線性方程組理論在高等代數中的應用

◆李永玲 李煜玲

(隴東學院數學與統計學院；甘肅平涼莊浪縣臥龍中學)

線性方程組理論在高等代數中的應用

◆李永玲 李煜玲

(隴東學院數學與統計學院；甘肅平涼莊浪縣臥龍中學)

隨著社會經濟的快速發展，社會對人才素養在質和量方面的需求也在急劇的提升，作為我國高素質專業人才培養基地的高等院校，其近年來也取得了巨大的發展，不僅在教學理念及模式方面予以了適當的改革創新，在教學質量方面，也取得了一定程度的提高，高等院校的健康可持續發展，對于我國的社會建設事業的全面推進，有著重要意義。

線性方程組理論 高等代數 教學方法

一、引言

高等代數是大學階段課程結構體系中，最為重要的一門數學課程之一，其作為基礎性工具性課程，其在我國自然科學研究領域及基礎教育領域中，有著十分廣泛的應用。在以往研究高等代數時，主要采用矩陣這個數學研究工具進行研究，隨著高等數學研究領域的不斷發展，線性方程組理論在高等代數研究中的作用越來越為顯著，其也成為了當前高等代數領域最為重要的一種研究工具。線性方程組理論共涉及到多個定理。如定理一：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是:它的系數矩陣A的秩小于它的未知量的個數n等。其在研究高等代數中，起著有效的指導作用。下文將就線性方程組理論，在高等代數的多項式、矩陣，及線性空間中的應用情況進行詳細探討。

二、在多項式中的應用分析

三、在矩陣中的應用分析

線性方程組理論在高等代數的矩陣中，也有著廣泛的應用，如其在證明矩陣秩等相關問題的過程中，就可以使用到齊次線性方程組理論。如題2：“證明R(A，B)≤min{R(A)，R(B)}”的矩陣問題時，其證明過程如下：首先設定Am×n，和Bm×n，根據齊次線性方程組可知，其中 Bx=0，ABx=0。我們可以知道，方程式Bx=0的解，同樣也是方程式ABx=0的解，由此我們可以得到s-R(B)≤s-R(AB)，兩邊約簡一下，可得到R(B)≥R(AB)，由同樣方法，可得到R(A)≥R(AB)，由此此題即可得到證明。因為根據線性方程組理論，s-t≥i≥s-q+1，所以，Ay=0，其向量個數達到(s-t)-(s-q)=q-t以上，從而可得到 R(AB)≥R(A)+R(B)-n。該題在使用線性方程組理論解題時，其解題效果就非常好，根據這題的解題過程，我們還可以將其解題思路進一步拓展，使其可以用于類似的矩陣問題解答中，如Ai(1≤i≤k)，可將其設定為m×n型矩陣，由此可以得到∑R(Ai)-m(k-1)≤R(A1A2...Ak)。

四、在線性空間中的應用分析

線性方程組理論在高等代數線性空間中，也有著很好的應用效果，如其在線性相關等類型問題的判定中，就有著良好的應用，如題3：“如果設V是實數域R中全部函數組成的線性空間，請判斷V中函數t,t2,e2t的線性相關性？”此題可以對t分別求解其1階及2階導數，同時將它們聯立起來，得到以下方程組：

因為其是不可能等于0的，因此線性方程組(1)沒有非零解，故t,t2, e2t線性無關。

由以上可以看出，線性方程組理論在高等代數中有著廣泛的應用，其除了能在多項式、矩陣及線性空間中的應用外，還能在歐氏空間及替換證明中有效應用，因此加大對線性方程組理論在高等代數中應用的相關研究，有著深遠的意義。

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