淺談數(shù)學(xué)模型在物理問(wèn)題中的應(yīng)用

? 于小帆

淺談數(shù)學(xué)模型在物理問(wèn)題中的應(yīng)用

? 于小帆

數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，是中學(xué)物理《考試大綱》要求學(xué)生必須具備的五種能力之一，借助數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法可以優(yōu)化、拓寬解決物理問(wèn)題的思路，達(dá)到事半功倍的效果。對(duì)此，筆者試著借助實(shí)例簡(jiǎn)單談一談數(shù)學(xué)模型在物理問(wèn)題中的具體應(yīng)用。

應(yīng)用 ；思維 ；元法； 模型

一、微元法

微元法指的是將研究對(duì)象或過(guò)程分隔成無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分(即微元)加以研究，再將結(jié)果推廣到整體的思維方法。這種方法在人教版中最為突出，例如瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等等，都是用這種方法定義的。

微元法解題的思維過(guò)如下：

1.取元。選取的微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等，但必須具有整體對(duì)象的基本特征。

2.微元模型化。(可視為質(zhì)點(diǎn)、恒力、點(diǎn)電荷、勻速直線運(yùn)動(dòng)等)，并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)建立這個(gè)微元與所求量之間的關(guān)聯(lián)。

3.求和。將這個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并利用各微元間的對(duì)稱關(guān)系、矢量關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答。

例1[2014·江蘇卷·4題] 如1圖所示，一圓環(huán)上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過(guò)圓心O.下列關(guān)于x軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的說(shuō)法中正確的是( )

A．O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)最低

B．O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)最高

C．從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，電勢(shì)升高

D．從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度增大，電勢(shì)降低

[解析]本題將帶電圓環(huán)分割成無(wú)限個(gè)無(wú)限小的圓弧，將每一小段圓弧視為點(diǎn)電荷，則任意兩個(gè)關(guān)于圓心對(duì)稱的點(diǎn)電荷在圓心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)為零，將這一結(jié)果推廣到其他微元，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，整個(gè)圓環(huán)在圓心O處產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。同理可知，從O 點(diǎn)沿x 軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度先變大后變小，方向沿x軸正方向；從O 點(diǎn)沿x 軸負(fù)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度先變大后變小，方向沿x軸負(fù)方向。綜上所述，只有選項(xiàng)B正確。

二、圖像法

圖像法是歷年高考熱點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)物理問(wèn)題的分析，建立物理量間的聯(lián)系從而作出圖像，利用圖像的斜率、截距、交點(diǎn)及面積等解題，使問(wèn)題形象化、簡(jiǎn)單化。

例2.甲、乙同時(shí)從A處由靜止出發(fā)，沿直線AB運(yùn)動(dòng)，甲先以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間后，改以加速度a2做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為v0，乙一直以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B的速度也為v0.已知a1>a2，則( )

A.a2=a B.a2>aC.經(jīng)過(guò)AB間任一點(diǎn)時(shí)甲的速度一定大于乙的速度

D.經(jīng)過(guò)AB間某一點(diǎn)時(shí)，甲的速度可能小于乙的速度

[解析]由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式v2=2ax知，v2-x圖線是一過(guò)原點(diǎn)的直線，其斜率的數(shù)值為加速度大小的兩倍。做出v2-x圖像如2圖所示，由圖可知，a2

三、均值不等式的應(yīng)用

(1)如果a、b為正數(shù)，那么有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上式取“=”號(hào)。

若兩個(gè)正數(shù)的積一定，則兩數(shù)相等時(shí)和最小；

若兩個(gè)正數(shù)的和一定，則兩數(shù)相等時(shí)積最大。

(2)如果a，b，c為正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取“=”號(hào)。

若三個(gè)正數(shù)的積一定，則三數(shù)相等時(shí)和最?。?/p>

若三個(gè)正數(shù)的和一定，則三數(shù)相等時(shí)積最大。

例3.如3圖兩個(gè)電量均為+Q的小球A、B固定，將另一個(gè)電量為-q的小球C由A、B兩球連線的中點(diǎn)沿中垂線移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，則此過(guò)程中小球C受A、B兩球靜電力的合力大小如何變化？

[解析]設(shè)AB=2l，∠CAB=∠ɑ，AC=r

令y=cos2αsinα

物理離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其模型、方法貫穿于整個(gè)高中物理的學(xué)習(xí)過(guò)程,因此學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中要重視數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。

遼寧省葫蘆島市綏中縣第一高級(jí)中學(xué) 125200)