再議二次根式

田載今

一、二次根式

數學運算中存在著互逆關系.例如，加法與減法、乘法與除法都互為逆運算，平方運算同樣也有逆運算，即開平方運算，當我們要計算一個正方形的面積時，需要先測量正方形的邊長.如果邊長為l，則面積S=l²，這是平方運算.當我們要制作一個給定面積的正方形時，需要先求出其邊長.如果給定的面

這些性質是二次根式的運算與化簡的依據.

同學們已經學習了整式和分式，其中涉及了字母及數的加、減、乘（含乘方）、除四則運算.二次根式中有開平方運算.含有開方（包括開平方、開立方、開四次方……）運算的式子，都屬于根式.表示字母及數的加、減、乘（含乘方）、除、開方運算的式子，統稱為代數式，整式、分式和根式皆屬于代數式.

二、二次根式的運算與化簡

二次根式的運算與化簡不僅出現在單純的代數式變形之中，而且還與許多實際問題有關，

例1 若兩圓的面積之比為12：7，則大圓半徑是小圓半徑的幾倍？

解：設兩圓的面積分別為12a和7a（a>O）.由圓面積公式S=π²，得兩圓的半徑分別

側2 物體A從25m高處自由下落著地.物體B從36m高處自由下落著地，求兩物體自由下落過程的時間差.

討論：本例中用到了二次根式的減法.兩個二次根式化簡后根號內都是2g，后面的運算類似于合并同類項，一般地，根號內的式子相同的二次根式叫作同類二次根式.二次根式的加減法法則，即指合并同類二次根式，因此，運算時通常先把各式化簡為最簡根式，以便找出同類二次根式，

例3 圖1中正方形ABCD和BEFG的面積分別為m和n，求長方形HFID的面積，

解：長方形HFID的長等于兩個正方形的中，雖然各二次根式都已是最簡二次根式了，但通常化簡代數式時，要求分母中不含有根式，而此武的分母中有根式.為此。需要將式子作恒等變形，化去分母中的根式，這叫作分母有理化.具體做法為：

例3的結果表明，長方形HFID的面積等于兩正方形面積之差.這一結論也能用幾何圖形的平移來證明.如圖2，把正方形BEFC平移到AJKH的位置，電KJ=FE=GF，BJ=A B-AJ=BC-BC=CG，得長方形JBCK與CFIC的面積相等，所以長方形HFID的面積等于長方形HGCD和JBGK的面積之和，即等于正方形ABCD與AJKH的面積之差，其值為m-n.

二次根式與后面要學習的勾股定理、一元二次方程和二次函數等有密切的聯系，是重要的基礎知識.希望大家學好它.