完美數的難解之謎

蔡天新

完美數是指真因子之和等于它本身的正整數.容易看出，最小的兩個完美數是6和28.關于完美數，有以下難解之謎——

1.究竟有多少個完美數？

2500多年以來，經過歷代數學家和數學愛好者的共同努力，到目前為止，一共找到了48個完美數，我們知道，完美數與所謂的梅森素數（形如2^p-l的素數，其中p為素數）相伴而生.第48個梅森素數是2^57885161-1，它和相應的完美數各有17425170位和34850340位，這是迄今人們所知的最大的素數和最大的完美數.

可是，依然無人知道，完美數的數目究竟是有限個，還是無窮多個.

2.有沒有奇完美數？

到目前為止，人們發現的48個完美數均為偶數.會不會有奇完美數存在呢？即便借助強勁有力的計算機，現在也無人能夠予以回答，人們只是知道，即使有奇完美數，這個數也是非常之大，并且需要滿足一系列的苛刻的條件.

早在18世紀，瑞士大數學家歐拉便證明了，若奇完美數存在，則它必具備形式

N=p^ek². ①

其中，p是不整除k的素數，且p和e模4余1（即指p和e的差被4除后余1）.由此不難推得，N也模4余1（即指被4除后余1）.

2007年，丹麥數學家Nielsen證明了，奇完美數至少要有9個不同的素因子和101個素因子；若它不包含3，則至少要有12個不同的素因子.

2012年，法國數學家Ochem和俄羅斯數學家Rao證明了：如果奇完美數存在，那它必須大于10的1500次方.

可是，這些結論離這個問題的解決仍很遙遠！

2000年，意大利數學家、伽利略獎和皮亞諾獎的獲得者皮·奧迪弗雷迪出版了《20世紀的數學》一書，闡述了上個世紀曾取得重大突破的30個數學問題，并在最后提出了未解決的4個難題，其中首當其沖的便是“完美數問題”.另外3個難題是黎曼猜想、龐加萊猜想和P=NP問題.

由于完美數問題難以攻克，人們很早就想到去研究它的推廣，k階完美數便是其中之一.

偶完美數與梅森素數有一一對應的關系，因此尋找梅森素數也成了計算機領域里的一個引人矚目的問題.找到大的梅森素數或完美數，是計算機最好的廣告.不過，這兩種數的無窮性堪稱一個不朽的謎語.

許多偉大的數論學家都曾試圖找到完美數的推廣，他們通常考慮添加一個正整數的系數，即：n的真因子之和=kn，此處k是正整數.滿足上述條件的n稱為k階完美數.當k=l時，即為普通意義的完美數，這些數學家包括斐波那契、梅森、笛卡兒和費馬，以及拉赫曼、卡米歇爾，他們有的沒找到，有的找到了若干個解，但都是些零散的結果，難以歸結為類似梅森素數那樣的“無窮性”.

第一個找到k階完美數（k>l）的是英國數學家雷科德，他發現120是2階完美數.那是在1557年，也即他發明等號“=”的同一年（是否同時不得而知）.后來，梅森也找到了這個數.

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=2×120.

接著要輪到費馬了，他發現672也是個2階完美數.那是在1637年，即他提出費馬大定理的同一年.Andre Jumeau找到了第三個2階完美數523776.1643年，費馬又找到了一個11位的2階完美數，即

51001180160.

在此之前，梅森和笛卡兒于1638年曾分別找到一個9位數（459818240）和10位數（1476304896）的2階完美數.

這三位法國人還都找到過其他的k階完美數，比如笛卡兒吧，這位“哲學家”找到了6個3階完美數，即30240，32760，23569920，142990848 ，66433720320，403031236608和一個4階完美數14182439040.1911年，卡米歇爾找到了第七個3階完美數.

雖然數學家們鍥而不舍地尋找k階完美數，但也沒有找到一般性的規律.這可能是因為，被真因子之和整除的自然數少之又少！