一類分段函數在分段點處的可導性及連續性

楊子蘭， 楊惠娟

●數學研究

一類分段函數在分段點處的可導性及連續性

楊子蘭1， 楊惠娟2

(1.云南大學 旅游文化學院 信息科學與技術系， 云南 麗江 674100； 2. 昭通學院 數學與統計學院， 云南 昭通 657000)

通過應用Taylor公式及導數極限定理，對一類分段函數在分段點處的可導性及連續性展開探討，并進行推廣，得到較好的結果.

泰勒公式； 麥克勞林公式； 連續性； 可導性

判斷函數的連續性及可導性是數學分析中的一個重要內容之一.但是很少有文獻針對分段函數在分段點處的可導性問題展開討論.本文通過對一類分段函數在分段點處的可導性及連續性展開探討，并應用Taylor公式及導數極限定理，證明該函數在分段點處的可導性，并對結論進行推廣，得到較好的結果.

1 理論基礎準備

定理1[1](帶有佩亞諾型余項的泰勒公式)若函數f在點x0存在直至n階的導數，則有

定理2[1](帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式)若函數f在點x0=0處存在直至n階的導數，則有

定理3[2](導數極限定理)若函數f在點α的某鄰域U(α)內連續，在U(α)-{α}內可導.若導函數在α存在極限，則函數f在點α也可導，而且f′(x)在α連續.

2 一類分段函數的可導性及連續性

定理4[2]若函數f滿足f(0)=0，且存在f″(0)，則函數

證明： 當x≠0時，由導數的定義有

(1)

因為

所以g在x=0處連續.

因為f(x)，f′(x)的帶有佩亞諾型余項的麥克勞林展開式分別為

和

帶入(1)式得

定理5 若函數f滿足f(0)=0，且存在f?(0)，則函數

證明： 當x≠0時，由導數的定義有

(2)

因為f(x)，f′(x)，f″(x)的帶有佩亞諾型余項的麥克勞林展開式分別為

帶入(2)式得

受到定理4、定理5的啟發，得到定理6、定理7：

定理6 若函數f滿足f(0)=0，且存在f(n+1)(0)，則函數

證明： 當x≠0時，由導數的定義有

(3)

上式中規定f(0)(x)=f(x)

因為f(x)，f′(x)，f″(x)，…，f(n)(x)的帶有佩亞諾型余項的麥克勞林展開式分別為

帶入(3)式得

定理7 若函數f滿足f(0)，且存在f(n+1)(0)，則函數

在x=0存在直至n階的導數，且有麥克勞林展開式為

證明： 由定理4、5、6知g在x=0處存在直至n階的導數，且

所以g在x=0處的麥克勞林公式為

由定理7可知函數g的麥克勞林公式可由函數f的麥克勞林展式除以x得到.

[1]華東師范大學數學系. 數學分析(上冊)第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2001：134—136.

[2]謝惠民， 易法槐， 錢定邊， 等. 數學分析習題課講義[M]. 北京：高等教育出版社，2010：195、232.

The differentiability and continity of a class of piecewise functions at piecewise point

YANG Zi-lan1， YANG Hui-juan2

(1.Department of Information Science and Technology,Tourism and Culture College,Yunnan University， lijiang 674100, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

The paper discusses differentiability and continity of a class of piecewise functions at piecewise point the continuity and the continuity of a class of piecewise function at the point of subsection by the application of the Taylor formula and the derivative limit theorem, and carries on the promotion, and gets better results.

Taylor formula; Maclaurin formula; Continuity; Differentiability

2016-06-14

云南省教育廳科學研究基金項目(2016ZDX152)；云南大學旅游文化學院院級項目(2015XY08).

楊子蘭(1985— )，女，云南楚雄人，講師，碩士，主要從事組合最優化研究.

O172.1

A

2095-7408(2016)05-0011-04