以美啟真　與美共舞
——一道課本習題的解法探究

于先金　唐清生

以美啟真與美共舞
——一道課本習題的解法探究

于先金唐清生

英國著名詩人濟慈曾說：“美即是真，真即是美。”從這一角度來說，數學中處處充滿美。從數學美的角度考慮解題思路的設計與發現，叫做以美啟真。這種解題策略是將數學的簡單美、對稱美、和諧美、奇異美這四種形式與問題條件、結論相結合，再憑借知識經驗與審美直覺確定解題的入手方向或總體思路。美的啟示在解題過程中起到了宏觀指導和決策的作用。

本文以人教版選修4-5“不等式選講”第10頁第11題為例，從數學美的角度對這道課本習題的解法進行探究，你會從中得到美的享受。

一、數學美，美在簡單明了

所謂簡單美，是指一個復雜問題的簡單解法。它是優化解題思路的內在驅動力因素之一。正如高斯對自己工作的評價：“去尋求一種最簡的證明，乃是吸引我去研究的主要動力。”也就是說，簡單美是指追求最容易、最清楚而且更經濟的方法來解題。本題的條件和結論都很簡單明了，而且a，b，c的算術平均值為，因而采用均值換元法可得到證法1。

證法1：均值換元，簡單明了

二、數學美，美在對稱、整齊

對稱是最能給人以美感的一種形式。正如德國數學家、物理學家魏爾說：“美和對稱緊密相關。”對稱不外乎局部與局部的對稱，幾何圖形與數學關系都存在這種對稱。體現形結構與數（式）結構的對稱是對稱美，已知與結論的對稱能使解題者感到愉悅。

本題中的條件和結論都關于a，b，c對稱，由對稱性啟發，可得不同的證法。證法2（綜合法）雖然顯得突然，但證明過程處處體現出a，b，c的對稱、整齊、優美；證法3（分析法）是從結論入手，并結合條件a+b+c=1，則只需證。這個不等式左、右兩邊都是關于a，b，c的二次齊次式，顯得整齊、對稱、優美。本題的關鍵是如何用好條件a+b+c=1，若將已知條件代入，則可消去一個字母，從對稱性考慮，不妨消去a，于是可得證法4。

證法2：完全平方，對稱優美

因為（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，所以2a2+2b2+2c2 ≥2ab+2bc+2ca，所以3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=12=1，所以。

證法3：分析自然，分組配方

要證a2+b2+c2≥，因為a+b+c=1，只需證a2+b2，只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+ 2ca，只需證（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0。

而這個不等式顯然成立，所以原不等式成立。

證法4：代入消元，展開配方

因為a+b+c=1，所以a=（1-b）-c。因此a2+b2+c2=［（1-b）-c］2+b2+c2=2c2-2c（1-b）+（1-b）2+b2=2（c-。

三、數學美，美在和諧、統一

和諧美（或稱統一美）是指部分與部分之間、部分與整體之間的和諧一致。數學的和諧美（或稱統一美）是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內在聯系或共同規律。統一性是數學美的重要標志，是數學家不懈追求的目標，也是數學發現與創造的美學方法之一。和諧美既是條件與結論的和諧，又是數與形的和諧，更是解題方法與思維策略的和諧，還是數學思想與思維途徑的和諧。證法2和證法5從不同側面體現了a2+b2+c2與a+b+c的關系；若只留下一個字母，如字母c，利用a+b=1-c消去a，b，可得證法6；若利用a+b=1-c并利用三角換元轉化為三角問題，可得證法7。

證法5：完全平方，放縮配方

因為a+b+c=1，所以a+b=1-c。

則a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2c（a+b）≥1--2c（a+b）=1-

證法6：放縮消元，配方顯然

因為a+b+c=1，所以a+b=1-c。

則a2+b2+c2≥+c2=c2-c2+。（以下同證法5）

證法7：三角換元，配方新穎

令a=（1-c）cos2θ，b=（1-c）sin2θ。所以a2+b2+c2=（1-c）2cos4θ+（1-c）2sin4θ+c2=（1-c）2（cos2θ+sin2θ）2-2（1-c）2sin2θcos2θ+c2=（1-c）2-（1-c）2sin22θ+c2≥。（以下同證法5）

四、數學美，美在奇異、突變

奇異與突變是一種奇特的數學美。奇異美是指所得出的結果新穎、獨特，使人感到驚奇、贊賞與折服。在數學解題中，奇異性的存在使得構造反例、尋求特例、反證、極端等手法能夠發揮出乎意料的作用，正難則反、以退求進、逆向思維、發散思維等可以認為是對奇異性的通俗理解。本題中結論是關于a，b，c的二次式，已知條件是關于a，b，c的一次式，并注意到當時結論中的等號成立，于是可得證法8和證法9；若令a2+b2+c2=r2（r＞0），則想到三角換元，僅需利用輔助角公式便可得到證法10；前面的證法3中分析得出只需證明，這個不等式有判別式的影子，所以通過構造二次函數可得證法11；再由這個不等式可聯想到向量=（a，b，，它們的模的平方分別為

2=a2+b2+c2，，且，于是可得證法12。證法10～12體現了思維發散的奇異美。

證法8：巧妙構建，奇異突變

證法9：整體換元，巧妙自然

。

證法10：三角換元，利用輔助角公式

令a2+b2+c2=r2（r＞0），并注意到a，b，c∈+，所以可設a=rcosθcosφ，b=rcosθsinφ，c=rsinθ（0＜θ，φ＜），所以1=a+b+c=r［cosθ（cosφ+sinθ）+sinθ］=rcosθ· sin（φ+）+sinθ］≤r（cosθ+sinθ）=rsin（θ+α）≤，其中cosα=，sinα=，取α∈（0，

證法11：構建函數，運用判別式法

構造二次函數f（x）=（ax-1）2+（bx-1）2+（cx-1）2，所以f（x）=（a2+b2+c2）x2-2（a+b+c）x+3，顯然f（x）≥0恒成立，所以Δ=4（a+b+c）2-12（a2+b2+c2）≤0，從而有

a2+b2+c2≥（a+b+c）2=。

證法12：巧構向量，揭示本質

在數學史上，數學美是數學發展的偉大動力。在數學解題中，數學美能給我們一種認識題意、探求思路、發現解法的新角度、新方法和新思路，因而數學美是探求思路、發現解法的源泉。數學美的各種表現在解題中的指導作用不是孤立的，而是相互結合、滲透并用的。因此，我們不僅要善于發現數學美，還要自覺追求數學美和運用數學美。

（作者單位：會同縣第一中學）