整式乘法中的思想方法

□李慶社

整式乘法中的思想方法

□李慶社

《整式乘除》一章中蘊涵著諸多的數學思想方法，現作如下歸納，供同學們學習時參考.

一、字母代數的思想

《整式乘除》中公式、法則的推導過程大多都是從具體的數開始，通過字母推導出一般的結論.計算時常常用字母代數，能起到化繁為簡、化難為易的作用.

分析：設字母代數進行計算.

解：令a＝2000，

則2001＝a＋1，1999＝a-1，

原式＝20002-2001×1999

＝a2-（a＋1）（a-1）

＝a2-a2＋1＝1.

點評：本題引入字母a＝2000，將數2001和1999變形得2001＝a＋1，1999＝a-1，運用乘法公式，避免了冪的運算和大數字的乘法運算，從而使問題得以簡便解決.

二、整體思想

在應用冪的法則和乘法公式時，常常將一個代數式視為一個整體，整體代入公式進行計算.整體思想在解題中的應用，新穎獨特，簡捷明快.

例2已知x2-x-1＝0，則代數式（x3-2x＋1）2＝________.

分析：視x2-x-1為一個整體，將待求的式子進行變形，整體代入.

解：x3-2 x＋1＝x（x2-x-1）＋（x2-x-1）＋2＝2.

∴原式＝4.

點評：本題若從已知條件求出字母x的值，代入計算，因x2-x-1＝0是一個二次方程，暫時無法求出，而整體變形代入則可避開這個困難.

三、逆向思維的思想

逆用冪的運算法則和性質，往往能使計算簡捷.

例3已知xm＝2，xn＝3，求x3m-2n.

分析：x3m-2n＝x3m÷x2n

＝（xm）3÷（xn）2，

將xm、xn整體代入便可.

解：x3m-2n＝x3m÷x2n

點評：本例逆用同底數冪的除法法則，但解題中不能誤以為x3m-2n＝x3m-x2n.

四、配方法

整式乘法中的完全平方公式的推導過程就是配方的過程.配方法在代數變形中有著廣泛的應用.

例4已知a2＋2 a＋b2-4 b＋5＝0，求（2 a＋b）2016的值.

分析：將已知條件配方，再利用非負數性質求解.

解：（a＋1）2＋（b-2）2＝0，

∵（a＋1）2≥0，（b-2）2≥0，

∴a＝-1，b＝2.

則（2 a＋b）2016＝0.

點評：本題將已知條件配方成兩個非負數的和，根據非負數的性質求解.

常見的非負數形式主要有：

五、化歸思想

例5已知ax＝2，ay＝3，az＝6，求a3x+2y-z的值.

分析：求解本題的關鍵在于尋找求值式與已知的關系，可用下面兩種解法.

解法一：由ax＝2，得（ax）3＝23，即a3x＝8.

由ay＝2，得（ay）2＝32，即a2y＝9.

又az＝6，

∴a3x·a2y÷az＝8×9÷6＝12.

即a3x+2y-z＝12.

解法二：a3x+2y-z＝a3x·a2y÷az＝（ax）3·（ay）2÷az＝22×32÷6＝12.

點評：解法一根據等式兩邊可以同時乘方的原理，從已知中構造出求值式中有關的a3x、a2y及az，再根據同底數冪的乘法、除法性質構造出求值式a3x+2y-z，這種解法的基本思路是由已知向目標轉化，即“已知→目標”；解法二利用冪的運算性質的可逆性，即逆用冪的乘方性質，同底數冪的乘法、除法性質，求解過程直接了當，一氣呵成，這種解法的基本思路是由目標向已知轉化，即“目標→已知”.

六、建模思想

例6計算11×101×10001.

分析：若直接相乘，計算量很大，但仔細觀察可知：11＝10＋1，101＝100＋1，10001＝10000＋1，所以在原式中只要乘以（10-1），即可連續運用平方差公式計算.

＝11111111.