謝爾曼單位線識別新方法

程銀才，王 軍，李明華(．山東農業大學水利土木工程學院，山東 泰安 708；．山東省泰安市水文局，山東 泰安 7000)

謝爾曼單位線(以下簡稱單位線)是進行流域降雨徑流預報和流域水文模型建立中常用的工具。現有的根據降雨與徑流資料識別單位線的方法有多種，如分析法、試算法、最小二乘法等方法[1,2]。分析法適用于凈雨時段數m較小(m≤3～4)情況，當m較大時，推算出的單位線容易在退水段出現鋸齒狀，以及退水段流量較小時容易出現負值現象，其原因主要有四點，一是推求單位線的倍比、疊加兩個假定均是線性的，這與流域匯流非線性的特點不完全一致；二是實測的降雨、徑流資料不可避免存在誤差，這會影響到單位線計算的精度；三是根據產流模型由降雨推算凈雨時的模型誤差；最后是根據流域出口斷面實測的流量資料進行水源分割推求地面徑流時也會出現誤差。試算法推求單位線具有初始單位線不易設定，且因反復迭代計算效率低的缺點。最小二乘法原理相對完善，但也會由于前述四個原因導致識別的單位線出現鋸齒狀、負值和多峰的不合理現象。對此，有學者提出了一些辦法，具有代表性的是，葛守西[3]提出的水量平衡約束、非負約束以及無震蕩約束條件下識別單位線的方法，董曉華[4]等提出了三個目標和一個約束的目標規劃法識別單位線的方法。這兩種方法效果都較好，不足之處是這兩種方法都過于復雜，有鑒于此，本文提出了先用約束的非線性最小二乘法識別單位線，再用離散傅里葉級數對單位線光滑的兩步法。兩步法相對獨立，分別計算，不僅簡便，且效果較好，在工程計算中具有一定的借鑒價值。

1 約束非線性最小二乘法識別單位線原理

1.1 約束非線性最小二乘法模型

約束非線性最小二乘法模型為：

(1)

式中：A、B為系數矩陣；X為待求向量。

對上述模型，要求對給定的A、B，求滿足式(1)的解X。由于使用了非負約束，消除了單位線出現負值的可能。

1.2 約束非線性最小二乘法識別單位線的方法

(2)

對比式(1)與式(2)，應有

得出A、B后，即可用按式(1)用約束非線性最小二乘法識別出單位線。

2 離散傅里葉級數光滑單位線原理

傳統的計算單位線方法是，用試算法或最小二乘法推算出單位線后，因計算出的單位線有鋸齒、不光滑，還需要用手工辦法修勻單位線。這一方法的缺點顯而易見，一是修勻過程主觀隨意性大，結果因人而異；二是精度難以控制，效率低下。對此，提出了修勻單位線一個可行的理論方法，即用離散傅里葉級數逼近單位線，實施單位線的光滑，原理如下。

(3)

使用前述的約束非線性最小二乘法模型識別出單位線，得到的是一系列離散的點[(t,qt)，(t=1,2,…,n)]表示的單位線，此時，再用離散傅里葉級數對這n個離散的點逼近，實施單位線的光滑，以消除單位線的鋸齒狀以及多峰不合理現象。

3 示 例

某流域一場降雨對應的凈雨如表1中的r，地面徑流過程如表1中的Q。采用傳統的分析法得到的單位線結果見表1中的q1。在單位線q1的退水段當流量較小時，單位線q1出現了負值流量-3.8 m3/s，同時也出現鋸齒現象，如q1的退水段第11個時序的流量276.6 m3/s大于第10個時序的流量224.4 m3/s。

表1 分析法、約束最小二乘法以及傅里葉級數光滑計算成果Tab.1 Calculation results of analysis method, constrained least squares method and fourier series smooth

采用本文提出的方法：第一步，采用了約束非線性最小二乘法，通過應用程序VB6.0經編程計算，得到單位線見表1中的q2。從計算結果可知，消除了單位線的負值，單位線q2相對于單位線q1的總體誤差為(3 445.36-3 475.7)/3 475.7×100%=0.84%，可見約束非線性最小二乘法計算結果精度較高。但單位線鋸齒現象仍然存在，如q2的退水段第11個時序的流量277.4 m3/s大于第10個時序的流量219.4 m3/s。第二步，采用傅里葉級數對約束非線性最小二乘法的結果實施消鋸齒光滑，經程序試算，調和函數的個數h=8時效果最好(圖1)，計算結果見表1中的q3，從計算結果看，鋸齒現象已經消除。單位線q3相對于單位線q1的總體誤差為(3 237.2-3 475.7)/3 475.7×100%=6.86%，能滿足一般工程計算對精度的要求，可見采用離散傅里葉級數計算結果精度較高。

圖1 離散傅里葉級數消除單位線鋸齒與多峰現象Fig.1 Fourier series eliminates the zigzag and multi-peak phenomenon of unit line

為便于對比，編程計算并繪制了q2與q3單位線曲線，如圖1。通過圖1可以清楚看出，單位線鋸齒現象得到明顯改善，不再存在，采用離散傅里葉級數光滑后，單位線的計算結果也更加合理。

4 結 語

分析了傳統的謝爾曼單位線識別方法存在的問題，提出了先用約束的非線性最小二乘法識別單位線，再用離散傅里葉級數對單位線光滑的兩步法。新方法計算簡便，且效果較好，在工程計算中具有一定的借鑒價值。

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[1] 包為民．水文預報[M]．北京：中國水利水電出版社，2006．

[2] 詹道江，葉守澤．工程水文學[M]．北京：中國水利水電出版社，1999．

[3] 葛守西．現代洪水預報方法[M]．北京：中國水利電力出版社，1999:261-264.

[4] 董曉華，趙云法，袁 杰，等．基于目標規劃法的時段單位線多目標優化估計[J]．人民長江，2007，38(8)：12-13．