聯流速方法的敏感度完全依賴于沿著纜索的張力的梯度變化剖面的解決。從這個意義上，有著高楊氏模量的纜索在檢測切向流速時將會提高靈敏度。換句話說，通過觀察纜索的形狀和關系到靈活度的曲率的改變，十字流速的檢測是很明顯的。所以，對于低剛度模量的纜索，預計在法向流速里有更高的靈敏度。

5結果和討論

5.1無噪音數據的重建

在第一個例子中，我們認為理想的情況是，擁有無噪音的測量值，可以直接從模型方程式中恢復。無論是在（12）和（13）中使用FD計劃來估算梯度變化，還是用零的正則化的積分方程式（18）和（20），都可以實現。選擇后者，設定λ=0，得到了如圖5所示的，在瞬時t=50.1 s和150Δt時的電流剖面。這些圖表說明了在仿真和重建剖面之間有精確的匹配。這和關于第4部分中得到的積分算子的屬性分析，是一致的。事實上，對于0正則化，采用Moore?Penrose pseudo?in?verse的形式，有n-1個非零的奇異值。這可與下一步要討論的，在現實噪音水平下，反向方法的演繹作比較。

圖6 有噪音σ1=0.01z時的計算結果Fig.6 Calculation results with noise for σ1=0.01z

圖7 有噪音σ2=0.03z時的計算結果Fig.7 Calculation results with noise for σ1=0.03z

5.2重建噪音數據

當數據中注入添加的隨機噪音時，正則化變得越發重要。在采集的真實觀察數據中，這些數據因為儀器誤差和物理噪音而被破壞，這種情況尤其會發生。為了模擬這些條件，在正向變量上引入一個偽隨機白噪音信號W=N（0，σ12），在這里，σ1=0.01z，z指的是T，Vt，Vn和θ的平均值。當時間t=300 s和400 Δt時模擬的海流流速分布圖如圖6所示，還有正則化參數的不同值時的重建剖面。每一個圖闡述了由吉洪諾夫方法獲得的重建方案，為了闡述參數對于重建速度的空間分辨率的影響，它是利用（19）和（21），當λ=0.1，10和100時進行計算的。在所采用的廣義吉洪諾夫方案中，根據D算子的選擇所強加的之前光滑的假設，λ在反向問題中控制光滑度。

如果λ*是根據數據里的噪音內容的參數的最優值，圖中所示的是利用一個λ（遠遠小于λ*）來規范內反向問題，這樣噪音的影響更大。換句話說，如果選擇λ（遠遠大于λ*）來規范外這個問題，可以有效的過濾解決方案中一些細節特征，因此可以讓給空間分辨率。λ*=10的最優值是利用L曲線方法計算出來的。

觀察圖6中的這些圖表可發現，對于所有的正則化參數值來說，法向分量v的重建，無論在定性還是定量上，都要比切向分量u的重建容易。事實上，這是合理的，因為盡管它們的公式相似，相比（18），反演公式（20）提供了一個更好更有意義的噪音魯棒性。因為平均分布在向量中的張力，乘以原方程式中的正則逆曲率，會毀壞污染張力數據中的大部份噪音，而且因為默認（圖2），對于（20）的噪音影響有限。

作為第二種情況，考慮到在更多的強噪音條件下的仿真數據，在運動開始以后，在時間t=500Δt和600Δt時被捕獲。在模擬過程中，拖曳的船舶被設定為執行一個半徑為3 000 m的圓形軌道，恒定速度為2.57 m/ s。注入測量值的噪音信號被設定為當σ2=0.03 z時，W=N（0，σ22）。正如之前，通過估算第一個最優正則化參數來計算沿著纜索的規則水動力載荷和速度。和預期的一樣，隨著數據中噪音水平的增加，需要通過增加光滑數量來穩定解決方案。L曲線法的實施產生了一個參數的最優值λ*=30。在時間t=500Δt和600Δt時的仿真速度和重建速度剖面如圖7所示。和前一個情況的結果比較起來，最佳重建方案的空間分辨率u（λ*）和v（λ*）受到測量值中的噪聲畸變的損害，而在切向分量的重建之前，影響是最大的。在同一個圖中，也提供了一些用非最佳正則化所獲得的反向解決方案，為了說明解決方案中參數的影響。特別是，對于λ＜1，施加在光譜B上的過濾總和不足以穩定解決方案，這個方法無法產生一個信息化解決方案。

圖8 重建海流攻角的預測結果Fig.8 The prediction results for the angle of attack at the reconstructed currents

5.3攻角或入射角預測

和纜索的最佳轉向直接相關的拖曳數組是攻擊角的估算和預測。正如在前一段中所描述的，海流流速分布圖的重建為系統提供了一些重要的輸入，可以控制纜索的轉向，從這個意義上來說，攻角象征了這個信息。更精確的撞擊飄帶的海流速度信息可以產生一個攻角α的估計值

黑龍江省社科院孫文政研究員做了《海陵王瓜州失敗始末及其原因》的報告。他認為，海陵王為了實現統一全國，做中國正統的皇帝，不顧金朝的實力，孤注一擲南伐滅宋，在瓜州慘遭失敗。失敗的原因是多方面的，既有主觀原因，也有客觀原因，既有歷史的偶然性，也有歷史的必然性。海陵王貿然發動統一全國的戰爭，不僅遭到宋朝軍民的堅決抵抗，而且遭到金朝軍民的強烈反對，以及宋、金雙方戰略戰術上的差異，致使海陵王瓜州失敗。

所以反饋控制角αc可以根據纜索轉向預計的位置而調整，卻不需考慮到海流。圖8中，攻角α在時間t= 300 s、400 s、500 s和600Δt時，對于在最佳正則化下的第二個仿真數據，用仿真和預測的剖面制圖。結果顯示了在噪音條件下，模擬和預測剖面之間的良好協議，事實證明了反演方法在協助優化飄帶轉向中的效用。

6結論

（1）在正問題中，在纜索和拖船鉸接的部位，拖船的速度就是纜索在此點的速度，而隨著纜索離鉸接點位置越來越遠，且由于纜索本身為撓性結構，以上兩種因素導致沿纜索長度方向某一位置的速度與拖船的速度相差越來越大。

（2）在一定條件下，當拖船航速不高（例如本文中的0.257 m/s），拖纜長度較長（例如本文中的6 000 m），在忽略彎曲剛度的前提下，當知道沿纜索長度方向的空間形態變化和張力變化時，可以解決海流流速剖面的反向問題。而如拖船拖速過高拖纜長度過短則由于不能充分得到足夠的纜索空間形態的變化情況進而會造成不能充分將纜索的形狀和樣本值離散化，統計樣本的不足使得此種方法不再適用。

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Research of forward and inverse problems in towed cable hydrodynamics

ZHANG Da?peng1,ZHU Ke?qiang1,NIU Tian?xin1,WANG Zi?fa2
(1.Faculty of Maritime and Transportation,Ningbo University,Ningbo 315211,China;2.International Company, COOEC,Tianjin 300450,China)

Based on a two?dimensional model describing the motion of a flexible,inextensible cable in the pres?ence of hydrodynamic drag forces in an incompressible fluid,the problem of reconstructing the velocities of the ocean currents impinging on a towed streamer cable during an offshore seismic survey has been researched.Firstly, the forward model was introduced and then solved to get the cable′s velocity,curvature and tension in the knowl?edge of the towing vessel motion and the hydrodynamic loads applied.In sequence,the inverse problem of inferring the ocean current velocities from discrete samples of the cable′s shape and tension was formulated and the result shows that this is rank deficient and ill?posed.In approaching the inverse problem a numerically stable algorithm was adopted based on generalized Tikhonov regularization,in the context of robust differentiation of discrete noisy signals.In order to demonstrate the practical performance of the scheme,some examples of ocean current recon?structions obtained using simulated noisy data were presented.And it has certain guiding significance to the actual project practice.

towed cable hydrodynamics;ocean current velocity reconstruction;ill?posed inverse problem

TV 131.2

A

1005-8443（2016）04-0375-10

2015-12-15；

2016-03-24

國家自然科學基金資助項目（11272160）

張大朋（1987-），男，山東省聊城人，助理研究員，主要從事船舶與海洋結構物設計制造。

Biography：ZHANG Da?peng(1987-),male,assistant professor.