一類不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制

王繼忠，于江波，張長(zhǎng)學(xué)

（山東建筑大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南250101）

一類不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制

王繼忠，于江波，張長(zhǎng)學(xué)

（山東建筑大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南250101）

非線性不確定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)控制是魯棒控制理論的重要內(nèi)容。文章研究一類帶有未建模動(dòng)態(tài)的控制系數(shù)完全未知的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問(wèn)題，應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法、Nussbaum函數(shù)增益及局部小增益型條件，提出了魯棒調(diào)節(jié)控制方案；分析了其穩(wěn)定性；并對(duì)所提出的魯棒調(diào)節(jié)控制方案進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明：所提出的控制方案對(duì)未建模動(dòng)態(tài)、不確定非線性及時(shí)變未知控制系數(shù)具有良好的魯棒性；應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法能夠克服未建模動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)可能導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定性；Nussbaum函數(shù)增益能夠有效處理控制方向未知、時(shí)變的未知控制系數(shù)等嚴(yán)重的系統(tǒng)不確定性；局部小增益型條件可以有效解決不可測(cè)狀態(tài)不確定性的增長(zhǎng)問(wèn)題。

魯棒調(diào)節(jié)控制；不確定非線性系統(tǒng)；Nussbaum函數(shù)；局部小增益條件

0 引言

近年來(lái)，關(guān)于具有輸入狀態(tài)穩(wěn)定（ISS）或積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定（iISS）動(dòng)態(tài)不確定性的非線性系統(tǒng)的反饋控制研究是控制理論研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［1］。輸入狀態(tài)穩(wěn)定性是對(duì)關(guān)于最大值范數(shù)的有限增益和有限L2增益（“非線性H∞”）的一種非線性推廣；該屬性考察了初始狀態(tài)在某種意義上與經(jīng)典Lyapunov理論完全相容，并且用非線性增益取代了對(duì)一般非線性控制要求過(guò)高的有限線性增益。當(dāng)被一致有界的能量信號(hào)所激勵(lì)時(shí)，一個(gè)ISS系統(tǒng)表明了低的能量響應(yīng)［2-3］。積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定（iISS）是輸入狀態(tài)穩(wěn)定（ISS）的積分變形，是比輸入狀態(tài)穩(wěn)定（ISS）更弱的一類穩(wěn)定性［4-7］。該性質(zhì)定性反映了當(dāng)干擾具有有限能量時(shí)小的超調(diào)并為線性系統(tǒng)提供了一個(gè)類似有限H2范數(shù)的定性結(jié)論，具有重要的物理意義。ISS及iISS的出現(xiàn)，使得系統(tǒng)不確定性更加廣泛。借助于ISS及iISS方法，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不確定性可以是非線性的，對(duì)于動(dòng)態(tài)不確定性需要滿足線性的最小相位條件有了很大改進(jìn)［8］。

控制系數(shù)未知是系統(tǒng)存在的另一種嚴(yán)重的不確定性，與控制系數(shù)已知情形相比，控制系數(shù)未知使得傳統(tǒng)的Backstepping設(shè)計(jì)方法不再適用，導(dǎo)致控制器設(shè)計(jì)極為困難，現(xiàn)有結(jié)果通常假設(shè)未知的控制系數(shù)上下界已知［9-13］。Nussbaum首次提出基于Nussbaum增益的設(shè)計(jì)技術(shù)［14］，該方法是處理虛擬控制系數(shù)完全未知時(shí)的系統(tǒng)控制問(wèn)題的一種非常有效的工具［2］。文章應(yīng)用Nussbaum增益技術(shù)，結(jié)合積分器反推方法，研究一類帶有未建模動(dòng)態(tài)的控制系數(shù)完全未知的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問(wèn)題，得到的結(jié)論進(jìn)一步推廣了現(xiàn)有結(jié)果［6-7］。

1 魯棒調(diào)節(jié)控制問(wèn)題描述

研究一類如式（1）所示的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問(wèn)題。式中：u，y∈R是系統(tǒng)輸入及輸出；ω∈Rr代表系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不確定性；x=(x1，…，xn)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；φi(ω，y，d(t)) 是未知的不確定函數(shù)，代表未建模動(dòng)態(tài)；bi(t)是大小及符號(hào)未知的控制系數(shù)。

研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律u，使得系統(tǒng)狀態(tài)(ω(t)，x1(t)，…，xn(t)) 在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)收斂到零。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，對(duì)于式（1）為

式中：γ0(s)=O( s2)。

假設(shè)2 存在非負(fù)光滑函數(shù)φi1、φi2（i=1，…，n）及pij≥0（i=1，…，n；j=1，2），使得滿足式（3）所示條件。

式中：φi1滿足式（4）所示局部小增益型條件。

2 魯棒調(diào)節(jié)控制器設(shè)計(jì)

應(yīng)用Backstepping方法系統(tǒng)地給出魯棒調(diào)節(jié)控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程。

第1步 對(duì)于x1-子系統(tǒng)，記z1=x1，選取李亞普諾夫函數(shù)由式（5）表示為

根據(jù)假設(shè)1及假設(shè)2，存在光滑函數(shù)γ^(x1)≥0，使得式（5）的導(dǎo)數(shù)滿足式（6）為應(yīng)用完全平方公式，對(duì)于不確定項(xiàng)p11φ11(ω)z1，滿足式（7）為

由 φ12(0)=0，可以進(jìn)一步得到

記z2=x2-?1，其中?1為虛擬控制律，則式（8）轉(zhuǎn)化成式（9）表示為

將式（10）代入式（9）中得式（11）為

第k( 2≤k≤n-1)步假設(shè)已設(shè)計(jì)虛擬控制律及動(dòng)態(tài)光滑函數(shù)，由式（13）表示為

使得正定正則可微的李亞普諾夫函數(shù)，由式（14）表示為

且式（14）的導(dǎo)數(shù)滿足

以下證明式（15）對(duì)于第k步也成立。選取李亞普諾夫函數(shù)，由式（16）表示為

可以驗(yàn)證式（16）導(dǎo)數(shù)滿足式（17）為與第1步類似，對(duì)式（17）中的不確定項(xiàng)，應(yīng)用完全 平方公式，得到式（18）～（20）為

選取函數(shù)φk( x1，…，xk，ξ1，…，ξk-1)及χk=因此，把式（18）～（22）代入式（17），得到式（23）為

選取第k個(gè)虛擬控制律及動(dòng)態(tài)增益由式（24）表示為

于是，式（23）變?yōu)槭剑?5）為

第n步選取李亞普諾夫函數(shù)由式（26）表示為

式（26）的導(dǎo)數(shù)滿足式（27）為

選取控制律及動(dòng)態(tài)增益由式（28）表示為

結(jié)合式（27）得到式（29）為

至此，結(jié)合Nussbaum增益的反步法，研究給出了由式（1）表示的不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)。

3 魯棒穩(wěn)定性分析

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)解的最大存在區(qū)間是 [ 0，tf)。對(duì)k=1，…，n，選取恰當(dāng)?shù)摩舓＞0，式（25）可以進(jìn)一步由式（30）表示為

進(jìn)一步可以得到，ξk(t)( 1≤k≤n)在 [ 0，tf)上有界。根據(jù)Vk(t)( 1≤k≤n)的定義，其在 [ 0，tf)上有界，進(jìn)一步的，ω(t)與zk(t)( 1≤k≤n)有界。考慮到xk=zk+αk-1( 1≤k≤n)，可以得到xk(t)有界。因此，閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)在 [ 0，tf)上有界，因此tf=∞。考慮到 ( ω，x)的有界性，可以得到致連續(xù)。根據(jù)ξk有界，可得式（31）為

由Barbalat引理［15］，得到

從而得到如下結(jié)論：若假設(shè)1～3成立，則閉環(huán)系統(tǒng)的解在 [ 0，∞ )上有定義且有界。特別的，系統(tǒng)狀態(tài)收斂到零，由式（33）表示為

4 仿真實(shí)驗(yàn)

文章對(duì)提出的控制方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證。考慮如下系統(tǒng)，由式（34）表示為

選取b1(t)=及初始條件ω(0)=0．5，x(0)= ( 1，0)，ξ(0)=( 0．5，1)，繪制了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)—時(shí)間響應(yīng)圖、控制輸入變量—時(shí)間響應(yīng)圖，分別如圖1（a）、1（b）所示。從圖1所示的系統(tǒng)狀態(tài)及控制輸入與時(shí)間的響應(yīng)圖可以看出，該控制方案對(duì)未建模動(dòng)態(tài)及時(shí)變未知控制系數(shù)具有良好的魯棒性。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及控制輸入與時(shí)間的響應(yīng)圖

5 結(jié)論

根據(jù)以上分析可知：

（1）提出的控制方案對(duì)未建模動(dòng)態(tài)、不確定非線性及未知的控制系數(shù)具有良好的魯棒性，能夠?qū)崿F(xiàn)所研究的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)控制問(wèn)題。

（2）應(yīng)用改變供能函數(shù)率的方法可以克服積分輸入狀態(tài)穩(wěn)定（iISS）的未建模動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)可能導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定的影響。

（3）Nussbaum函數(shù)增益通過(guò)產(chǎn)生一類不依賴于控制系數(shù)的符號(hào)的振蕩信號(hào)，能夠有效處理控制方向未知、時(shí)變的未知控制系數(shù)等嚴(yán)重的系統(tǒng)不確定性。

（4）局部小增益型條件建立了系統(tǒng)非線性與未建模動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)供能函數(shù)率間的聯(lián)系，可以有效解決不可測(cè)狀態(tài)不確定性的增長(zhǎng)問(wèn)題。

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（校慶約稿）

山東建筑大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科——王繼忠教授

王繼忠教授現(xiàn)為山東建筑大學(xué)重點(diǎn)崗教授、山東省教學(xué)名師，碩士生導(dǎo)師，校級(jí)重點(diǎn)學(xué)科“應(yīng)用數(shù)學(xué)”學(xué)科帶頭人。

王繼忠教授博士畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，2008年3月至2016年5月間曾擔(dān)任理學(xué)院院長(zhǎng)。現(xiàn)兼任應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)、山東省專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)委員、山東省高等數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)。

多年來(lái)一直在高校從事教學(xué)和管理工作，主要從事微分方程的穩(wěn)定性、有界性的研究和控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性的研究，先后為本科生和研究生主講了《數(shù)學(xué)分析》、《實(shí)變函數(shù)》等九門課程，取得了良好的教學(xué)效果；主持山東省面向二十一世紀(jì)教學(xué)改革課題一項(xiàng)、科研課題一項(xiàng)；承擔(dān)山東省自然科學(xué)基金課題一項(xiàng)，作為主要成員參與國(guó)家自然科學(xué)基金課題3項(xiàng)；出版學(xué)術(shù)專著一部；發(fā)表論文30余篇，其中，三大檢索收錄11篇。先后榮獲臨沂市十大杰出青年、勞動(dòng)模范、專業(yè)技術(shù)拔尖人才、山東省第五屆青年科技獎(jiǎng)、山東省優(yōu)秀教學(xué)成果一等獎(jiǎng)。

Robust regulation control for a class of uncertain nonlinear system s

Wang Jizhong，Yu Jiangbo，Zhang Changxue
（School of Science，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

The regulation control for the nonlinear uncertain systems is a central topic in robust control theory.This paper studies the robust regulation control problem for a class of nonlinear uncertain systems with unmodeled dynamics，uncertain nonlinearities，and unknown time-varying control coefficients.A robust regulation control scheme is presented using the changing supply rates technique，Nussbaum function gain as well as local small-gain conditions，and then the stability is analyzed.The simulation example verifies its efficacy.The results show that he proposed control scheme is robust against the unmodeled dynamics，uncertain nonlinearities，and unknown control coefficients；the changing supply rates technique could overcome the possible instability because of the unmodeled dynamic subsystem；Nussbaum function gain could effectively handle serious uncertainties in systems such as the unknown control direction，time-varying unknown control coefficients and so on；local small-gain conditions could well address the unmeasured states growth problems.

robust regulation control；uncertain nonlinear systems；Nussbaum function；local smallgain conditions

93D15

A

1673-7644（2016）06-0593-06

2016-11-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61304008）；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目（2015BSB01450）；山東建筑大學(xué)博士基金項(xiàng)目（XNBS1272）

王繼忠（1959-），男，教授，博士，主要從事微分方程定性理論及在控制理論中的應(yīng)用等方面的研究.E-mail：wjz600265@163.com