根式背后的世界級難題！

顧森

斯里尼瓦瑟·拉馬努金是印度最著名的數學家，也是世界上為數不多的數學天才之一.他幾乎未受過系統的數學教育，所有的數學知識都是自學的，他在數論、連分數、數學分析、無窮級數等領域，都作出了很大的貢獻.第一次世界大戰期間，他的身體狀況急劇惡化，最終于1920年離開人世，當時他才‘32歲，在短暫的一生里，他一共歸納整理出了3000多個漂亮的數學等式，其中有很多式子都別具一格，給后人以無數的啟發.

拉馬努金的很多研究成果，都以問題的形式發表在了《印度數學會雜志》上.1911年，他在第3期的《印度數學會雜志》上提出了這樣一個問題：

這是他在《印度數學會雜志》上最早提出的問題之一.注意，這是一個無限嵌套的根式，各個根號前面的系數分別是1，2，3，…，拉馬努金等了6個月，也沒有收到一份答案.后來，他只好自己公布了答案：這個式子精確地等于3.而事實上，他總結出了一個更加普遍的公式：

而拉馬努金原本提出的那個問題，其實只是上述公式中a=0，n=l，x=2時的特殊情形，

拉馬努金很喜歡“把玩”根式，在191 1年至1919年，他一共向《印度數學會雜志》提供了58個問題，其中的很多問題都與根式有關.他在第6期的《印度數學會雜志》上問道：競等于多少，很多時候并不容易.拉馬努金在此提出的，就是這類問題的一種特殊形式：如何求出兩個立方根之和（差）的平方根.

拉馬努金在第7期的《印度數學會雜志》上還提出了一個類似的問題：

拉馬努金對四次根式也有研究.他在第9期的《印度數學會雜志》上提出了這樣的問題：

在同一期雜志中，他提的另一個問題則涉及到了五次根式：

在第11期的雜志上，甚至還出現了一些更高次的根式：

有時，拉馬努金也會提出一些形式上迥然不同的根式問題，如：

注意，這個結論并不是顯然的，你可以拿計算器用具體數值來驗證一下.另一個類似的問題如下：

當然，同學們現在還無力解決這些問題，但同學們也一定能感受到，數學里的學問實在是太多太多了.這不，就連小小的根式背后，也有數不清的大難題呢！