一類不確定非線性系統的魯棒調節控制

王繼忠，于江波，張長學

（山東建筑大學理學院，山東濟南250101）

一類不確定非線性系統的魯棒調節控制

王繼忠，于江波，張長學

（山東建筑大學理學院，山東濟南250101）

非線性不確定系統的調節控制是魯棒控制理論的重要內容。文章研究一類帶有未建模動態的控制系數完全未知的不確定非線性系統的魯棒調節控制問題，應用改變供能函數率的方法、Nussbaum函數增益及局部小增益型條件，提出了魯棒調節控制方案；分析了其穩定性；并對所提出的魯棒調節控制方案進行了仿真驗證。結果表明：所提出的控制方案對未建模動態、不確定非線性及時變未知控制系數具有良好的魯棒性；應用改變供能函數率的方法能夠克服未建模動態子系統可能導致的系統不穩定性；Nussbaum函數增益能夠有效處理控制方向未知、時變的未知控制系數等嚴重的系統不確定性；局部小增益型條件可以有效解決不可測狀態不確定性的增長問題。

魯棒調節控制；不確定非線性系統；Nussbaum函數；局部小增益條件

0 引言

近年來，關于具有輸入狀態穩定（ISS）或積分輸入狀態穩定（iISS）動態不確定性的非線性系統的反饋控制研究是控制理論研究的熱點問題之一［1］。輸入狀態穩定性是對關于最大值范數的有限增益和有限L2增益（“非線性H∞”）的一種非線性推廣；該屬性考察了初始狀態在某種意義上與經典Lyapunov理論完全相容，并且用非線性增益取代了對一般非線性控制要求過高的有限線性增益。當被一致有界的能量信號所激勵時，一個ISS系統表明了低的能量響應［2-3］。積分輸入狀態穩定（iISS）是輸入狀態穩定（ISS）的積分變形，是比輸入狀態穩定（ISS）更弱的一類穩定性［4-7］。該性質定性反映了當干擾具有有限能量時小的超調并為線性系統提供了一個類似有限H2范數的定性結論，具有重要的物理意義。ISS及iISS的出現，使得系統不確定性更加廣泛。借助于ISS及iISS方法，系統的動態不確定性可以是非線性的，對于動態不確定性需要滿足線性的最小相位條件有了很大改進［8］。

控制系數未知是系統存在的另一種嚴重的不確定性，與控制系數已知情形相比，控制系數未知使得傳統的Backstepping設計方法不再適用，導致控制器設計極為困難，現有結果通常假設未知的控制系數上下界已知［9-13］。Nussbaum首次提出基于Nussbaum增益的設計技術［14］，該方法是處理虛擬控制系數完全未知時的系統控制問題的一種非常有效的工具［2］。文章應用Nussbaum增益技術，結合積分器反推方法，研究一類帶有未建模動態的控制系數完全未知的不確定非線性系統的魯棒調節控制問題，得到的結論進一步推廣了現有結果［6-7］。

1 魯棒調節控制問題描述

研究一類如式（1）所示的不確定非線性系統的魯棒調節控制問題。式中：u，y∈R是系統輸入及輸出；ω∈Rr代表系統的動態不確定性；x=(x1，…，xn)∈Rn是系統狀態；φi(ω，y，d(t)) 是未知的不確定函數，代表未建模動態；bi(t)是大小及符號未知的控制系數。

研究目標是設計控制律u，使得系統狀態(ω(t)，x1(t)，…，xn(t)) 在時間t趨于無窮大時收斂到零。為實現這一目標，對于式（1）為

式中：γ0(s)=O( s2)。

假設2 存在非負光滑函數φi1、φi2（i=1，…，n）及pij≥0（i=1，…，n；j=1，2），使得滿足式（3）所示條件。

式中：φi1滿足式（4）所示局部小增益型條件。

2 魯棒調節控制器設計

應用Backstepping方法系統地給出魯棒調節控制器的設計過程。

第1步 對于x1-子系統，記z1=x1，選取李亞普諾夫函數由式（5）表示為

根據假設1及假設2，存在光滑函數γ^(x1)≥0，使得式（5）的導數滿足式（6）為應用完全平方公式，對于不確定項p11φ11(ω)z1，滿足式（7）為

由 φ12(0)=0，可以進一步得到

記z2=x2-?1，其中?1為虛擬控制律，則式（8）轉化成式（9）表示為

將式（10）代入式（9）中得式（11）為

第k( 2≤k≤n-1)步假設已設計虛擬控制律及動態光滑函數，由式（13）表示為

使得正定正則可微的李亞普諾夫函數，由式（14）表示為

且式（14）的導數滿足

以下證明式（15）對于第k步也成立。選取李亞普諾夫函數，由式（16）表示為

可以驗證式（16）導數滿足式（17）為與第1步類似，對式（17）中的不確定項，應用完全 平方公式，得到式（18）～（20）為

選取函數φk( x1，…，xk，ξ1，…，ξk-1)及χk=因此，把式（18）～（22）代入式（17），得到式（23）為

選取第k個虛擬控制律及動態增益由式（24）表示為

于是，式（23）變為式（25）為

第n步選取李亞普諾夫函數由式（26）表示為

式（26）的導數滿足式（27）為

選取控制律及動態增益由式（28）表示為

結合式（27）得到式（29）為

至此，結合Nussbaum增益的反步法，研究給出了由式（1）表示的不確定系統的魯棒控制器設計。

3 魯棒穩定性分析

假設閉環系統解的最大存在區間是 [ 0，tf)。對k=1，…，n，選取恰當的εk＞0，式（25）可以進一步由式（30）表示為

進一步可以得到，ξk(t)( 1≤k≤n)在 [ 0，tf)上有界。根據Vk(t)( 1≤k≤n)的定義，其在 [ 0，tf)上有界，進一步的，ω(t)與zk(t)( 1≤k≤n)有界。考慮到xk=zk+αk-1( 1≤k≤n)，可以得到xk(t)有界。因此，閉環系統信號在 [ 0，tf)上有界，因此tf=∞。考慮到 ( ω，x)的有界性，可以得到致連續。根據ξk有界，可得式（31）為

由Barbalat引理［15］，得到

從而得到如下結論：若假設1～3成立，則閉環系統的解在 [ 0，∞ )上有定義且有界。特別的，系統狀態收斂到零，由式（33）表示為

4 仿真實驗

文章對提出的控制方案進行仿真驗證。考慮如下系統，由式（34）表示為

選取b1(t)=及初始條件ω(0)=0．5，x(0)= ( 1，0)，ξ(0)=( 0．5，1)，繪制了閉環系統的狀態—時間響應圖、控制輸入變量—時間響應圖，分別如圖1（a）、1（b）所示。從圖1所示的系統狀態及控制輸入與時間的響應圖可以看出，該控制方案對未建模動態及時變未知控制系數具有良好的魯棒性。

圖1 系統狀態及控制輸入與時間的響應圖

5 結論

根據以上分析可知：

（1）提出的控制方案對未建模動態、不確定非線性及未知的控制系數具有良好的魯棒性，能夠實現所研究的不確定非線性系統的魯棒調節控制問題。

（2）應用改變供能函數率的方法可以克服積分輸入狀態穩定（iISS）的未建模動態子系統可能導致的系統不穩定的影響。

（3）Nussbaum函數增益通過產生一類不依賴于控制系數的符號的振蕩信號，能夠有效處理控制方向未知、時變的未知控制系數等嚴重的系統不確定性。

（4）局部小增益型條件建立了系統非線性與未建模動態子系統供能函數率間的聯系，可以有效解決不可測狀態不確定性的增長問題。

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（校慶約稿）

山東建筑大學數學學科——王繼忠教授

王繼忠教授現為山東建筑大學重點崗教授、山東省教學名師，碩士生導師，校級重點學科“應用數學”學科帶頭人。

王繼忠教授博士畢業于西安電子科技大學應用數學專業，2008年3月至2016年5月間曾擔任理學院院長。現兼任應用數學研究所所長、山東省專業教學指導委員會委員、山東省高等數學學會副理事長。

多年來一直在高校從事教學和管理工作，主要從事微分方程的穩定性、有界性的研究和控制系統絕對穩定性的研究，先后為本科生和研究生主講了《數學分析》、《實變函數》等九門課程，取得了良好的教學效果；主持山東省面向二十一世紀教學改革課題一項、科研課題一項；承擔山東省自然科學基金課題一項，作為主要成員參與國家自然科學基金課題3項；出版學術專著一部；發表論文30余篇，其中，三大檢索收錄11篇。先后榮獲臨沂市十大杰出青年、勞動模范、專業技術拔尖人才、山東省第五屆青年科技獎、山東省優秀教學成果一等獎。

Robust regulation control for a class of uncertain nonlinear system s

Wang Jizhong，Yu Jiangbo，Zhang Changxue
（School of Science，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

The regulation control for the nonlinear uncertain systems is a central topic in robust control theory.This paper studies the robust regulation control problem for a class of nonlinear uncertain systems with unmodeled dynamics，uncertain nonlinearities，and unknown time-varying control coefficients.A robust regulation control scheme is presented using the changing supply rates technique，Nussbaum function gain as well as local small-gain conditions，and then the stability is analyzed.The simulation example verifies its efficacy.The results show that he proposed control scheme is robust against the unmodeled dynamics，uncertain nonlinearities，and unknown control coefficients；the changing supply rates technique could overcome the possible instability because of the unmodeled dynamic subsystem；Nussbaum function gain could effectively handle serious uncertainties in systems such as the unknown control direction，time-varying unknown control coefficients and so on；local small-gain conditions could well address the unmeasured states growth problems.

robust regulation control；uncertain nonlinear systems；Nussbaum function；local smallgain conditions

93D15

A

1673-7644（2016）06-0593-06

2016-11-11

國家自然科學基金項目（61304008）；山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金項目（2015BSB01450）；山東建筑大學博士基金項目（XNBS1272）

王繼忠（1959-），男，教授，博士，主要從事微分方程定性理論及在控制理論中的應用等方面的研究.E-mail：wjz600265@163.com