橢圓的參數方程教學案例

李鳳

摘要：圓錐曲線中，橢圓具有舉足輕重的地位，而橢圓的參數方程的引入和學習，有助于我們更好地理解橢圓的性質，體會各知識之間的聯系，方便的解決一些數學問題。教科書通過推廣前一節例4，得出橢圓的參數方程，這個參數方程實際上是通過純粹的代數和三角變換得到的，參數的幾何意義并不明確，為此我類比圓的參數方程中參數的幾何意義來探究橢圓參數方程中參數的幾何意義，輔助計算機利用幾何畫板演示橢圓的軌跡，發現參數的幾何意義，直觀形象易于理解。

關鍵詞：橢圓 參數方程 幾何意義 案例 應用

中圖分類號：G63文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（B）-0000-00

一、 案例背景

依據美國學者埃德加·戴爾（Edgar Dale）1946年提出的“學習金字塔”（Learning Pyramid）理論，依照新課程標準中的要求打造以老師為主導、學生為主體的高效課堂。

1、教材分析

相對于曲線的一般方程，參數方程是曲線的另一種代數表現形式，在某些方面具有一定的優越性，而橢圓的參數方程是其中一個重要的內容。從教材的編排看，橢圓的參數方程被安排在圓的參數方程與雙曲線的參數方程之間，它起著銜接，過渡，承前啟后的作用。

2、學情分析

學生已經掌握了橢圓的標準方程、圖像和性質，能夠簡單的應用，但是對于一些求最值的問題感到計算比較困難。本節課橢圓的參數方程的教學應該幫助學生解決好：1.能從類比圓的參數方程的建立得出橢圓的參數方程；2.引導學生體會橢圓參數的幾何意義；3.能利用橢圓的參數方程解決有關的問題。

3、教學目標

知識與技能：通過探究活動，了解橢圓參數方程及橢圓規的設計原理；

過程與方法：有應用參數的意識，能用橢圓參數方程解決一些簡單問題；

情感態度價值觀：通過觀察，探索的學習過程，培養探究能力和創新意識.

4、教學重點：橢圓的參數方程的建立.

教學難點：橢圓參數方程的應用.

5、教學用具：實物展臺，投影儀

6、教學流程：目標引入——自主探究——分組討論——自主實踐——反思總結

7、教學方法：自主探究式教學

8、教學課時：1課時

二、教學步驟

1、目標引入：復習回顧圓的參數方程并提出問題——能否根據課本上推導圓的參數方程的過程推導出橢圓的參數方程？引入課題并板書課題——橢圓的參數方程。

2、自主探究，發現新知

探究1： 以坐標原點O為圓心，分別以a、b為半徑作兩個圓。點A是大圓上任意一點，點B是大圓半徑與小圓的交點，過點A作AN⊥x軸于點N，再過點B作BM⊥AN于點M。求當半徑OA繞點O旋轉時，點M的軌跡的參數方程。

①提問學生選取什么作為參數？②再問學生選擇該參數的理由；③構建橢圓的參數方程：

如圖，設∠xOA=θ，點M的坐標為（x，y）。

則x=ON=|OA|cosθ=acosθ，

y=NM=|OB|sinθ=bsinθ。

即 （θ為參數），這就是點M軌跡的參數方程。

最后，提問學生點M的軌跡是一條什么曲線？為什么？并引出離心角的概念。

①直接消去參數θ，化參數方程為普通方程可知點M的軌跡是橢圓；

②利用《幾何畫板》對點M進行“跟蹤”，發現點M的軌跡確實是橢圓；

【正確理解橢圓離心角θ的幾何意義】

1.給出離心角與旋轉角的概念

如圖，我們稱∠xOA為橢圓的離心角，而把∠xOM叫做橢圓的旋轉角。

2.初步認識橢圓的離心角θ

①由圖可知∠xOA≠∠xOM；②提問：∠xOA與∠xOM有相等的可能嗎？一共有多少次？

3、分組討論，體驗應用

探究2：橢圓規是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示. 在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊 ， ， 它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點 處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周就畫出一個橢圓.你能說明它的構造原理嗎？（提示：可以用直尺 和橫槽所成的角為參數，求出點 的軌跡的參數方程. ）

4、動手實踐，深化知識

探究3：已知橢圓 .若 是橢圓 上任一點，求 的最值

5、學生小結

知識方面：

思想方面：

6、布置作業：課本 思考題

三、結語

1.注重學以致用。課堂不應該是 “一言堂”，學生也不再是教師注入知識的“容器瓶”，課堂上，老師應為學生講清楚相關理論、原理及思維方法，做到授之以漁，而非僅是授之以魚。保證活躍的課堂氣氛，進一步激發了學生的學習潛能。

2.教學中借助信息技術可以彌補傳統教學在直觀感、立體感和動態感方面的不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率，本課使用幾何畫板可以動態地演示出橢圓參數方程的生成過程，讓學生直觀觀察參數的影響。

參考文獻：

1. 普通高中課程標準實驗教科書《坐標系與參數方程》人民教育出版社

2. 陳東生 《中學數學教學參考月刊》2010年 第10期

3. 黃春妮《新課程》2014年 第8期