超級電容動態容值測量與容值函數參數估計

于　鵬，井天軍，楊仁剛（.中國農業大學信電學院，北京 00083；　2.渤海大學工學院，錦州 203）

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超級電容動態容值測量與容值函數參數估計

于鵬1,2，井天軍1※，楊仁剛1
（1.中國農業大學信電學院，北京 100083；2.渤海大學工學院，錦州 121013）

摘要：針對目前的超級電容參數在線識別方法動態參數測量困難，通用性差，精度低的缺點，提出一種超級電容動態容值測量與參數識別方法。該方法中提出了動態電容值測量模型，通過電荷關系式與能量關系式聯立推導動態電容值測量方程組，并采用限定記憶最小二乘法進行參數識別，應用時域仿真對該方法進行了驗證。仿真結果表明，該文提出的電容值測量與參數識別方法適用于多種不同的容值函數。當測量信號存在噪聲時仍可對電容測量，平均誤差低于1%，參數估計相對誤差低于20%，可以應用于超級電容動態容值測量。

關鍵詞：電容；容值測量；參數估計；超級電容；最小二乘法

于鵬，井天軍，楊仁剛. 超級電容動態容值測量與容值函數參數估計[J]. 農業工程學報，2016，32（3）：169－174. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024http://www.tcsae.org

Yu Peng, Jing Tianjun, Yang Rengang. Capacitance measurement and parameter estimation method for supercapacitors with variable capacitance[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(3): 169－174. (in Chinese with English abstract)doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024http://www.tcsae.org

0　引　言

超級電容規模化儲能使用需要對超級電容容值參數進行測量與識別[1]。超級電容器的電容值是變量,獲得超級電容器容值參數對于超級電容測量、儲能系統設計和在線故障檢測都具有重要意義。超級電容參數估計方法包括頻域與時域參數估計[2-3]，本文主要針對時域參數估計。時域參數估計通常在函數關系基礎上，采用參數估計方法得到函數表達式中的系數（參數）。目前超級電容容值函數形式主要有2種不同的觀點，一種認為超級電容器的電容主要隨電容電壓變化而變化，電容值與電容電壓呈線性關系[4]，另一種觀點認為超級電容器的電容主要隨電容電流變化而變化，電容值與電容電流呈多項式關系[5]。函數系數的計算目前廣泛采用最小二乘參數估計法。最小二乘估計與其他最優估計方法（例如極大似然估計）相比,最大的優點在于不要求已知干擾或噪聲的分布，既適用于線性系統也適用于非線性系統。對于容值函數的參數估計而言，限定記憶最小二乘法的精度較高[6]。

超級電容的電容值不能直接測得，只能通過測量電容器的端電壓和電流再計算間接獲得。超級電容器電容測量方法可以按等值電路、電阻測量和電容測量三方面來綜述。目前，超級電容器的等效電路模型主要有梯形電路模型、多支路等效電路模型和經典等效電路模型[7]。梯形電路模型[8]是采用電容與電阻支路成梯型連接構成的電容模型，優點在于對超級電容參數描述精確，缺點在于模型階數的選擇影響最終結果。多支路等效電路模型[9-10]是采用多個元件連接描述超級電容器的外特性，缺點是通用性差，模型建立困難。超級電容的經典等效電路模型是采用串聯電阻、并聯電阻和電容器連接構成的等值電路，優點在于待定參數少、電路簡單、便于計算。這種經典等值電路的主要問題是難以用于測量超級電容器動態電容值。目前對內阻測量的研究相對成熟，不是本研究的重點,一般認為內阻具有短時間恒定、長時間緩慢變化的特性。超級電容器內電阻的測量通常采用經典模型[3,11-12]。傳統容值測量方法[13-14]包括恒壓法、恒流法[15]、計算電容法[16]。現有方法多將超級電容器的電容作為恒定值進行測量[3,17]。變化的動態電容值測量仍是研究中的問題。設電容值變化的模型是在經典模型基礎上，將電容值設置為時變函數，這種模型具有經典模型的優點又可以反映電容值的變化。徐文東等[16]所述計算電容法可以進行動態容值的測量，在實際測量中存在抗噪聲性能差，測量不精確的缺點。梁海泉等[4]提出了電容值按測量時間分段恒定的測量方法。該方法設超級電容值在分段時間區域內為常數，利用時間區域內電容器電壓和電流的多個測量數據進行參數估計計算，得到超級電容器的電容關于電壓呈線性變化的結論。但是，該方法當儲能系統中電流急劇變化時誤差較大，同時受噪聲影響也較大。蔡國營等[5]在恒流充電情況下根據電壓斜率得到容值，最終獲得電容值關于電流的變化曲線。

以上現有的超級電容容量測量和參數估計的方法存在通用性差，難以適用于工業現場不同情況；容值測量困難，難以反映超級電容容值的動態特性；抗干擾能力差，對噪聲信號適應性不強，測量精度較低的缺點。針對現有方法的缺點，本文提出了動態容值間接測量方法。這種方法根據電容電荷變化與能量變化列寫方程組,充分應用2個采樣時刻之間的電壓電流量測數據，通過求解方程組間接測量超級電容的動態電容值。再根據間接測得的電容值時間序列，對以電壓或電流為自變量的容值函數進行參數估計求得容值函數系數。這種方法與現有方法比較，具有通用性強，測量精度高的優點。本文首先介紹提出的超級電容器動態容值測量模型，然后介紹現有容值函數的形式，采用限定記憶最小二乘法估計容值函數系數并進行容值函數擬合，最后針對測量模型的通用性和噪聲條件下的測量有效性進行了仿真驗證。

1　超級電容容值測量模型與參數估計

為了在線獲得超級電容實際測量值C(t)，本文提出的動態容值測量模型和基于這種測量模型的參數估計方法。

1.1電容值測量方程

由于電容器的內阻相對于外部電路變化不大，漏電流一般較小，在超級電容容值測量時通常可以將內阻rs近似為常數，漏電流忽略不計[4-5]，超級電容的簡化等值電路如圖1。

圖1　超級電容的簡化等值電路Fig.1　Simplified equivalent circuit of supercapacitor

任意時刻t單體電容器的端電壓為

本文將超級電容內阻rs設為已知量。

1.1.1電容器電荷變化方程

根據電容的定義，由相同時刻電容的電流、電壓和電容值可以得到該時刻電容器中儲存的電荷，進而獲得這2個時刻之間該電容器電荷的變化量。另一方面，這2個時刻之間電荷的變化量又等于該時段電流對時間的積分。由此推導電荷變化方程。

設同一電容器電流與電壓的采樣間隔為Δt，2個采樣時刻分別為ti－ nx和ti，其中i為時間序號，nx為設定時間間隔數，i和nx均為整數。根據電容的定義這2個時刻電容器所儲存的電荷分別為q( ti－nx)和q(ti)。

將電容電荷用電容器單體端電壓測量信號和電流信號來表示，則在[ti－ n x，ti]時段內電容電荷的總變化量為

該時段電容電荷的變化量又可以用電流的積分表示，即

顯然，由式（2）表示的電荷變化量與式（3）表示的電荷變化量相等，根據數值積分梯形公式得到這2個時刻電荷的變化量方程

式中j為求和公式中t的整數序號。

式（4）是一個以C(ti)和C( ti－nx)為未知數的方程。

1.1.2電容器能量守恒方程

根據電容儲能公式，每個時刻電容的能量可以用該時刻的電容值和電容電壓來表示,則同一電容器2個時刻的能量差等于電容器在該時段內能量的變化量；另一方面，該時段內電容器能量的變化量又等于功率對時間的積分，因此可以得到能量變化方程。

由式（1）得到[i n xt－，ti]時段內電容器儲存電能的變化量為

式中Δw為電容器存儲電能的變化量，J。

該時段電能變化量Δw與功率的關系為

式中為pC(t)電容瞬時功率，W。

由圖1可知，電容功率為電容器端口總功率與電阻消耗功率之差，即

式（5）與式（6）所表示的能量變化量相等，則有

式（8）也是一個以C(ti)、C( ti－nx)為未知數的方程。

1.1.3電容器動態容值測量模型

由2個時刻超級電容的電荷變化方程（式（4））和能量變化方程（式（8））聯立求解即可得到這2個時刻電容器的容值，這2個方程形成的方程組為電容器動態容值測量模型，用矩陣表示為

式中A為由電容端電壓和電流測量值表示的2×2階系數陣；B為由2階常數列向量；C為2個時刻的待測電容值列向量，C中元素為待求未知數。

即

1.2容值函數與參數估計

電容器電容值的容值函數（電容值與狀態量的函數關系）主要有2類，一類認為超級電容電容值與電壓呈線性關系，另一類認為超級電容容值與電流呈非線性關系。

超級電容容值與電壓呈線性關系，即

式中C為電容值；u為電壓值；θ1，θ2為回歸系數。

超級電容容值與電流呈非線性關系，即

式中i為電流值；θ1，θ2和θ3為回歸系數。

本文的超級電容參數估計方法首先由式（9）計算電容的測量值序列，然后基于電容測量值與電壓或電流測量值，根據給定容值函數，采用限定記憶最小二乘估計最佳參數列向量。根據參數估計值對容值函數進行擬合，得到的擬合曲線即為對動態容值的最終測量結果。

2　仿真試驗及結果

首先，通過仿真試驗計算了不同給定容值函數關系下本文測量方法的測量誤差，并與文獻[4]測量結果進行比較。其次，通過設置測量噪聲仿真檢驗本文參數估計的誤差并與傳統計算電容法結果進行比較。

2.1仿真電路

仿真電路如圖2，試驗電路采用電壓源us、串聯電阻r作為電源。控制器控制電阻與電源隨機切換實現超級電容隨機充放電，并測量記錄通過超級電容器支路的電流i(ti)和超級電容器的端電壓u(ti)。

圖2　測量電路圖Fig.2　Measurement circuit

2.2容值測量仿真結果

為了驗證本文提出的電容容值測量模型的正確性，將電容器容值設計為電壓或電流的不同函數，包括：1）電容值為常數；2）電容值是電壓的線性函數；3）電容值是電流的二次函數；4）電容值是電流的指數函數。測量電路參數見表1。其中表1中的容值函數關系包括假設的常數關系和指數關系以更充分驗證本文測量方法對不同類型容值函數的適用性。

表1　不同電容函數、電流參數的電容測量結果Table 1　Capacitance measurement results for different capacitance function and current parameter

對應不同電路參數分別進行仿真試驗測量，并將本文模型（式（9））的電容測量結果與文獻[4]的分段模型（對比模型）的結果進行比較。電容測量結果見圖3和表1。

由圖3a和圖3b可知，本文模型和對比模型均能實現有效測量，相對于對比模型，本文模型與給定容值函數更吻合。在圖3c和圖3d中，本文模型能夠較好地隨給定容值函數的變化而變化，而對比模型測量失效。

由表1可知，當電容值為常數時，本文模型測量的平均相對誤差為1.51%，對比模型為8.23%。當電容值是電壓的線性函數時，本文測量的平均相對誤差為3.74%，對比模型為36.15%。由此可見，2種測量模型在電容值與電壓呈線性關系時都能實現電容值的測量，但本文模型的測量平均相對誤差均小于5%，明顯優于對比模型。當電容值是電流的二次多項式函數時，本文測量結果的平均相對誤差為11.04%，電容值是電流的指數函數時，本文測量結果的平均相對誤差為26.85%；而在這2種情況下，對比模型的測量結果平均誤差均為誤差100%。由此可見，當電容值與電容狀態量呈非線性關系時，本文模型對容值的測量仍然有效，而對比模型的測量無效。

圖3　不同給定容值函數的超級電容容值測量曲線Fig.3　Measurement curve of supercapacitor capacitance for different set capacitance functions

2.3電容參數估計仿真結果

參數估計試驗采用與本文2.2節相同試驗環境，在每個采樣時刻對采樣值疊加噪聲重新進行試驗。為了模擬實際數據，依據文獻[4]和文獻[5]以2種電容值函數分別進行試驗，采用本文方法對仿真試驗的參數進行估計，再根據估計參數得到擬合的電容值。試驗結果與傳統計算電容法[16]得到的結果進行比較。其中，試驗1：電容值按電壓的線性函數變化，其容值函數形如式（13），試驗電路參數同表1中第2項，試驗總時間為20 s，采樣間隔為0.01 s；試驗2：電容值按電流的二次多項式變化，其容值函數形如式（14），試驗電路參數同表1中第3項，試驗總時間為200 s，采樣間隔為0.1 s。

由式（9）間接測量的電容值和動態容值擬合曲線如圖4。以擬合曲線為最后的動態容值擬合結果，則參數估計和動態容值測量誤差結果見表2。

圖4　間接測量電容值和參數估計擬合值Fig.4　Capacitance calculated with indirect measurement and fitted with parameters estimation

由圖4可知，在存在噪聲的情況下，測量反映了實時容值；經過限定記憶最小二乘法進行參數估計得到的動態容值擬合曲線與給定曲線基本吻合，達到了濾除誤差的預期效果。

表2　參數估計與擬合容值結果Table 2　Results of parameter estimation and fitting capacitance

由表2可知，采用本文方法進行參數估計，當給定容值函數是電壓線性函數時，θ1的相對誤差為0.6%，θ2相對誤差為7%，由這組參數得到動態容值測量結果最大誤差為?1.25%，最小誤差為0.004%，平均相對誤差為0.53%；當給定容值函數是電流的二次多項式函數時，θ1、θ2和θ3的相對誤差分別為10.62%、19.7%和11.5%。由這組參數得到動態容值測量結果的最大相對誤差為10.2%，最小相對誤差為?0.005%，平均相對誤差為0.51%。由表2可知：當給定容值函數是電壓線性函數時，采用計算電容法得到動態容值測量結果平均相對誤差為24.13%；當給定容值函數是電流的二次多項式函數時，采用計算電容法得到電容估計值平均相對誤差為42.69%。結果表明采用本文方法的進行動態容值測量平均相對誤差明顯優于傳統的計算電容法。

3　結　論

1）根據電容電荷和能量守恒原理，提出了動態電容值測量方法。這種測量方法根據電荷變化與能量變化列寫方程組建立測量模型，可以在電容值隨電流或電壓變化的情況下通過求解方程間接測量實時電容值。提出了基于動態電容測量的超級電容在線參數估計方法，該方法在本文提出的動態容值測量模型的基礎上，采用限定記憶最小二乘參數估計法獲得容值函數的系數，進而通過曲線擬合得到最終測量的動態容值。

2）仿真試驗結果表明:本文提出的動態容值測量模型可以在超級電容隨機充放電工況下根據電容器端電壓與電流的測量數據獲得時變電容值序列，與以往方法相比測量精度和適應性均有較大的提高。本文提出的參數估計方法在信號存在噪聲的情況下可以識別電容為線性、二次多項式函數情況下的函數系數，在容值為線性函數情況下識別誤差小于10%，容值為二次多項式函數情況下誤差小于20%；通過函數的參數估計能夠較為準確地擬合超級電容動態容值，平均相對誤差小于0.53%、最大相對誤差小于20%。與現有計算電容法相比，本文方法在有噪聲情況下容值測量誤差顯著減小。

[參考文獻]

[1] 吳紅斌，陳斌，郭彩云. 風光互補發電系統中混合儲能單元的容量優化[J]. 農業工程學報，2011，27(4)：241－245. Wu Hongbin, Chen Bin, Guo Caiyun. Capacity optimization of hybrid energy storage units in wind/solar generation system[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering(Transactions of the CSAE), 2011, 27(4): 241－245. (in Chinese with English abstract)

[2] Lystianingrum V. State of health and life estimation methods for supercapacitors[C]. Power Engineering Conference, 2013 Australasian Universities, Hobart, TAS: IEEE, 2013: 1－7.

[3] Tongzhen Wei. Deterioration diagnosis of ultracapacitor for power electronics applications[C]. International Conference on Sustainable Power Generation and Supply, Nanjing: IEEE, 2009: 1－6.

[4] 梁海泉，謝維達，孫家南. 超級電容器時變等效電路模型參數辨識與仿真[J]. 同濟大學學報：自然科學版，2012，40(6)：949－954. Liang Haiquan, Xie Weida, Sun Jia′nan. Parameter identification and simulation of time-varying equivalent circuit model of supercapacitor[J]. Journal of Tongji University: Natural Science, 2012, 40(6): 949－954. (in Chinese with English abstract)

[5] 蔡國營，王亞軍，謝晶. 超級電容器儲能特性研究[J]. 電源世界，2009(1)：33－37. Cai Guoying, Wang Yajun, Xie Jing. Research on the characteristics of energy storage for super-capacitor[J]. The World of Power Supply, 2009(1): 33－37. (in Chinese with English abstract)

[6] 王紅梅. 混合動力挖掘機用超級電容的建模與參數辨識[J].電源技術，2014，38(8)：1504－1506. Wang Hongmei. Modeling and parameter identification of ultracapacitor for hybrid excavator[J]. Chinese Journal of Power Sources, 2014, 38(8): 1504－1506. (in Chinese with English abstract)

[7] 趙洋，梁海泉，張逸成. 電化學超級電容器建模研究現狀與展望[J]. 電工技術學報，2012，27(3)：188－195. Zhao Yang, Liang Haiquan, Zhang Yicheng. Review and expectation of modeling research on electrochemical supercapacitor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2012, 27(3): 188－195. (in Chinese with English abstract)

[8] Dougal R A, Gao L, Liu S. Ultracapacitor model with automatic order selection and capacity scaling for dynamic system simulation[J]. Journal of Power Sources, 2004, 126(1/2): 250－257.

[9] 趙洋，韋莉，張逸成. 基于粒子群優化的超級電容器模型結構與參數辨識[J]. 中國電機工程學報，2012，32(15)：155－161. Zhao Yang, Wei Li, Zhang Yicheng. Structure and parameter identification of supercapacitors based on particle swarm optimization[J]. Proceedings of the CSEE, 2012, 32(15): 155－161. (in Chinese with English abstract)

[10] 張逸成，朱建新. 基于超級電容模型的參數辨識及其仿真研究[J]. 機電一體化，2010，16(12)：13－24. Zhang Yicheng, Zhu Jianxin. Study of supercapacitor's parameter identification based on equivalent circuit model[J]. Mechatronics, 2010, 16(12): 13－24. (in Chinese with English abstract)

[11] Z Shi. Interconnected observers for online supercapacitor ageing monitoring[C]. Annual Conference of Industrial Electronics Society, Vienna: IEEE, 2013: 6746－6751.

[12] Akram Eddahech. Online parameter identification for real-time supercapacitor performance estimation in automotive applications[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2013, 51(10): 162－167.

[13] 王國慶，林忠富，左偉忠. 超大容量雙電層電容器主要技術參數的測試[J]. 電子元件與材料，2000，19(2)：15－16. Wang Guoqing, Lin Zhongfu, Zuo Weizhong. Performance test of super double layer capacitors[J]. Electronic Components & Materials, 2000, 19(2): 15－16. (in Chinese with English abstract)

[14] 徐文東，華賁，陳進富. 雙電層電容器的電容特性分析[J].電工電能新技術，2006，25(2)：59－62. Xu Wendong, Hua Ben, Chen Jinfu. Analysis of capacitance of electric double layer capacitor[J]. Advanced Technoloy of Electrical Engineering and Energy, 2006, 25(2): 59－62. (in Chinese with English abstract)

[15] 劉洪波，常俊玲，張紅波. 竹炭基高比表面積活性炭電極材料的研究[J]. 炭素技術，2003，5(1)：1－7.Liu Hongbo, Chang Junling, Zhang Hongbo. Study of bamboo-based activated carbon with high specific surface area for electric double-layer capacitor[J]. Carbon Techniques, 2003, 5(1): 1－7. (in Chinese with English abstract)

[16] 徐文東，陳進富，李術元. 高能量密度雙電層電容器開發及儲放電性能研究[C]. 第五屆中國功能材料及其應用學術會議，北京，2004：94－98.

[17] 趙洋，韋莉，張逸成. 基于粒子群優化的超級電容器模型結構與參數辨識[J]. 中國電機工程學報，2012，32(15)：155－161. Zhao Yang, Wei Li, Zhang Yicheng. Structure and parameter identification of supercapacitors based on particle swarm optimization[J]. Proceedings of the CSEE, 2012, 32(15): 155－161. (in Chinese with English abstract)

·農業生物環境與能源工程·

Capacitance measurement and parameter estimation method for supercapacitors with variable capacitance

Yu Peng1,2, Jing Tianjun1※, Yang Rengang1
(1. College of Information and Electrical Engineering, China Agricultural University, Beijing 100083, China; 2. College of Engineering, Bohai University, Jinzhou121013, China)

Abstract:Estimating the parameters of capacitance function is important for supercapacitor manufacture and integration. The estimated parameters are useful for fault monitoring and health state identification. Because the capacitance can’t be measured directly, indirect measurement model is needed. The capacitance of supercapacitor has relation with voltage or current. The existing methods of supercapacitor parameters estimation have poor performance on variable capacitance and poor adaptability with signal noise. According to the disadvantages of existing methods, a capacitance measurement and parameter estimation method for variable capacitance of supercapacitors was proposed in this paper. This method included two parts: a measurement model; and parameter estimation. The time variable parameter classic model with variable capacitance was used to simulate the time variance character of supercapacitor. Based on this model, a new method was inferred. In this method, the equations based on charge and energy conservation were used to form measuring equation group. Trapezoid formula was applied to solve discrete integral in the equation group. By solving equation groups, the capacitance in every sampling time was measured indirectly. As result, the time series of capacitance were expressed by stack of voltage and current. After bringing the measured voltage and current into the expression of capacitance, the time series of capacitance were obtained. After the capacitances were measured indirectly, the fixed memory least squares method was applied on the time series of capacitance to estimate the parameters of capacitance function. Two simulation experiments based on Matlab were conducted to verify the capacitance measurement and parameter estimation. In these experiments voltage source and load resistance were used to make the supercapacitor charge and discharge randomly. In the first experiment, we used four different functions of the capacitance to test the adaptability of measurement. Comparisons were made between methods, published one in the literature and the ones proposed in this paper. When the capacitance was constant, the average relative error of measurement was 1.51%. The error of reference group was 8.23%. When the capacitance was linear function, the average relative error of measurement was 3.74%. The error of reference group was 36.15%. When the capacitance was quadratic polynomial function, the average relative error of measurement was 11.04%. The error of reference group was 100%. When the capacitance was exponent function, the average relative error of measurement was 26.85%. The error of reference group was 100%. This result showed that the new method was effect under four situations while the reference method was only effect in the situation of that the capacitance was constant and the capacitance was linear function. The second experiment was done with two types of capacitance functions to verify the method under measurement noise. The white Gaussian noise was added into the measured signal to simulate the practical situation. When the capacitance was linear function of current, the average relative errors of measurement were 0.6% and 7%. When the capacitance was quadratic polynomial function of voltage, the average relative errors of measurement were 10.62%, 19.7% and 11.5%. The result showed that the new method was effective under white Gaussian noise. The reference simulation of capacitance measurement based on an existing method was made. The reference method is a computing capacitance method. The result showed that the proposed method had lower error than the reference method. The experiment result supported that the proposed method in this paper was adaptive for different function of capacitance and the method was effect under additive white Gaussian noise on voltage and current signal.

Keywords:capacitors; capacitance measurement; parameter estimation; supercapacitor; least squares method

通信作者：※井天軍，男，博士，主要研究微電網運行與控制。北京中國農業大學信息與電氣工程學院，100083。Email：jtjy11@cau.edu.cn

作者簡介：于鵬，男，遼寧省錦州市人，講師，博士。研究方向為電力電子。遼寧渤海大學工學院，121013。Email：guotianyu2015@163.com

基金項目：中央高等學校基本科研業務費（2015XD004）；國家高技術研究發展“863”計劃（2012AA050217）

收稿日期：2015-08-17

修訂日期：2015-12-15

中圖分類號：TM53

文獻標志碼：A

文章編號：1002-6819(2016)-03-0169-06

doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024