一種面向低頻隔振的兩自由度球面并聯機構

張曉偉，段學超，冷國俊，保　宏

(1.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西西安　710071；2.中國電子科技集團公司第二十九研究所，四川成都　610036)

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一種面向低頻隔振的兩自由度球面并聯機構

張曉偉1，段學超1，冷國俊2，保宏1

(1.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西西安710071；2.中國電子科技集團公司第二十九研究所，四川成都610036)

摘要：針對兩轉動自由度低頻隔振的需求，基于球面并聯機構理論提出了一種兩轉動自由度球面并聯隔振裝置。從機構學的角度對其進行了工作原理分析和自由度計算，并完成了隔振平臺的虛擬樣機設計。采用連桿參數的D-H表示法，以連桿圓弧張角為約束條件建立了機構的約束方程，實現了其運動學逆解，并基于數值方法給出了運動學正解的求解過程及正逆解算例。分析和仿真結果表明：所設計的兩自由度球面并聯機構可操控性強、運動學模型合理有效，能夠滿足隔振平臺所需的低頻隔振性能需求。

關鍵詞：機械原理與機構學；隔振平臺；球面并聯機構；雅可比矩陣；運動學

張曉偉，段學超，冷國俊，等.一種面向低頻隔振的兩自由度球面并聯機構[J].河北科技大學學報,2016,37(1):13-19.

ZHANG Xiaowei, DUAN Xuechao, LENG Guojun, et al.A two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism with low-frequency vibration isolation[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(1):13-19.

主動隔振技術作為振動控制領域的一個重要分支，具有自適應性好、可對低頻振動進行隔離等優點，因而成為隔振技術的研究熱點[1-2]。從隔振原理上講，主動隔振是在被控系統中引入次級振源，并通過一定的控制方法調節次級振源的輸出，使其產生的振動與主振源(干擾)的振動相抵消,從而達到隔振的目的[1]。從系統的功能看，隔振穩定平臺的機械機構是主動隔振系統的重要組成部分，合理的機械機構是穩定平臺實現其功能、提高穩定精度的前提。穩定平臺最初是串聯型機構較多。1965年STEWART提出著名的六自由度并聯式平臺[3-4]，從此開始了基于Stewart并聯機構的研究，目前平臺可以實現6個自由度的穩定。而對于常見的少自由度的穩定平臺，按照機構形式可以分為2類：一類是框架機構[5-6]，另一類為多點支撐式結構[7]。相對于這2種結構形式，并聯機構具有承載能力高、剛度大、結構簡單穩定、精度高、易實現高速運動、求解運動學逆解容易等優點[8]，從而使平臺具備更好的穩定性。

從機構學的角度看，機器人可分為球面機器人、平面機器人和空間機器人[9]，其中球面機器人是一特殊類型的機構，它是聯系平面機構與空間機構的橋梁。當球面機構運動時，其構件上所有點在一個球面上運動。除具有并聯機器人的一般特性外，球面機構還具有結構簡單、工作空間大、不易發生干涉、運動學計算簡單、控制容易等優點[10]。隨著機器人技術的發展，各種形式的球面并聯機構也引起了人們的研究興趣，并在工程中得到了成功應用[11-13]。本文提出了一種應用于移動載體上的兩自由度主動隔振平臺機構模型，通過隔振可減小載體由于位姿變換、干擾振動以及發動機振動等對所隔振設備的影響，使其具有一個高品質的工作環境。

圖1　兩轉動自由度球面并聯機構的原理圖Fig.1　Schematic of the two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism

圖2　兩轉動自由度球面并聯機構的虛擬樣機Fig.2　Virtual prototype of the two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism

1機構組成與運動原理

1.1　機構簡介

所設計的兩轉動自由度球面并聯機構的原理圖見圖1，機構分為上平臺①和基座②，上平臺作為設備的承載體具有兩轉動自由度。上平臺與基座間由2個支鏈和1個支柱④連接，支鏈所有運動副都為轉動副。支柱下端與基座固連，上端通過虎克鉸③與上平臺相連。機構符合球面機構的一般特性[14-15]，在運動過程中支鏈連桿上的所有點均在以某一定點為球心的球面上運動，并且所有轉動副及電機軸軸線皆交匯于該定點，該定點叫做機構的運動中心。

根據所設計機構的特性，選擇虎克鉸中心旋轉體的型心作為機構的轉動中心。根據機構原理，結合機械設計相關知識，該機構的實際設計虛擬樣機如圖2所示。

1.2　自由度計算

由機構學知識可知，修正后的Kutzbach-Grubler自由度計算公式為[16]

(1)

式中：M為機構的自由度數目；n為機構中構件的數目；g為機構中運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度數；d為機構的階數；v為機構中冗余約束的數目；ζ為機構中局部自由度的數目。

因為平面機構或球面機構的公共約束為3[17]，則該機構作為球面機構具有3個公共約束[6]，即d=3，其他參數n=6，g=7。由于與支鏈相關的運動副都為單自由度的轉動副，所以對于這些運動副都有fi=1(i=1，2，…，6)。由于支柱與上平臺是由虎克鉸連接，故有2個自由度，所以有f7=2。從機構的機構形式可以看出，機構冗余數目v=0，機構局部自由度數目ζ=0。將上述參數代入式(1)有

M=3×(6-7-1)+6×1+2-0=2 。

所以該球面并聯機構的自由度數目為M=2，并且通過分析可知機構具有沿2個方向轉動的自由度。驅動位置選在支鏈與下平臺連接的轉動副處，這樣在機構運動過程中兩驅動電機帶動支鏈運動，支鏈就可以帶動上平臺在自由度方向上完成位姿的變換。

2機構運動學分析

2.1　坐標系的建立

按照連桿參數的D-H表示法建立坐標系：O-X0Y0Z0，O-XYZ和O-XijYijZij(ij表示第i個分支的第j個轉動副，以下i，j的取值都為1或2)，如圖3所示。由于兩自由度球面并聯機構各個連桿系都是繞著球心轉動，因此選取球心O作為各坐標系的原點；支柱軸線作為固定坐標系的Z0軸，指向上平臺的方向為正方向；各連桿坐標系的Zij分別為第i個分支的第j個轉動副的軸線方向，方向指向球外；固定坐標系的X0軸是Z0軸和Z11軸所張成平面的法線；連桿坐標系的Xij軸分別為Zij與Zi，j+1所張成平面的法線方向；將過球心O且垂直于上平臺的垂線作為動坐標系的Z軸；X軸的方向為Z13與Z軸所張成平面的法線方向(與X13軸重合)；各坐標系的Y軸分別由右手定則確定。

圖3　各坐標系的建立Fig.3　Coordinates of the system

該機構的結構參數有α1，α2，β，η1i，η2i。其中η1i(i=1,2)分別為各分支的Zi1在基座的投影與第一分支的Z11投影所成的角度；η2i(i=1,2)分別為各分支的Zi3在上平臺的投影與第一分支的Z13投影所成的角度。

2.2　運動學逆解的推導

應用連桿參數的D-H表示法[18]及球面解析理論[19]都可以進行機構運動學逆解的推導，此處以連桿參數的D-H表示法為例進行運動學逆解推導。由于機構的上平臺只有2個轉動的自由度，記上平臺位姿為橫滾角φx、俯仰角φy，則上平臺位姿可表示為

(2)

式中：c表示cos函數運算，s表示sin函數運算，下同。

2.2.1矢量ui，wi和vi的方向余弦

定義如下各單位向量：ui沿Zi1方向，wi沿Zi2方向，vi沿Zi3方向，以上i=1,2。

通過連桿參數的D-H表示法進行坐標旋轉變換可得固定坐標系O-X0Y0Z0和O-Xi2Yi2Zi2之間的轉換矩陣為

其中

(3)

因此，可得

(4)

式中：

a11=cθi2cη1icθi1+cθi2sη1icβsθi1-cα1sθi2cη1isθi1+cα1sθi2sη1icβcθi1-sη1isβsα1sθi2,

a12=-sθi2cη1icθi1-sθi2sη1icβsθi1-cα1cθi2cη1isθi1+cα1cθi2sη1icβcθi1-sη1isβsα1cθi2,

a13=-sα1cη1isθi1+sα1sη1icβcθi1+sη1isβcα1,

a21=cθi2sη1icθi1-cθi2cη1icβsθi1-cα1sθi2sη1isθi1-cα1sθi2cη1icβcθi1+cη1isβsα1sθi2,

a22=-sθi2sη1icθi1+sθi2cη1icβsθi1-cα1cθi2sη1isθi1-cα1cθi2cη1icβcθi1+cη1isβsα1cθi2,

a23=-sα1sη1isθi1-sα1cη1icβcθi1-cα1cη1isβ,

a31=sβsθi1cθi2+sβcθi1cα1sθi2+cβsα1sθi2，

a32=-sβsθi1sθi2+sβcθi1cα1cθi2+cβsα1cθi2,

a33=sβcθi1sα1-cβcα1。

ui=[sη1isβ-cη1isβ-cβ]T，

(5)

同理，根據上平臺位姿矩陣(2)，結合坐標的旋轉變換可得到vi的表達式：

(6)

2.2.2由機構約束條件導出位姿逆解

各分支中間轉動副wi與相應上平臺轉動副vi以上連桿α2相連，就有約束方程

wi·vi=cα2,i=1,2。

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)并整理可得

Aisθi1+Bicθi1+Ci=0,i=1,2，

式中：

Ai=-sα1cη1ivix-sα1sη1iviy,

Bi=sα1sη1icβvix-sα1cη1icβviy+sβsα1viz,

Ci=sη1isβcα1vix-cη1isβcα1viy-cβcα1viz-cα2。

解得

(8)

式(8)表明，已知動平臺的位姿，便可求輸入角θ11和θ21，并且由式(8)可以看出，每個輸出位姿對應2組輸入解，根據機構的運動特性易確定符合約束關系的合理解。

2.2.3逆解算例

球面并聯機構的各設計參數分別為α1=25°,α2=30°,β=53.13°,η11=0°,η12=90°,η21=0°,η22=90°。規劃動平臺運動軌跡為與動平臺固連的動坐標系Z軸繞固定坐標系的Z0軸做錐角為30°的圓錐面勻速運動，如圖4所示。圖中圓形軌跡為動平臺單位法線(與Z軸重合)端點在運動過程中所走過的軌跡，該點也作為動平臺的標記點。

圖4　圓錐面軌跡規劃Fig.4　Motion planning of the cone trajectory

根據以上所述的機構運動學逆解過程，對所規劃的姿態軌跡進行運動學逆解求解。圖5所示為通過逆解算法得到的2個驅動電機的角位移輸入曲線。

圖5　圓錐面軌跡規劃輸入曲線Fig.5　Input angle curves for the cone trajectory

2.3　運動學正解的推導

2.3.1雅克比矩陣求解

將運動學位姿反解的約束方程(7)中的輸入角和輸出角位移均看成時間t的函數，等式兩邊同時對時間t求導，得：

(9)

用矢量形式將式(9)表示為

Aθ′+Bφ′=0 ，

(10)

對式(10)進行整理得

φ′=Jθ′,

(11)

其中

J=-B-1A,

(12)

則J即為輸入角速度矢量θ′向輸出角轉速矢量φ′線性變換的雅克比矩陣。

2.3.2由數值形式給出機構位姿正解

并聯機構位姿正解是機構學研究的一個重要課題，是研究機構運動學、動力學和軌跡控制等方面的基礎。與串聯機器人相比，并聯機構反解容易，但正解需要求解一組非線性方程組，難度較大。國內外學者采用不同的方法對正解進行了研究[20-22]，本文用一種常用的最速下降法對機構進行位置正解求解。

由于動平臺在其工作空間內運動，假定它從任一已知的初始位姿P0經過控制作用后，達到當前位姿Pd，此時各分支輸入角位置矢量為θd。在實際過程中P0靠標定來確定，θd則是由分支伺服電機的編碼器讀數值換算得出。位姿正解算法的根本任務是根據P0，θd求解出上平臺位姿Pd。

位姿正解的迭代算法如下：

1)已知上平臺初始位姿P0，分支輸入角位置矢量θd，給定算法的收斂精度ε>0，令k=0；

2)通過運動學逆解體系計算初始位姿下輸入角位置狀態：θk=InvKin(Pk)，得Δθk=θd-θk；

3)計算Sk=-J-1(θk)Δθk，若‖Sk‖≤ε，則停，Pd=Pk，否則轉4)；

4)Pk+1=Pk+Sk，k=k+1，轉2)。

由上述數值迭代過程即可獲得機構的位置正解。

2.3.3正解算例

應用2.2.3中的機構參數和位姿逆解結果，將逆解所得的驅動電機輸入數據做機構位姿的正向求解。圖6所示為所述位姿正解算法所得的動平臺橫滾角(Rollx)和俯仰角(Pitchy)的輸出曲線；圖7表示由正解輸出數據得到的動平臺標記點所走的軌跡與原規劃軌跡的對比圖。虛線表示上節中規劃的動平臺運動軌跡，星號點線代表通過正解算法獲得的動平臺運動軌跡，2組軌跡完全吻合，驗證了本文提出機構的運動學正逆解算法的正確性和有效性。

圖6　正解輸出曲線Fig.6　Output curve of the forward kinematics

圖7　正解輸出軌跡與原規劃軌跡的對比圖Fig.7　Comparison between the solutions of forward kinematics and original planned trajectory

3結語

本文分析了兩自由度球面并聯機構的工作原理，進行了自由度分析和虛擬樣機的設計。分別以解析形式和數值形式給出了機構運動學正、逆解結果，并且通過仿真驗證了所提出正、逆解算法的一致性。分析表明：本機構可操控性強，所建立的運動學模型合理有效，基于運動學方程進行合理的控制，本機構可以在基體與設備中間實現振動抵消、補償的作用，達到主動隔振的目的。此外，根據不同的工程應用背景，可以針對本文所提出的兩自由度球面并聯平臺進行不同的參數設定，以滿足不同場合的應用需求。

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A two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism with low-frequency vibration isolation

ZHANG Xiaowei1, DUAN Xuechao1, LENG Guojun2, BAO Hong1

(1. Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design of Ministry of Education, Xidian University, Xi’an, Shaanxi 710071, China; 2. Southwest China Research Institute of Electronic Equipment, Chengdu, Sichuan 610036, China)

Abstract:Aiming at the requirements of the vibration isolation with two rotational degrees of freedom under specific conditions, a spherical 2-DOF parallel vibration isolation platform is proposed based on the theory of spherical parallel mechanism. From the view point of theory of mechanism, the operating principle is analyzed and the degree of freedom is calculated, and the virtual prototype design of vibration isolation platform is carried out. With D-H representation method of robot mechanism, the constraint equation is developed under the constraint conditions of the above link arc angle, and the inverse kinematics is realized. The kinematics positive solution process is given based on numerical method, and the solution examples of positive and inverse solution are given. Analysis and simulation results show that the 2-DOF spherical parallel mechanism proposed in this paper has the characteristics of good controllability, and the kinematic model is reasonable and effective, meeting the need of low-frequency vibration isolation performance.

Keywords:mechanical principle and mechanism theory; vibration isolation platform; spherical parallel mechanism; Jacobian matrix; kinematics

通訊作者：段學超博士。E-mail:xchduan@xidian.edu.cn

作者簡介：張曉偉(1988—)，男，河北承德人，碩士研究生，主要從事并聯機器人技術方面的研究。

基金項目：國家自然科學基金(51405362，51490660)

收稿日期：2015-07-10；修回日期：2015-09-30；責任編輯：馮民

中圖分類號：TD421

文獻標志碼：A

doi:10.7535/hbkd.2016yx01003

文章編號：1008-1542(2016)01-0013-07