比重瓶法處理水樣瓶加澄清水重計算方法

吳彰松，張根廣，梁宗祥，史志鵬(西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

水體中的含沙量測驗，是河流水文觀測、河工模型試驗、水質評價及工農業取水中必不可少的測驗要素，對于上述課題研究領域具有舉足輕重的作用。在實際含沙量測驗中，通常采用比重瓶法[1]。比重瓶法也稱為置換法，它是采用預先率定好的比重瓶灌裝渾水水樣，進行稱重及水溫測驗，之后用渾水重減去同溫度清水重，兩者差值除以比重瓶體積，再乘以水沙置換系數即得到水體含沙量[2]。

在實驗室，采用比重法進行含沙量測驗時，通常用蒸餾水或去離子水進行比重瓶的檢定，這對于含沙量較大水體而言，因水樣中溶解質對含沙量的影響比較小，觀測人員一般也不會考慮其對含沙量的影響；但當含沙量較小時，水樣中溶解質對含沙量的影響就不可忽視，甚至它對含沙量的影響遠遠大于水體自身的含沙量[1]。所以為了確保含沙量測驗的精度，在實際分析工作中，更多用到的是用澄清水進行比重瓶的檢定[1,3]。為了提高含沙量測驗工作效率，彭世想[4]根據《河流懸移質泥沙測驗規范條文說明》[5]中置換法處理泥沙水樣“差值法”檢定比重瓶的基本原理推導出了一種直接計算得出瓶加清水重的方法，省去了制表、查表環節。但是在推導該方法的過程中，彭世想只考慮了比重瓶的體積膨脹對比重瓶檢定的影響，沒有考慮清水中存在的溶解質對比重瓶檢定的重要影響，所以彭世想推導出來的計算公式只適用于計算比重瓶加蒸餾水或去離子水的情況，對于含有溶解質的澄清水的情況不再適用。為了單獨考慮澄清水中的溶解質對比重瓶檢定的影響，張海敏[3]通過三門峽站資料進行分析，利用同一溫度澄清河水重與蒸餾水重比來確定澄清河水與蒸餾水密度之比與溫度之間的關系，這樣就避免了水樣由于溫度變化而引起的體積變化所產生的干擾。認為澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫有近似的線性關系，并通過實驗資料得出了澄清河水密度與蒸餾水密度之比與水溫的相關線性方程，進而求出了澄清河水密度隨水溫變化的相關表達式。作者對張海敏的表達式進行了校驗，發現該表達式與三門峽站實測資料相矛盾，為了探索澄清水中溶解質對水樣密度的影響，作者對室溫條件下(15～25 ℃)的比重瓶加模型澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量分別進行了測驗，通過繪制散點圖得到模型澄清水密度與蒸餾水密度之比與水溫呈現曲線函數關系。基于此，得到了比重瓶法處理水樣瓶加澄清水重計算方法，具有較好的實用性。

1 澄清水密度隨水溫變化規律的探討

利用清水檢定比重瓶的關鍵問題是確定清水密度隨水溫變化的規律，當選用蒸餾水或去離子水檢定比重瓶時，前人已經給出了較為精確的計算蒸餾水或去離子水密度的計算公式[3,4]。但在實際分析工作中，更多用到的是用澄清水進行比重瓶的檢定[1,3]，由于澄清水中溶解質的影響，澄清水密度隨溫度的變化規律明顯不同于蒸餾水或去離子水的密度隨溫度的變化規律。為了確定澄清水密度隨溫度的變化規律，張海敏[3]利用三門峽水文站的實驗資料進行分析，認為澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫有近似的線性關系，得出三門峽站澄清河水密度與蒸餾水密度的相關線性方程：

ρh=ρw(0.002 15T+1.021) (5 ℃≤T≤25 ℃)

(1)

式中：T為水的溫度；ρh、ρw分別為相同水溫條件下澄清河水和蒸餾水的密度。

為了便于分析計算，張海敏根據Tilton和Taylor提供的實驗數據優選率定出了蒸餾水的密度隨水溫變化的相關方程：

ρw=0.999 995 976-7.313 215 885×10-6(T-4)2

(2)

(0 ℃≤T<8 ℃)

ρw=1.000 104 511-1.695 569 674×10-6T2.346 771 789

(3)

(8 ℃≤T<16 ℃)

ρw=1.000 270 892-4.938 525 939×10-6T2.010 695 513

(4)

(16 ℃≤T<28 ℃)

ρw=1.000 696 372-1.068 671 86×10-5T1.808 782 641

(5)

(28 ℃≤T<30 ℃)

(5)

根據式(1)、(2)、(3)、(4)計算出澄清河水在溫度為5～25 ℃時的密度，見圖1。可以看出，澄清河水密度計算值隨著溫度的升高而增大，說明式(1)是單調遞增函數。

圖1 澄清河水密度計算值隨水溫關系圖Fig.1 Relationship between calculated river water density and temperature

對于物體的體積隨溫度的改變而引起的變化，通常用物體的體積膨脹系數εv來描述，它表示物體以0 ℃時的體積V0為準，當平均溫度升高1 ℃時，單位體積的變化量。設比重瓶在0 ℃時的容積為V0，任一溫度時對應的容積為VT，則比重瓶容積隨溫度變化的函數關系式為：

VT=V0+εvTV0

(6)

顯然，式(6)是單調遞增函數。則比重瓶內的澄清河水重Wh為：

Wh=ρhVT

(7)

由于ρh、VT均是關于溫度變量T的單調遞增函數，則比重瓶內澄清河水重Wh必定隨著溫度T的升高而呈現增大趨勢，這與張海敏文中的三門峽站實測資料相矛盾，見圖2。

圖2 蒸餾水與澄清河水密度之比與水溫關系圖(三門峽站資料)Fig.2 Relationship between density ratio of distilled water to river water and temperature

對于這種反常現象，對式(2)、(3)、(4)、(5)代入溫度數值進行計算，并將計算得到的蒸餾水的密度值與彭世想論文中介紹的西德技術物理研究院蒸餾水密度計算公式[4]得到的蒸餾水密度值進行比較，發現二者吻合良好，說明張海敏率定出的蒸餾水的密度計算公式符合實際情況，因此認為出現上述反常現象是由于張海敏對澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫之間近似的線性關系的錯誤估計造成的，那么澄清水與蒸餾水的密度之比與水溫之間究竟存在什么樣的關系呢？作者利用某一模型澄清水作了詳細的探索。

本實驗采用100 mL的比重瓶對模型澄清水和蒸餾水重隨溫度的變化關系進行了測驗。在測驗含沙量的過程中，為了避免溫度偏離室溫過大而引起的比重瓶容積偏離標稱容積較大的情況，實際測驗過程中一般將水溫控制在室溫溫度上下，所以在本實驗中，作者針對溫度為15～25 ℃的比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量進行了測驗。根據規范[6]，本實驗中測驗比重瓶加水重時對應溫度的示值為0.1 ℃。為了保證數據的精度，每一種溫度下進行了至少3次以上重量的測驗。測驗得到的結果見圖3，可以看出，模型澄清水與蒸餾水的密度之比隨溫度的變化并不滿足線性關系，而是一種曲線的關系，得到的模型澄清水密度與蒸餾水密度之比隨水溫變化的擬合曲線方程為：

ρm/ρw=6×10-6T2-2.36×10-4T+1.002 618

(8)

式中：ρm為模型澄清水的密度；ρw為蒸餾水的密度。

注：圖中的模型澄清水計算值是根據后文中論述的比重瓶加澄清水重計算方法計算出來的。圖3 蒸餾水與模型澄清水密度之比與水溫關系圖Fig.3 Relationship between density ratio of distilled water to model clear water and temperature

澄清水不同時，上式中溫度變量前的系數也會發生變化，根據上式，任一種澄清水的密度與蒸餾水的密度之比隨溫度變化的關系為：

(9)

式中：ρcT為溫度為T時任一種澄清水的密度。

在實際工作中，欲建立澄清水密度與蒸餾水密度的比值與水溫的關系，只需另外稱取在測驗含沙量水樣溫度范圍內最低溫度、中值溫度和最高溫度3個溫度條件下瓶加澄清水與瓶加蒸餾水的重量，代入(9)式即可求出3個常數A、B、C的值，從而建立起澄清水與蒸餾水密度的換算關系。

為了便于計算，選用彭世想[4]論文中介紹的西德技術物理研究院蒸餾水密度值ρw計算公式：

ρw=0.999 839 563 9+6.798 299 989×10-5T-

9.106 025 564×10-6T2+1.005 272 999×10-7T3-

1.126 713 526×10-9T4+6.591 795 606×10-12T5

(10)

根據式(9)、式(10)兩式即可得到任一溫度下澄清水密度值：

ρcT=ρw(AT2+BT+C)

(11)

2 瓶加澄清水重隨溫度變化關系式的推導

對于澄清水樣的體積隨溫度的改變而引起的變化，可以用澄清水樣的體積膨脹系數εv來描述。它表示澄清水樣以零攝氏度時的體積V0為準，當平均溫度升高1 ℃時，單位體積的變化量，其表達式可以寫成：

(12)

根據式(12)

VT=V0(1+εvT)

(13)

式中：T為溫度；VT為溫度為T時的澄清水樣體積。

當澄清水樣溫度由T1變化到T2時，其體積相應從VT1變化為VT2，根據式(13)，可將VT2與VT1的關系寫成：

(14)

VT2=VT1(1+εvT2)(1-εvT1+ε2vT21-ε3vT31+ε4vT41)

(15)

由于εv值很小，而ε2v值更小，當忽略去ε2v以上高次項以后，得：

VT2=VT1[1+εv(T2-T1)]

(16)

因為

(17)

式中：WT為溫度為T時比重瓶內澄清水重；ρcT為溫度為T時澄清水的密度。

將它代入式(16)后，得到不同溫度時比重瓶內澄清水重關系式：

(18)

式中：WT1、WT2分別為溫度為T1、T2時比重瓶內澄清水重；ρcT1、ρcT2分別為溫度為T1、T2時澄清水的密度。

若將20 ℃與某一溫度T′代入上式，即可寫出它們相應的澄清水重關系式為：

(19)

再將某一溫度T′與任一溫度T代入式(18)，即可寫出它們相應的澄清水重關系式為：

(20)

式中：WT′為溫度為T′時比重瓶內澄清水重；ρcT′為T′時澄清水的密度；W20為溫度為20 ℃時比重瓶內澄清水重；ρc20為溫度為20 ℃時澄清水的密度。

式(19)、式(20)相減可得任一溫度T與某一溫度T′時比重瓶內澄清水重的差值為：

(21)

根據彭世想[4]一文中，εv取為0.000 02；設比重瓶重Wb，上式可寫成：

WT+Wb-(WT′+Wb)=

V20[1+0.000 2(T′-20)]{ρcT[1+0.000 02(T-T′)]-ρcT′}

(22)

WT+Wb為任一溫度T的比重瓶加澄清水重，寫作WbT，WT′+Wb為某一溫度T′的比重瓶加澄清水重，寫作WbT′。則上式可寫成：

WbT=WbT′+V20[1+0.000 02(T′-

20)]{ρcT[1+0.000 02(T-T′)]-ρcT′}

(23)

在實際工作中只需稱取在測驗含沙量水樣溫度范圍內最低溫度、中值溫度和最高溫度3個溫度條件下比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量，再根據式(11)、式(23)即可求得任一溫度T所對應的比重瓶加清水重WbT。利用此種計算方法計算出來的模型澄清水重隨溫度的變化規律見圖3，可以看出計算的模型澄清水重與測驗的模型澄清水重符合很好，說明了此種計算方法的合理性和有效性。

3 結 語

(1)通過對張海敏得到的澄清河水密度與蒸餾水密度之比隨溫度變化的相關線性方程的分析，發現張海敏公式與三門峽站實測資料相矛盾，進而利用比重瓶對室溫情況下(15～25 ℃)模型澄清水和蒸餾水的重量進行了系統地測驗，得到了澄清水密度與蒸餾水密度之比隨著溫度變化呈現曲線函數的關系。

(2)基于澄清水密度與蒸餾水密度之比隨溫度變化的規律，作者對彭世想推導出來的比重瓶加清水重計算公式進行了改進，以后在實際工作中只需稱取在測驗含沙量水樣溫度范圍內最低溫度、中值溫度和最高溫度三個溫度條件下比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量，再根據式(11)、式(23)即可求得任一溫度T所對應的比重瓶加澄清水重WbT使得計算公式更方便地用于實際測驗含沙量的工作中。

□

[1] 吳彰松，張根廣，梁宗祥，等.比重瓶測驗低含沙量誤差分析[J].長江科學院院報，2016,33(3):5-8.

[2] 蔡守允，朱其俊，張曉紅.模型試驗含沙量測驗儀器的分析研究[J].水資源與水工程學報，2007,18(5):83-85.

[3] 張海敏，李世明，和瑞麗.比重瓶檢定方法實驗研究[J].泥沙研究，1996,(3):86-91.

[4] 彭世想，沈慶文，李曉偉，等.置換法處理水樣瓶加清水重直算法[C]∥中國水利學會第四屆青年科技論壇論文集,2008:265-268.

[5] GB50159-92，河流懸移質泥沙測驗規范條文說明[S].

[6] SL99-2012，河工模型試驗規程[S].