降雨條件下坡面細溝侵蝕模型及臨界坡度研究

李軍鵬，董衛國，孟惠芳，賈夢雪

(1. 蘭州大學 西部災害與環境力學教育部重點實驗室，甘肅 蘭州 730000；2.江蘇省地震局，江蘇 南京 210014)

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降雨條件下坡面細溝侵蝕模型及臨界坡度研究

李軍鵬1，董衛國2，孟惠芳1，賈夢雪1

(1. 蘭州大學 西部災害與環境力學教育部重點實驗室，甘肅 蘭州 730000；2.江蘇省地震局，江蘇 南京 210014)

摘要:分析了坡面侵蝕影響因素，采用水力學計算公式，建立降雨條件下，坡面細溝侵蝕模型。對坡面松散顆粒啟動和土塊啟動進行分析，得出了坡面侵蝕臨界水深條件。并對侵蝕速率及其影響因素進行探討，得出當侵蝕速率大于零時，坡面侵蝕能力隨著坡度的增大而增大，當侵蝕速率小于零時，坡面抗侵蝕能力隨著坡度的增大先增大后減小，存在一個臨界坡度θspan，臨界坡度一般在7°~24°之間，受內摩擦角的影響顯著，隨著內摩擦角的增大而增大。同時，基于侵蝕速率、侵蝕方式和臨界坡度，將坡面劃分為強烈侵蝕區、穩定侵蝕區和弱侵蝕區三個階段，從力學的角度，揭示了坡面演化過程中的一些現象。

關鍵詞:細溝侵蝕；侵蝕速率；臨界坡度

坡面侵蝕是水土流失最直接最主要形式，包括細溝間侵蝕過程、細溝侵蝕過程和淺溝侵蝕過程[1]。細溝侵蝕是坡面水蝕過程的重要組成部分[2]，坡面上一旦出現細溝侵蝕現象，侵蝕量會成倍甚至數十倍的增加[3-4]，因此，國內外相關學者已對細溝侵蝕產沙過程、產沙機理以及侵蝕影響因素進行了大量的研究，并取得了一大批成果[4-8]。但這些成果大多是建立在以試驗為基礎的定性分析上的[9]，且不同的學者、不同的實驗方法、不同的水力學參數得出的結果不盡相同，產生這種情況的主要原因是對坡面侵蝕機理認識不夠深入，尤其是細溝發育各階段的特征及其影響因子間的相互關系還不明確。實際上，細溝侵蝕既是水流和土壤相互作用的復雜物理過程，又是徑流沖刷作用和坡面抗蝕作用以及地面物質補充能力之間相互協調的結果[10]。細溝侵蝕受坡度、坡長、土壤特性、雨強以及微地貌形態等多種因素的制約，但本質上，細溝侵蝕的直接動力是坡面水流的沖刷力[11]，而它的抗沖能力則是土壤本身的穩定性[9-12]。這些制約因素都是通過直接或間接地影響坡面水流沖刷能力和土壤抗沖能力的相對關系來影響坡面侵蝕的。因此，從力學的角度分析坡面侵蝕問題，不僅可以彌補定性實驗的不足，還可以更好地揭示坡面侵蝕的內在機理，基于此，本文在充分考慮坡面流動力特性的基礎上，采用水力學計算公式，建立了降雨條件下細溝侵蝕模型，并對細溝侵蝕機理、侵蝕速率等問題進行探討，提出相關結論，以期為細溝侵蝕定量研究和坡面治理提供依據。

1坡面侵蝕的主要影響因素

坡面侵蝕是指降雨產流形成的薄層水流對坡面土壤的沖蝕過程。坡面侵蝕是一個極其復雜的過程，影響因素眾多，包括降雨條件，土壤特征，下墊面情況等，文獻[13]基于自組織理論研究黃土坡面細溝發育特征時指出，坡度是影響面流侵蝕的一個重要因素，文獻[14]指出，坡面坑洼狀態也是影響面流侵蝕的重要因素，但一些學者認為，微地貌可以削減侵蝕作用，另一些學者認為，微地貌可以增加潛在的沖刷。單從力學角度分析，坡面侵蝕的直接動力是坡面水流的沖刷力，而它的抗沖能力則是土壤本身的穩定性。實際上，從現有的侵蝕模型WEPP可知，坡面侵蝕率取決于坡面流體的侵蝕能力和土粒的抗侵蝕能力的相對關系，Nearing等人[15]在WEPP中將其概念進行定量描述。湯立群、陳國祥[16]從能量的角度入手，建立了小流域產沙動力學模型，他們指出，在坡面侵蝕過程中，坡面水流的有效能量等于坡面侵蝕能量，并將坡面流速的影響考慮在內，因此坡面侵蝕率可表示為：

Dr。∝K(τ-τc)v。

(1)

式中：Dr為土壤單寬侵蝕率(kg/(m2·s))，K為待定系數，τ為坡面流剪切力(kg/m2)，τc為土壤抗侵蝕力(kg/m2)，v為坡面流流速(m/s)。令Δτ=τ-τc為有效剪切力，該式表明，在不考慮其他因素時，坡面侵蝕率正比于有效剪切力和坡面流速。

2坡面細溝降雨產流模型

2.1　降雨產流模型

降雨形成的坡面流是造成細溝侵蝕的直接動力。起初，坡面流呈漫流狀，由于微地貌的變化，坡面流被分為一股股時分時合的辮狀水流，辮狀水流不斷侵蝕坡面，形成隱性細溝，隨著降雨的持續，附近水流攜帶泥沙逐漸集中到這些隱性細溝流中，使其流量大增，侵蝕能力增強，切割坡面形成細溝[4]。由此可見，細溝侵蝕是細溝間侵蝕加劇和拓展的過程，雖然鄭粉麗[1]依據侵蝕歷程將細溝侵蝕分為四個階段，但就侵蝕方式而言，細溝間侵蝕以溝壁面蝕為主，細溝侵蝕以溝底加深，溝壁拓寬為主，就侵蝕強度而言，細溝間侵蝕強度遠小于細溝侵蝕，為了模擬細溝侵蝕，我們假定坡面細溝橫斷面呈V型，溝長L，溝寬為2l，坡度為θ，溝壁坡度為α，如圖1所示。

圖1　細溝侵蝕模型示意圖

在降雨強度為I，入滲率為f時，沿著坡長，單寬坡面超滲產流近似為2(Icosα-f)l[12]，即細溝內沿著坡長的徑流增量為：

(2)

距離坡頂L處的流量為：

(3)

q=vA。

(4)

細溝內水深為h，則細溝過水斷面為:

A=h2/tanα。

(5)

明渠流速計算公式為

(6)

式(6)中，n為坡面糙率系數，R為水力半徑。

R=A/χ，

(7)

χ為濕周，V型細溝中：

χ=2h/sinα。

(8)

由式(3)~式(8)可知，細溝內距離坡頂L處的水深h為：

(9)

將式(9)改寫成流量與坡度的形式：

(10)

由式(10)可知，細溝水深是流量q和坡度sinθ的冪函數，水深隨著流量、溝壁坡度的增大而增大，隨著坡度的增大而減小。

2.2　坡面流流速特征

采用明渠計算公式，由式(3)~式(8)，得細溝內水深為h時，水流流速為：

(11)

式(11)表明，坡面流速隨著坡度的增大而增大。為了分析溝壁坡度對流速的影響，式(11)對α求導，由于 (Icosα-f) = (I-f)cosα-(1-cosα)f，隨著降雨的進行，坡面土壤產生結皮，坡面土體趨于飽和，滲透性減小，所以 (Icosα-f) ≈(I-f)cosα，則：

(12)

由dv/dα=0可知，溝壁坡度為35.3°時，細溝流流速最大，0°至35.3°范圍內，流速隨著溝壁坡度增大而增大，當α﹥35.3°時，溝內流速隨著溝壁坡度增大而減小。將式(11)改寫成以下形式：

(13)

由式(13)可知，該結果與張光輝、張科利[17]等人的研究結果相似，流速與流量、坡度成冪函數形式。

2.3　坡面水流的侵蝕能力

降雨條件下，坡面漫流形成機制可歸納為3種，即霍頓型超滲產流、蓄滿產流、飽和坡面流[4]。坡面超滲產流對坡面組成顆粒的侵蝕力來自水力剪切作用和動水壓力[9]，即：

(14)

式(14)中，等號右邊前一項為水流剪切力，后一項為動水壓力，τ為水流剪切力，h為坡面水深，J為水力坡度，K 為顆粒形狀組數系數，v為坡面水流流速，g為重力加速度。坡面流運動十分復雜，近年來，國內外廣泛運用圣維南(Saint-Venant)方程組模擬坡面水流[4]，文獻[12]在研究坡度對坡面土壤侵蝕的影響分析中指出，運動波近似理論可以較好地模擬坡面降雨產流過程，由于坡度較小，水深淺，水力坡度近似等于sinθ，一般情況下，坡面水流流動緩慢，動水壓力較小，可以忽略，坡面水流剪切力主要取決于坡面水深。將式(9)帶入式(14)，忽略動水壓力項，可得細溝流侵蝕力為：

(15)

式(15)表明，細溝內，水流侵蝕能力不僅與降雨情況、土壤入滲、坡度、坡長有關，還與溝壁坡度有關。隨著雨強、溝壁坡度、坡面坡度、坡長的增大，侵蝕能力逐漸增大。

2.4　坡面顆粒的抗侵蝕能力

坡面土體的抗侵蝕能力，主要取決于土體性質，植被條件以及坡面坡度等因素，實際情況中，土壤性質和植被覆蓋情況往往是十分復雜多變的，為了簡化問題的討論，只考慮坡面土體的抗侵蝕能力。坡面土體在水流作用下，受到水流壓力和剪切力，土粒或土塊抵抗剪切變形的能力稱為土體抗剪強度，土體強度服從摩爾庫倫準則：

τc=σtanφ+c。

(16)

式中：τc為土體的抗剪強度，σ為垂直壓力，φ為內摩擦角，反映了土體顆粒間的摩阻性質，與土體顆粒的大小、形狀等因素密切相關。對于粘性土，c稱為土體的粘聚力，對于砂性土而言，c稱為土體結構力[18-19]。

3坡面侵蝕力學分析

3.1　單顆粒起動分析

假定細溝溝床上有一微小松散顆粒，直徑為d，與坡面的接觸面積為S，在不考慮土粒粘聚力的影響，顆粒在坡面水流作用下，受力如圖2所示。

圖2　土粒、土塊受力示意圖

沿著坡面向下有水流剪切力和有效重力的向下的分力T，沿著坡面向上有顆粒的抗侵蝕力為F，其中：

T=Sτ+G浮sinθ；

(17)

F=[πd3·(γs-γw)cosθtanφ]/6。

(18)

根據受力平衡條件，當T-F﹥0時，坡面顆粒起動；T-F=0時，坡面顆粒處于臨界狀態；T-F﹤0時，坡面顆粒處于穩定狀態。

令S(τ-τc) =T-F，對于球形顆粒，取S=πd2/4由式(17)、(18)可求出基于坡面滑動模式下，顆粒抗侵蝕能力：

(19)

當有效切應力Δτ=0時，即:

(20)

坡面顆粒開始起動，由此可知，直徑為d的某一顆粒起動的臨界水深條件為：

(21)

文獻[20-21]雖然考慮了顆粒暴露度的影響，并提出了等效粒徑的概念，但只是對于坡面某一單顆粒而言的。坡面侵蝕是一個連續的、復雜的動態過程，在現階段，無法完全清楚侵蝕機理的情況下，用一些簡化的模式描述這一性質是可行的。因此，我們假定，坡面侵蝕是以小于某一粒徑顆粒缺失時開始的。朱平一、康志成等[18]在研究泥石流堆積時，發現坡面細粒物質隨著時間的推移，細粒物質逐漸減少，堆積物細粒物質的流失與沉積物最大孔隙比密切相關，細粒物可能流失的平均粒徑Dcp等于空隙直徑，即Dcp=d50(1.74Nx-0.099)，由于粗顆粒對孔隙度的形成沒有貢獻，因此，式中d50取小于2mm顆粒的平均粒徑，Nx為孔隙度。

實際上，就坡面侵蝕而言，洪水消退過程和坡面侵蝕有很多相似之處，首先，沉積與侵蝕是一個關聯的逆過程；其次，洪水消退末期，坡面水流呈散流狀，流速較小，能夠侵蝕搬運的顆粒較小，與坡面侵蝕初期有相似性；最后，對于大型洪積扇侵蝕而言，實際上是對歷史洪積物的改造過程，先期洪積物沉積過程、堆積結構直接影響著后期的侵蝕過程。因此，可以認為坡面開始侵蝕是以搬運粒徑為Dcp的顆粒為臨界條件的，由式(21)可知，降雨條件下，坡面產生侵蝕的臨界條件為：

(22)

即當坡面水深大于h時，坡面侵蝕發生。式(22)中，不僅考慮了坡度、土體內摩擦角的影響，還考慮了坡面孔隙度的影響，使得結果更合理。

本質上，顆粒能否起動的關鍵是顆粒抗侵蝕能力與坡面水流侵蝕能力的相關關系，令Δτ=τ-τc=0，由式(20)，坡面侵蝕顆粒直徑為：

(23)

水深也是坡度的函數，將式(10)帶入式(23)，即：

(24)

K1只與n、I、f、α、l、L的函數，反映了雨強、細溝幾何形態，土粒特性相關性質，K1隨著流量、溝壁坡度的增大而增大。

(25)

由式(24)，點繪出不同內摩擦角條件下，d/K1與坡度θ的關系，如圖3所示，d/K1隨著坡度的增大而增大，隨著內摩擦角的增大而減小。當K1不變時，坡面細溝水流可搬運土粒直徑隨著坡面坡度、溝壁坡度以及細溝流量的增大而增大，隨著內摩擦角增大而迅速減小。

圖3　d/K1與坡度和內摩擦角的變化關系

3.2　土塊的起動

隨著降雨強度的增大，坡面水流沖刷能力加強，細溝間侵蝕逐漸向細溝侵蝕轉化，轉化過程中，出現大量跌穴，跌穴的出現標志著細溝侵蝕的開始[4]，鄭粉麗等[1]認為，跌穴的開始是由于坡面水流沖刷能力足以沖刷起坡面土塊和土團粒，為了確定土塊起動的臨界條件，建立如下侵蝕力學模型。

假定坡面溝床上有一高為a，底面積為S的土柱(見圖2)，容重為γ，那么，在水深為h時，沿著坡面向下有水流剪切力和有效重力向下的分力T，沿著坡面向上受到水壓力和重力作用造成的抗侵蝕力F，其中：

T=S·τ+γaSsinθ；

(26)

F=S·(γacosθ+γwh)tanφ+cS。

(27)

令S(τ-τc)=T-F，可確定土柱的抗侵蝕能力為：

τc=(γacosθ+γwh)tanφ+c-γasinθ。

(28)

則有效切應力：

Δτ=γwhsinθ-[(γacosθ+γwh)tanφ+c-γasinθ]。

(29)

當Δτ=0時，侵蝕土柱的高度為：

(30)

3.3　侵蝕速率與臨界坡度

坡面侵蝕率不僅與有效切應力有關，還與坡面流速密切相關，由式(1)、(11)可知，坡面侵蝕率可表示為：

(31)

為了分析坡面侵蝕率隨坡度的變化情況，將式(29)帶入式(31)，引入系數K，并改寫成以下形式：

(32)

圖4　Dr/K與坡度和內摩擦角的關系

(1)Dr/K隨著內摩擦角的增大而減小，當φ≥55°時，Dr/K完全小于零。說明隨著內摩擦加的增大，坡面抗侵蝕能力逐漸增強，當φ≥55°時，坡面不會產生侵蝕。

(2)當Dr/K≥0時，Dr/K隨著坡度的增大逐漸增大，說明坡面侵蝕能力隨著坡度的增大而增大。

(3)當Dr/K≤0時，Dr/K隨著坡度的增大先減小后增大，存在一最小值，說明坡面抗侵蝕能力隨著坡度的增大先增大后減小，且存在一個臨界坡度θm，當坡度大于或者小于臨界坡度時，坡面抗侵蝕能力逐漸減小。

式(32)對θ求導：

(33)

令dDr/dθ=0，則θm=F (γ/γw，a/h，φ)，由此可見，臨界坡度θm與a/h、土體容重以及內摩擦角有關。取γ=18kN/cm3，a/h=0.1、0.2、0.3時，臨界坡度隨內摩擦角變化如圖5所示，臨界坡度一般在7°~24°之間，當φ﹤40°時，臨界坡度不隨a/h的變化而變化，當φ﹥40°時，臨界坡度隨著a/h的增大而減小，且變化不大。內摩擦角對臨界坡度的影響較為顯著，隨著內摩擦角的增大而增大。

圖5　臨界坡度與內摩擦角的變化關系

圖4反映了考慮流速作用時，侵蝕速率隨坡度的變化關系，此時，坡面存在一個臨界坡度，當坡度大于或小于臨界坡度θm時，坡面抗侵蝕能力均減小，這種情況與實際情況誤差較大。實際上，坡度越小，坡面抗侵蝕能力越強，就地貌過程來看，坡面總是由陡變緩，最后發育成近水平坡面的。產生這種誤差的原因在于：當坡度較大時，流速對侵蝕速率的影響顯著，因此，采用Dr=K(τ-τc)v模型是合理的。當坡度很小時，坡度對流速的影響幾乎可以忽略，但圖4中，仍舊采用了Dr=K(τ-τc)v模型，考慮了流速對侵蝕速率的影響，顯然是不合理的。為了考慮實際情況，本文認為：坡度大于臨界坡度時，坡面流速對坡面侵蝕的影響不可忽略，即在圖4A-B線右側，采用Dr2=K(τ-τc)v模型，在A-B線左側，應忽略或減弱流速對侵蝕作用的影響，因此采用Dr1=[K(τ-τc)v]/vm]模型，其中vm為臨界坡度時的流速，該模型減小了流速對坡面抗侵蝕能力的影響。經優化后，點繪出Dr/K隨坡度的變化趨勢，如圖6

所示，圖6中，當坡度大于臨界坡度θm時，坡面抗侵蝕能力迅速減小，當坡度小于臨界坡度θm時，坡面抗侵蝕能力迅速增大，當Dr/K﹥0時，坡面不穩定，在降雨激發作用下，坡面以塌滑的方式處于強烈改造階段，與實際情況相符(圖7)。據此，根據坡面侵蝕速率、侵蝕方式和臨界坡度將坡面侵蝕劃分為三個區(見表1)，從力學角度揭示了侵蝕坡面演化過程中的一些現象。

圖6　侵蝕速率優化模型

圖7　侵蝕坡面演化示意圖

4結論

本文在分析坡面侵蝕影響因素的基礎上，建立了降雨條件下細溝侵蝕模型，得出了以下結論。

(1)降雨條件下，細溝主要起匯水作用，細溝水深h、水流流速均是流量q和坡度sinθ的冪函數。水深隨著流量、溝壁坡度的增大而增大，隨著坡面坡度的增大而減小，而流速均隨著流量和坡度的增大而增大。

(2)細溝水流侵蝕能力不僅與降雨情況、土壤入滲、坡度、坡長有關，還與溝壁坡度有關。隨著雨強、溝壁坡度、坡面坡度、坡長的增大，侵蝕能力逐漸增大。

表1　坡面侵蝕強度劃分依據

(4)坡面侵蝕的臨界條件是坡面水深，當坡面匯水深度大于臨界水深時，坡面開始侵蝕，坡面臨界水深與土體內摩擦角、土體孔隙性密切相關。坡面流可搬運土粒的直徑隨著坡面坡度、溝壁坡度以及細溝流量的增大而增大，隨著內摩擦角增大而迅速減小。

(5)當侵蝕速率Dr/K≥0時，坡面侵蝕能力隨著坡度的增大而增大；當Dr/K≤0時，坡面抗侵蝕能力隨著坡度的增大先增大后減小，且存在一個臨界坡度θm，當坡度大于該坡度時，坡面抗侵蝕能力迅速減小，當坡度小于該坡度時，坡面抗侵蝕能力迅速增大。臨界坡度一般在7°~24°之間，受內摩擦角的影響顯著，隨著內摩擦角的增大而增大。

(6)根據坡面侵蝕速率、侵蝕方式和臨界坡度將坡面劃分為強侵蝕區、穩定侵蝕區和弱侵蝕區，從力學角度揭示了侵蝕坡面演化過程中的一些現象。

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Research of Rill Erosion Model and Critical Slope Gradient during Rainfall

Li Junpeng1, Dong Weiguo2, Meng Huifang1and Jia Mengxue1

(1.KeyLaboratoryofMechanicsonDisasterandEnvironmentinWesternChina,MinistryofEducation,

Lanzhou730000,China;

2.SeismologicalBureauofJiangsuProvince,Nanjin210014,China)

Abstract:We analyze the effective factors of slope erosion and establishes slope rill erosion model during rainfall, by using hydraulics calculation figure. It gets the critical water depth conditions of slope erosion after analyzing the incipient motion of loose granular and clod on the slope. After the discussion of the influence factors of erosion rate, we draw conclusions that slope erosion ability improves with increasing of slope gradient when it is greater than zero. And if it is less than zero, that anti-erosion ability improves firstly, and decreases afterwards. There is a critical slope gradient (θspan) from 7° to 24°, influenced by internal friction angle significantly, increasing with increasing of internal friction angle. We can divide slope into three stages with the intensities of strong erosion, stable erosion, and weak erosion, according to erosion rate, erosion pattern and critical slope gradient. Meanwhile, it explains the phenomenon of slope evolution from the viewpoint of mechanics.

Key words:rill erosion; erosion rate; critical slope gradient

通訊作者：董衛國(1972-)，男，江蘇南京人，工程師，主要從事工程地質研究. E-mail：dwgnj@sohu.com

作者簡介：李軍鵬(1989-)，男，甘肅蘭州人，碩士研究生，主要從事地質災害預測與評價研究.E-mail：lijp09@lzu.edu.cn

基金項目：國家自然科學 (51469001)；中國鐵建科技支撐計劃項目(12-C32)

收稿日期：2015-03-18修回日期：2015-09-01

中圖分類號：P333.5； X43

文獻標志碼：A

文章編號：1000-811X(2016)01-0207-06

doi:10.3969/j.issn.1000-811X.2016.01.038