基于擴展有限元法及虛擬裂縫模型的混凝土斷裂過程區分析

摘要：提出一種利用擴展有限元法（eXtended Finite Element Method，XFEM）和虛擬裂縫模型對混凝土斷裂過程區（Fracture Process Zone， FPZ）進行研究的方法.利用該方法可以求出裂縫擴展過程中混凝土FPZ的長度及位移和應力分布.利用該方法對一個三點彎曲混凝土梁進行研究，考察骨料粒徑、不同軟化律和不同初始裂縫長度對FPZ的影響.

關鍵詞：混凝土； 擴展有限元法； 虛擬裂縫模型； 斷裂過程區； 裂縫擴展； 軟化律

中圖分類號： TV313 文獻標志碼：B

Abstract：A method is proposed to study the Fracture Process Zone（FPZ） of concrete based on eXtended Finite Element Method（XFEM） and a fictitious crack model. The length， displacement and stress distribution of FPZ during the crack growth process can be obtained by the method. A threepoints bending concrete beam is studied and the effect of the aggregate size， different softening laws and different initial crack length on FPZ is studied.

Key words：concrete； extended finite element method； fictitious crack model； fracture process zone； crack growth； softening law

0 引 言

混凝土材料是一種準脆性材料，其斷裂行為的重要特征是真實裂紋前方存在斷裂過程區（Fracture Process Zone，FPZ）.在這一區域存在微裂縫、集料互鎖、粗糙表面的接觸和摩擦等非線性現象，從而使得混凝土的斷裂行為呈現非線性特性.[13]由于FPZ的尺寸通常與混凝土構件尺寸在同一數量級，采用傳統的線彈性斷裂力學分析混凝土結構的斷裂問題已不適合.

FPZ是混凝土斷裂力學中一個極為重要的概念.混凝土FPZ的研究與混凝土裂縫模型的研究緊密相關，按采用裂縫模型的不同，對混凝土FPZ的研究方法可大致分為2類.

1）基于黏聚裂縫模型的方法.這類模型適合于數值分析，其中適用于混凝土材料的黏聚裂縫模型又以虛擬裂縫模型[4]和裂縫帶模型[5]為代表.

2）基于彈性等效裂縫模型的方法.這類模型一般用于解析計算混凝土結構斷裂問題，按所使用的彈性等效原則的不同，這類裂縫模型又包括兩參數斷裂模型[6]、尺寸效應模型[7]、等效裂縫模型[8]和雙K斷裂模型[9].

由于解析裂縫模型的適用范圍有限，本文重點關注黏聚裂縫模型，特別是虛擬裂縫模型.

虛擬裂縫模型將FPZ簡化為一條虛擬的集中裂縫并將FPZ的非線性行為集中到該虛擬裂縫上考慮.采用虛擬裂縫模型結合傳統有限元法，可以得到較為準確的裂縫擴展路徑及虛擬裂縫面的張開位移和應力等物理量，但由于在傳統有限元法中采用單元邊界模擬裂縫，因此隨著裂縫的擴展需不斷進行網格重剖以保持單元邊界與裂縫擴展路徑一致[10]，這極大地限制該方法的使用.

為克服傳統有限元法分析斷裂問題時遇到的網格重剖難題，BELYTSCHKO等[11]提出擴展有限元法（eXtended Finite Element Method，XFEM），基于單位分解定理，在傳統有限元連續位移場中引入能描述裂紋兩側位移間斷特性的非連續位移項，使裂紋的描述獨立于計算網格，因而無須隨著裂紋的擴展不斷進行網格重剖.擴展有限元法結合虛擬裂縫模型被很多學者應用于混凝土結構的斷裂問題研究，成功再現許多試驗結果，顯示出很好的應用前景.[1214]

本文提出一種基于XFEM和虛擬裂縫模型的混凝土FPZ計算方法，利用該方法可以準確計算混凝土結構裂縫擴展過程中虛擬裂縫的范圍、張開位移和應力分布等.

1 虛擬裂縫模型的擴展有限元法

1.1 虛擬裂縫模型

虛擬裂縫模型是在黏聚裂縫模型的基礎上發展而來的，該模型把混凝土裂縫分解為2部分（見圖1）：真實物理裂縫區（完全開裂區）和虛擬裂縫區（微裂區）.[1]前者代表宏觀的自由表面裂縫，裂縫表面無應力作用；后者將帶狀FPZ簡化為一條分離裂縫，即虛擬裂縫，虛擬裂縫表面由于微裂縫作用、集料互鎖等仍然可以承受應力作用，且承擔應力的大小與虛擬裂縫的張開位移相關.虛擬裂縫模型概念清楚、模型簡潔，被認為是基本的混凝土裂縫模型.

虛擬裂縫模型采用如下假定：1）材料非線性完全集中于虛擬裂縫區，虛擬裂縫以外的區域為線彈性材料；2）虛擬裂縫表面存在的黏聚應力τ與虛擬裂縫的張開位移w有關，一般可用τw張拉軟化律曲線表示.常用的線性和雙線性軟化律見圖2，曲線下方的面積即為混凝土材料的斷裂能Gf=∫w00τdw，其意義是形成單位面積裂縫所吸收的能量.

虛擬模型的引入使得對FPZ的研究可以通過對虛擬裂縫的研究進行，通過研究虛擬裂縫張開位移及其表面的應力分布即可獲取FPZ的變形和應力情況.

1.2 XFEM

由于虛擬裂縫面上的黏聚應力τ通常為虛擬裂縫張開位移的非線性函數，由式（5d）可知fcoh一般也為節點位移未知量的非線性函數，因此有限元方程系統的式（5a）和式（6）必須采用迭代方法求解.相關求解思路及裂縫擴展過程模擬方法可參見文獻[14]，這里不再詳述.

2 虛擬裂縫計算方法

虛擬裂縫的范圍及其上分布的黏聚應力和虛擬裂縫張開位移可以在有限元方程系統的迭代求解過程中予以求解，思路如下.

虛擬裂縫擴展路徑被單元邊界分割為許多候選虛擬裂縫段，見圖5a.在計算過程中，對每個候選虛擬裂縫段計算其高斯積分點上的裂縫張開位移w.

1）首先由裂縫擴展路徑計算裂縫與單元邊界交點在整體笛卡爾坐標系下的坐標xi和xj，見圖5b.

求得高斯點的裂縫張開位移后，判斷候選虛擬裂縫段屬于黏聚裂縫還是真實裂縫，僅當候選虛擬裂縫段上所有高斯點的張開位移w均滿足0≤w≤w0時，才認為該段裂縫位于FPZ，屬于黏聚裂縫；若有至少一個高斯點張開位移滿足w>w0，則該裂縫段成為自由表面裂縫.

在每一次平衡迭代計算過程中均需對所有的候選虛擬裂縫段進行上述計算.同時需注意，一旦候選虛擬裂縫段變成真實裂縫的一部分，則在后續計算中該裂縫段將不再作為候選的虛擬裂縫段.在計算過程中，對每一個裂縫段采用3個高斯點計算其張開位移.

當系統平衡方程得到滿足時，黏聚裂縫段及其高斯點的張開位移即被確定，同時還可計算其長度和黏聚應力分布，從而確定FPZ的長度、張開位移和應力分布.

3 數值算例

3.1 算例1 雙懸臂梁

對于該算例，文獻[13]給出用偽邊界積分（Pseudo Boundary Integral，PBI）方法得到的解，本算例以此作為比較的標準.由于在偽邊界積分方法中裂紋的擴展路徑是預先指定的，為保持一致性，本算例指定裂縫沿水平方向擴展，即沿圖6中虛線所示路徑擴展.有限元模型采用119×59的均勻網格，按平面應變問題進行計算，裂縫每一步擴展長度為4 mm.

圖7和8分別給出裂縫擴展至第9、34和58步時的虛擬裂縫張開位移和虛擬裂縫表面的應力分布.圖中的裂縫張開位移和裂縫表面應力分別用臨界裂縫張開位移w0和混凝土抗拉強度ft進行無量綱化處理.

計算結果顯示采用本文方法計算得到的虛擬裂縫張開位移和表面應力分布與文獻[13]給出的結果完全一致，這說明本文方法和程序準確.

3.2 算例2 三點彎曲混凝土梁試件

混凝土梁試件見圖9.梁的幾何尺寸為：厚度t=b=150 mm，l=600 mm.取文獻[15]給出的C3等級的混凝土進行研究，其彈性模量和抗拉強度分別為E=34.65 GPa，ft=3.5 MPa，計算時取ν=0.1.

3.2.1 不同骨料粒徑及不同軟化律的影響

考慮3種不同骨料粒徑對FPZ的影響，對應的

最大骨料粒徑dmax分別為8，16和32 mm.不同的骨料粒徑主要影響混凝土材料的斷裂能，3種骨料粒徑對應的斷裂能及采用線性和雙線性軟化律所需的參數見表1.

對應峰值載荷時虛擬裂縫表面的張開位移和應力分布分別見圖10和11.不論是采用線性軟化律還是雙線性軟化律，不同骨料粒徑對應的虛擬裂縫表面張開位移和表面應力分布呈大致相同的規律，但FPZ的長度卻不同.大致來說，骨料粒徑越大，對應峰值載荷的FPZ長度越大，特別是采用線性軟化曲線時這種現象非常明顯.需注意的是，當載荷達到峰值載荷時，混凝土FPZ并未發展至飽和程度，這可以從圖10中x=0時w0看出.

裂縫擴展過程中FPZ長度最大時虛擬裂縫表面的位移和應力分布分別見圖12和13.

不同骨料粒徑對應的虛擬裂縫表面的位移分布遵循的基本規律相同，但采用線性軟化律和雙線性軟化律得到的虛擬裂縫表面應力分布卻大不相同.這是因為此時FPZ已充分發展.從圖12和13中可以看出：x=0時，虛擬裂縫張開位移已經達到臨界值w0，而對應的虛擬裂縫表面應力為0；在整個FPZ上位移從0至w0連續變化，由于雙線性軟化律曲線存在轉折點，因此此時的應力分布曲線也必然出現轉折點.

加載過程中FPZ長度隨所加集中載荷的變化曲線見圖14.不論是采用線性軟化律還是雙線性軟化律，當載荷相同時，FPZ長度隨骨料粒徑增加而增大；FPZ長度在峰值載荷處并未達到最大值，在峰值載荷過后裂縫進入非穩定擴展路徑并擴展至一定階段時，FPZ長度達到最大值.在骨料粒徑相同的情況下，采用雙線性軟化律得到的FPZ長度大于采用線性軟化律得到的長度；采用雙線性軟化律得到的峰值載荷和FPZ長度最大時對應的載荷均小于采用線性軟化律時得到的結果.

3.2.2 不同初始裂縫長度影響

為考察不同初始裂縫長度對虛擬裂縫張開位移和表面應力分布的影響，考慮線性軟化律情況，令初始裂縫長度從0.01b變化至0.25b.

不同初始裂縫長度時虛擬裂縫張開位移和表面應力分布分別見圖15和16.

隨著初始裂縫長度的增大，虛擬裂縫張開位移增大，而虛擬裂縫的表面應力變小.需指出的是，在初始裂縫從0.01b變化至0.25b過程中，虛擬裂縫長度保持不變；若初始裂縫長度達到0.30b，則虛擬裂縫的長度會發生變化.

4 結 論

提出一種利用XFEM結合虛擬裂縫模型對混凝土FPZ進行研究的方法，數值算例表明該方法準確可靠.對一個三點彎曲混凝土梁試件在裂縫擴展過程中的FPZ特性進行研究，結果如下.

1）不同骨料粒徑對應的混凝土FPZ的位移和應力分布遵循大致相同的規律.

2）在外載荷達到峰值載荷時，混凝土FPZ并未發展至飽和程度；在峰值載荷過后，當結構裂縫繼續非穩定擴展至某一階段時混凝土FPZ方發展至飽和.

3）在相同載荷水平下，骨料粒徑越大，對應的FPZ長度越大.

4）隨著結構初始裂縫長度的增大，FPZ的張開位移增大，而應力卻減小.

本文提出的方法原則上適用于任意復雜結構裂縫擴展過程中的FPZ的研究，且可以考慮任意軟化律，但本文只對I型斷裂問題進行驗證，對于II型甚至復合型斷裂問題，本文方法是否有效尚需進一步研究.

參考文獻：

[1]徐世烺. 混凝土斷裂力學[M]. 北京： 科學出版社， 2011： 129169.

[2]陳瑛， 姜弘道， 喬丕忠， 等. 混凝土黏聚開裂模型若干進展[J]. 力學進展， 2005， 35（3）： 377390.

CHEN Ying， JIANG Hongdao， Qiao Pizhong， et al. Developments on concrete cohesive model[J]. Advances in Mechanics， 2005， 35（3）： 377390.

[3]卿龍邦， 李慶斌， 管俊峰， 等. 基于虛擬裂縫模型的混凝土斷裂過程區研究[J]. 工程力學， 2012， 29（9）： 112116.

QING Longbang， LI Qingbin， GUAN Junfeng， et al. Study of concrete fracture process zone based on fictitious crack model[J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（9）： 112116.

[4]HILLERBORG A， MODER M， PETERSON P E. Analysis of crack propagation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements[J]. Cement and Concrete Research， 1976， 6（6）： 773782.

[5]BAANT Z P， OH B H. Crack band theory for fracture of concrete[J]. Matériaux et Construction， 1983， 16（3）： 155177.

[6]JENQ Y S， SHAH S P. Two parameter fracture model for concrete[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1985， 111（10）： 12271241.

[7]BAANT Z P. Size effect in blunt fracture： concrete， rock， metal[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1983， 110（4）： 518535.

[8]NALLATHAMBI P， KARIHALOO B L. Determination of specimensize independent fracture toughness of plain concrete[J]. Magazine of Concrete Research， 1986， 38（135）： 6776.

[9]XU S L， REINHARDT H W. A simplified method for determining doubleK fracture parameters for threepoint bending tests[J]. International Journal of Fracture， 2000， 104（2）： 181209.

[10]楊慶生， 楊衛. 斷裂過程的有限元模擬[J]. 計算力學學報， 1997， 14（4）： 3338.

YANG Qingsheng， YANG Wei. Finite element simulation of fracture process[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 1997， 14（4）： 3338.

[11]BELYTSCHKO T， GRACIE R， VENTURA G. A review of extended/generalized finite element methods for material modeling[J]. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering， 2009， 17（4）： 043001.

[12]MOS N， BELYTSCHKO T. Extended finite element method for cohesive crack growth[J]. Engineering Fracture Mechanics， 2002， 69（7）： 813833.

[13]ZI G， BELYTSCHKO T. New cracktip elements for XFEM and applications to cohesive cracks[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2003， 57（15）： 22212240.

[14]張曉東， 丁勇， 任旭春. 混凝土裂紋擴展過程模擬的擴展有限元法研究[J]. 工程力學， 2013， 30（7）： 1421.

ZHANG Xiaodong， DING Yong， REN Xuchun. Simulation of the concrete crack propagation process with the extended finite element method[J]. Engineering Mechanics， 2013， 30（7）： 1421.

[15]SHAH S P. Fracture toughness of cementbased materials[J]. Materials and Structures， 1988， 21（2）： 145150.

（編輯 武曉英）