從Berwald空間到Riemann空間的射影變換

程新躍，沈玉玲，馬小玉

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶　400054)

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引用格式：程新躍，沈玉玲，馬小玉.從Berwald空間到Riemann空間的射影變換[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016(1):107-110.

Citation format：CHEN Xin-yue, SHEN Yu-ling, MA Xiao-yu.Projective Changes from Berwald Spaces to Riemann Spaces[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(1):107-110.

從Berwald空間到Riemann空間的射影變換

程新躍，沈玉玲，馬小玉

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054)

摘要：給定一個(gè)n維緊致無(wú)邊的微分流形M，已證明：如果≤sspan，那么從Berwald空間)到Riemann空間(M,F)的任何逐點(diǎn)C-射影變換均是平凡的，并且關(guān)于F是平行的。這里，表示的Ricci曲率張量關(guān)于F的跡，sspan:=trspanRic是F的數(shù)量曲率。特別地：如果，那么從Riemann空間到另一個(gè)Riemann空間(M,F)的任何射影變換都是平凡的。

關(guān)鍵詞：芬斯勒度量；Berwald空間；射影變換；Ricci曲率；數(shù)量曲率

1預(yù)備知識(shí)

這一部分將給出芬斯勒幾何中的一些定義。相關(guān)術(shù)語(yǔ)和記號(hào)可查閱文獻(xiàn)[1-3]。給定芬斯勒流形(M,F)。F誘導(dǎo)一個(gè)射流G,其定義為

其中

Gi定義為

Gi被稱(chēng)為F的測(cè)地系數(shù)。芬斯勒度量F的測(cè)地線(xiàn)σ=σ(t)由以下方程描述：

黎曼幾何中的黎曼曲率概念可以推廣到芬斯勒幾何中。對(duì)于任一個(gè)向量y∈TxM{0}，黎曼曲率Ry:TxM→TxM可定義為

(1)

其中

(2)

Ry是滿(mǎn)足Ry(y)=0的線(xiàn)性變換，我們稱(chēng)R為黎曼曲率，令

(3)

(4)

易見(jiàn)

(5)

(6)

在式(3)和式(4)的基礎(chǔ)上，通過(guò)直接計(jì)算可得

(7)

(8)

2Finsler度量的射影變換

(9)

式中P稱(chēng)為射影因子。若P=0，稱(chēng)這個(gè)射影變換是平凡的，見(jiàn)文獻(xiàn)[2，4-5]。

由式(9)可以得到

(10)

(11)

(12)

這里用到了以下約定：

(13)

其中P;j表示P在(M,F)上的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，即

(14)

將式(12)關(guān)于yh求導(dǎo)，再利用式(4)可得

(15)

(16)

定義1如果Qij=0，那么芬斯勒度量的射影變換稱(chēng)為C-射影變換。

此時(shí)射影因子P就是F，則有Pi=yi/F，其中yi=gij(x,y)yj。由于F;i=0,則可以得到

為下一步研究需要提供以下引理：

引理1一個(gè)Berwald空間在射影變換下的像仍為Berwald空間，當(dāng)且僅當(dāng)射影因子P滿(mǎn)足下面方程[6-7]：

(17)

很明顯，如果射影變換滿(mǎn)足式(17)，那么射影因子P可以寫(xiě)為以下形式

(18)

其中Ai(x)與y無(wú)關(guān)。

3主要定理

(19)

進(jìn)一步假設(shè)射影變換是C-射影變換。由定義1和式(13)、(19)可知?Aj/?xk-?Ak/?xj=0,即協(xié)變向量場(chǎng)Ai(x)是一個(gè)局部梯度向量場(chǎng)。因此，M上存在一個(gè)光滑函數(shù)A(x)使得?A/?xi=Ai(x)，此時(shí)可以得到

因此式(15)、(16)變?yōu)?/p>

(22)

由此，可得如下定理：

證明用ghj縮并式(21)，得

即

(23)

即

(24)

參考文獻(xiàn)：

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[6]FUKUI M,YAMADA T.On projcctive mappings in Finsler geometry[J].Tensor,NS,1981,31:216-222.

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[8]SHEN Z.Lectures on Finsler Geometry[M].[S.l.]:World Scientific Co.,Singapore,2001.

(責(zé)任編輯陳艷)

Projective Changes from Berwald Spaces to Riemann Spaces

CHEN Xin-yue, SHEN Yu-ling, MA Xiao-yu

(College of Mathematics and Statistics,

Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Abstract:Given a compact and boundaryless n-dimensional differentiable manifold M, we showed that any pointwise C-projective changes from a Berwald space ) to a Riemann space (M,F) is trivial if ≤sF, where denotes the trace of the Ricci curvature of with respect to F and sF:=trFRic is the scalar curvature of F. In particular, we showed that any projective change from a Riemann space ) to another Riemann space (M,F) is trivial if ≤sF.

Key words:Finsler metric; Berwald space; projective change; Ricci curvature; scalar curvature

文章編號(hào)：1674-8425(2016)01-0107-04

中圖分類(lèi)號(hào)：O186.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.01.019

作者簡(jiǎn)介：程新躍(1958—), 男, 重慶人, 博士，教授, 主要從事微分幾何研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371386); 歐盟FP7(SEVENTH FRAMEWORK PROGRAMME)資助項(xiàng)目(PIRSES-GA-2012-317721).

收稿日期：2015-09-19