基于最小能耗渠道斷面設計研究

熊昊冠，劉小平

(江西省水利水電建設有限公司，南昌 330025)

基于最小能耗渠道斷面設計研究

熊昊冠，劉小平

(江西省水利水電建設有限公司，南昌 330025)

最小能耗原理和最大能耗原理是水利學與河流動力學研究的假設。文章在理論上證明了能量極值假說的存在性與可解性，描述了能量假設極值與一個已知的最小和最大的條件之間的關系，并將計算結果進行了比較，研究了一種穩定渠道斷面設計方法，在建立求解穩定渠道斷面形狀極值問題的基礎上，通過變分原理推導出穩定渠道斷面形狀為形式簡單的圓弧形曲線。

最小能耗原理；穩定渠道設計；監界渠道；優化設計

0 前 言

渠道設計可能涉及到一個現有的流的穩定或調整，或可能是一個全新的渠道創新。有各種各樣的來源和技術設計穩定的渠道。這些技術可能會集中在各種開放式通道的設計工作上。然而，這些技術需要運用到適當的條件和流類型上。沖積河流具有由水和沉積物相互作用形成的自身的通道。因此，提出了一種新的流體流動問題，其中一個要求就是不僅確定在一個給定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最優的幾何形狀。一般問題是穩定的和形態活躍的河流渠道斷面設計，例如，一個可以傳輸大部分自己河床上的渠道物質。可以利用最小能耗原理和最大能耗原理來定義渠道斷面的幾何形狀，并最終獲得合理斷面形狀設計。通過對各種渠道情況進行分析研究表示穩定的渠道需要考慮河岸侵蝕與河岸沉積的動態平衡，建立求解穩定渠道斷面形狀極值問題。所謂穩定渠道斷面就是一個河床的邊界泥沙剪應力處處等于泥沙臨界運動剪應力。一般國內外研究中，將它稱為臨界渠道。美國研究者研究出了利用余弦型曲線表示的穩定渠道斷面形狀，國外學者對設計方法進行改進。Parker在考慮剪應力作用下的泥沙起升力的基礎上，得到邊坡的穩定渠道的橫截面形狀如下：

(1)

式中：β為水流對渠道內泥沙的托舉力與拖曳力的比值。當β=0時，與美國學者研究的相同。

在研究中，重點在于對河床上的橫向分布剪切應力。使用數學多項式近似給定了渠道水深沿河寬的分布及寬度與深度比值的公式：

(2)

(3)

式中：c5、c4、c2為多項式的系數；b為渠道斷面的寬度。Yu和Knight利用Shiono和Knight研究的渠道水深平均的水流運動方程出發，研究得到了用數值計算方法實現的穩定渠道斷面設Cao和Knight沒有考慮剪應力的影響，利用最大熵原理和變分的方法了給出一個穩定的渠道拋物線截面形狀：

(4)

文章正是利用Cao和Knight不考慮床面切應力來研究穩定渠道斷面設計。

1 穩定渠道斷面形狀設計的模型

對稱的明渠渠道斷面形狀中,y是從所研究渠道中心位置沿水面方向指向渠道岸邊坐標，z為垂向向上坐標，h(y)為渠道水深。明渠渠道均勻流的方程表達式如下所示：

(5)

式中：Q為渠道的流量；A為過水斷面的面積大小；C為謝才系數；R為渠道水力半徑；J為渠道水力坡度，對渠道均勻流即為渠道底部坡的坡道；n為渠道粗糙率；x為渠道濕周。

圖1 渠道斷面形狀示意圖

由此可以得出過水斷面面積大小：

(6)

式中：b為渠道的斷面寬度，相應的渠道濕周為：

(7)

式中：h′(y)是h(y)的導數。

如果渠道邊坡土壤泥沙摩擦力為μ=tanφ，φ為水下休止角。保證邊坡穩定性需要[10]：

|dh(y)/dy|≤μ

(8)

由最小能耗原理[11]得單位長度水流所消耗的能量為：

E=γQJ

(9)

式中：E為能耗量；γ為水的比重；J為水力梯度，均勻流時為渠道底面。由上式得：

(10)

公式(5)、(8)和(10)組成了封閉的求解穩定渠道斷面尺寸大小的基本方程組，由方程(8)和(10)就可以得到穩定渠道斷面形狀，在求得斷面形狀后再由方程式(5)確定公式的參數b。

公式(10)是屬于求極值的問題，而公式(8)是求此極值問題的約束條件。要解此極值問題，不能直接求出，而須采用變分原理。由變分法的基本原理得公式(10)是一個二階微分方程，積分后可以得到:

(11)

式中：b為圓的半徑；y0屬于積分常數，當y=0時曲線的斜率等于零，這樣顯然有y0=0。所以方程的解為：

(12)

式中：b可根據極值問題的約束條件式(8)來確定設定。如渠道水面處的梯度等于渠道泥沙休止角，這樣就可以滿足渠道邊坡穩定性的要求。由圖1的幾何關系得：

(13)

最后得穩定渠道斷面形狀與泥沙靜摩擦系數有關的圓弧形曲線為如下形式：

(14)

當渠道邊界材料的強度足夠大時，即μ=tanφ=∞時，上式可簡化為：

(15)

它表示的渠道斷面為半圓形形狀。

下面介紹一下渠道圓弧形斷面形狀的一些水力學參數，過水斷面的面積：

(16)

濕周為：

(17)

水力半徑為：

(18)

水深為：

(19)

渠道斷面形狀中心處的最大水深值為：

(20)

寬度與最大水深比為：

(21)

當渠道邊坡土質比較堅硬時，渠道寬度與斷面最大水深的比值最小為2，與水力學的結果是相同的[12]。

2 穩定渠道斷面的設計步驟

當Q、d、μ已知時，需要求解的是J、hc、b和斷面形狀。具體的計算過程和步驟如下[13]：

1)設定渠道最大的水深hc初值；

4)由式(21)計算渠道水面寬度b,并根據公式(15)計算穩定渠道的斷面形狀;

5)由式(19)計算得到渠道過水斷面面積A，由Q=VA計算渠道的流量，若計算得到的流量等于先前給定的流量，則計算停止。

圖2是在不同μ值情況下，根據文章方法計算得到的結果，隨著μ值的不斷增大，渠道邊坡土質質量越好，其寬深的比值也相應變小，當μ→∞時渠道斷面形狀為半圓形曲線，這與水力最佳斷面相同。圖3是在d=0.8mm且μ=0.5的條件下，不同渠道流量時基于最小能耗原理計算得到的渠道斷面形狀。從計算結果可以看出，基于最小能耗原理計算得到的渠道斷面是非常符合工程實際的。

圖2 在不同μ值時的比較結果

圖3 不同流量時文章方法的計算結果

3 結 論

渠道斷面設計涉及到全新的渠道斷面創新，有各種各樣的技術來設計穩定的渠道斷面。這些技術可能會集中在各種開放式通道的設計工作上。然而，這些技術需要運用到適當的條件和流類型上。沖積河流具有由水和沉積物相互作用形成的自身的通道。因此，它們提出了一種新的流體流動問題，其中一個要求就是不僅確定在一個給定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最優的幾何形狀。對于水力學與河流動力學的研究，有兩個令人困惑的假設：最小能耗原理和最大能耗原理，文章在理論上證明了能量極值假說的存在性與可解性，描述了能量假設極值與一個已知的最小和最大的條件之間的關系，并將計算結果進行了比較。通過文章方法的計算結果可以看出基于最小能耗原理的渠道斷面形狀設計是切實可行的，完全可以用來指導工程設計。

[1]黃才安,龔敏飛,陳志昌，等.基于最小能耗原理的穩定渠道斷面形狀[J].水動力學研究與進展，2005,20(02):189-195.

1007-7596(2016)12-0053-03

2016-12-02

熊昊冠(1984-)，男，江西南昌人，工程師，從事水利工程施工管理工作；劉小平(1973-)，男，江西南昌人，工程師，從事水利工程施工管理工作。

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