基于最大熵原理的徑流預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律研究

何 洋，紀(jì)昌明，田開(kāi)華，張驗(yàn)科，李傳剛(.華北電力大學(xué)可再生能源學(xué)院，北京 006；.雅礱江流域水電開(kāi)發(fā)有限公司，成都 60056)

0 引 言

隨著信息與預(yù)報(bào)技術(shù)的發(fā)展，徑流預(yù)報(bào)的預(yù)報(bào)方法逐漸豐富，預(yù)報(bào)精度也逐步提高。但由于流域徑流受水文、下墊面、人類(lèi)活動(dòng)及水文模型等因素的影響，徑流預(yù)報(bào)結(jié)果的不確定性十分明顯，預(yù)報(bào)誤差不可避免[1]。

對(duì)徑流預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)特性的研究包括對(duì)其分布規(guī)律和誤差出現(xiàn)不確定度的研究?jī)蓚€(gè)方面。目前，大多數(shù)文獻(xiàn)主要利用參數(shù)估計(jì)[2]、非參數(shù)估計(jì)[3]和統(tǒng)計(jì)圖形[4]等方法分析洪水預(yù)報(bào)誤差的分布特性，通常認(rèn)為其預(yù)報(bào)誤差服從或近似服從正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)和Laplace等分布形式。但這些方法均無(wú)法直接推導(dǎo)出洪水預(yù)報(bào)誤差的先驗(yàn)分布，帶有明顯的主觀性。最大熵法能依據(jù)有限的歷史徑流序列，推求一種最小有偏概率分布，并與直接概率方法得到的結(jié)果相一致，其結(jié)果具有無(wú)偏性和客觀性，因而被廣泛應(yīng)用于水科學(xué)領(lǐng)域[5]。文獻(xiàn)[6]建立了洪水總量預(yù)報(bào)誤差分布的極大熵模型，分析不同預(yù)報(bào)誤差的分布規(guī)律，結(jié)果表明通過(guò)極大熵模型能求得一個(gè)與已知預(yù)報(bào)誤差序列擬合較好的分布；文獻(xiàn)[7]采用最大熵原理，計(jì)算了我國(guó)濕潤(rùn)和半濕潤(rùn)地區(qū)部分典型水庫(kù)的凈雨、洪峰流量和峰現(xiàn)時(shí)間預(yù)報(bào)相對(duì)誤差的概率密度函數(shù)，結(jié)果表明最大熵法研究洪水預(yù)報(bào)誤差分布是可行的；文獻(xiàn)[8]詳細(xì)闡明了推求洪水預(yù)報(bào)誤差分布的問(wèn)題本質(zhì)及最大熵原理的適用性分析，結(jié)果表明最大熵原理在推求洪水預(yù)報(bào)誤差分布時(shí)是合理可行的，且洪水預(yù)報(bào)作為徑流預(yù)報(bào)的一部分，因而它也間接證明了徑流預(yù)報(bào)同樣適用最大熵原理。但上述文獻(xiàn)均僅推求徑流預(yù)報(bào)整個(gè)誤差系列的分布規(guī)律，且未能在此基礎(chǔ)上以概率形式定量描述徑流預(yù)報(bào)的不確定性，其實(shí)用性不高。為此，本文以官地水庫(kù)為研究對(duì)象，以其不同預(yù)見(jiàn)期的歷史徑流預(yù)報(bào)資料為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，應(yīng)用最大熵原理，建立徑流預(yù)報(bào)誤差的最大熵模型，開(kāi)展徑流預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律的研究，同時(shí)考慮流域徑流年內(nèi)豐枯變化對(duì)其分布規(guī)律的影響，對(duì)整個(gè)徑流的誤差序列進(jìn)行分時(shí)期研究，從而更好地掌握徑流預(yù)報(bào)誤差的分布規(guī)律。

1 徑流預(yù)報(bào)誤差分布的最大熵模型

為了解決不確定性問(wèn)題，科學(xué)家E T Jaynes[9]在信息論中引入最大熵原理，它是根據(jù)樣本信息對(duì)某個(gè)未知分布做出推斷的一種方法。其準(zhǔn)則是在以不完整信息作為依據(jù)進(jìn)行推斷時(shí)，承認(rèn)已知事物，且不對(duì)未知事物做任何假設(shè)，在所有的可行解中選擇熵最大的一個(gè)解，其解是唯一的，且同為指數(shù)函數(shù)的形式。

1.1 最大熵模型

設(shè)x為徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“誤差”)系列：

(1)

其概率密度函數(shù)為f(x)，建立最大熵模型[10]：

(4)

x≥a或x≤b

(5)

其中x=G(x1,x2,…,xn)

(6)

式中：n為徑流預(yù)報(bào)的系列長(zhǎng)度；qi、Qi分別為徑流系列的預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值；Ω為徑流預(yù)報(bào)誤差x所在的集合；m為矩的階數(shù)；mi表示第i階原點(diǎn)矩；a、b為保證x有意義的誤差上下限。

該模型表示在滿(mǎn)足已知信息約束下，以熵最大為準(zhǔn)則求得徑流預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)。

1.2 模型求解

(7)

(8)

或

(9)

式(9)是基于最大熵原理得到的概率密度函數(shù)的解析形式。將其代入式(3)中解得：

(10)

或

(11)

將式(10)對(duì)λi微分，并考慮到式(4)和式(9)，可得：

(12)

為求解各個(gè)λi，可建立一個(gè)聯(lián)立方程組，將式(11)對(duì)λi微分，可得：

(13)

由式(12)和式(13)可得：

(14)

通過(guò)式(14)可求解λ1,λ2,…,λm，代入式(11)求出λ0。為了便于數(shù)值求解，將式(14)改為：

(15)

式中：Ri為殘差，可用數(shù)值計(jì)算方法使其趨于零，用非線(xiàn)性規(guī)劃求這些殘差平方核定最小值，就可得到問(wèn)題的解：

(16)

為了用非線(xiàn)性規(guī)劃求解在算法中還要假定有一個(gè)初始點(diǎn)，文獻(xiàn)[10]提供了四種不同的確定初始點(diǎn)的方法，分別為假設(shè)分布是正態(tài)、假設(shè)分布是均勻、綜合協(xié)調(diào)法和逐步起點(diǎn)法，可由算法按給定的順序依次試用。當(dāng)R<ε(ε為規(guī)定的允許誤差)或所有的|Rj|<ε時(shí)認(rèn)為上式收斂，從而求解出λ0,λ1,λ2,…,λm，最后求出最大熵概率密度函數(shù)的唯一解析表達(dá)式。其流程圖如圖1。

圖1 求解最大熵概率密度函數(shù)流程圖Fig.1 Flow chart of maximum entropy probability density function

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 水庫(kù)概況

官地水庫(kù)是雅礱江卡拉至江口河段水電規(guī)劃五級(jí)開(kāi)發(fā)方式的第3個(gè)梯級(jí)電站。水庫(kù)正常蓄水位1 330 m，正常蓄水位對(duì)應(yīng)庫(kù)容7.292億m3，最大調(diào)節(jié)庫(kù)容1.232 億m3，為日調(diào)節(jié)水庫(kù)，總裝機(jī)容量240萬(wàn)kW，設(shè)計(jì)多年平均發(fā)電量為110.160 億kWh。該水庫(kù)位于雅礱江流域下游，流域降水具有明顯的季節(jié)性變化，徑流的年際、年內(nèi)豐枯變化與降雨季節(jié)變化趨勢(shì)一致，按徑流量及補(bǔ)給來(lái)源可大致分為：汛期7-9月、汛枯過(guò)渡期10月、枯汛過(guò)渡期5月和6月、枯水期11月-翌年4月[11]，具體劃分結(jié)果見(jiàn)表1。目前，官地水庫(kù)在當(dāng)日早8∶00和晚8∶00分別進(jìn)行一次徑流預(yù)報(bào)，預(yù)見(jiàn)期分別為6、12、18、24 h，利用不同預(yù)見(jiàn)期的預(yù)報(bào)成果，制定明日發(fā)電計(jì)劃。因此，研究不同預(yù)見(jiàn)期的預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律能促進(jìn)發(fā)電計(jì)劃編制的合理性。本文選取該水庫(kù)2012年3月-2014年12月不同預(yù)見(jiàn)期的新安江模型徑流預(yù)報(bào)成果進(jìn)行誤差分布研究。不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差的統(tǒng)計(jì)描述量見(jiàn)表2，其中確定性系數(shù)表示徑流預(yù)報(bào)過(guò)程的離散程度，計(jì)算結(jié)果表明其預(yù)報(bào)精度均達(dá)到甲等(大于0.9)，符合規(guī)定。

表1 官地水庫(kù)徑流序列時(shí)期劃分表Tab.1 Guandi reservoir runoff period division table

表2 不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差的統(tǒng)計(jì)描述量Tab.2 Statistical description of relative error of runoff forecasting for different forecast periods

2.2 徑流預(yù)報(bào)誤差分布的計(jì)算及分析

以官地水庫(kù)整個(gè)時(shí)期的徑流系列為例。最大熵模型計(jì)算徑流預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律時(shí)，樣本估計(jì)總體統(tǒng)計(jì)參數(shù)的3階以上的原點(diǎn)矩與理論值偏差較多，其抽樣誤差較大，因此僅采用序列的前3階原點(diǎn)矩建立約束條件，計(jì)算其整個(gè)時(shí)期不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差的3階原點(diǎn)矩，見(jiàn)表3；建立官地水庫(kù)徑流預(yù)報(bào)誤差分布的最大熵模型，經(jīng)驗(yàn)證可利用逐步起點(diǎn)法假定初始點(diǎn)，將1.2[μ-5σ，μ+5σ]作為誤差域[12]，并采用非線(xiàn)性規(guī)劃求解函數(shù)推求式中的Lagrange乘子，結(jié)果見(jiàn)表4。

表3 不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)誤差原點(diǎn)矩Tab.3 The origin moment of runoff forecast errors in different forecast periods

表4 不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)誤差Lagrange乘子Tab.4 Lagrange multiplier of Runoff forecasting error of different forecast period

由表4可確定官地水庫(kù)不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)誤差的最大熵概率密度函數(shù)，函數(shù)式如下(設(shè)x1、x2、x3、x4分別表示預(yù)見(jiàn)期為6、12、18、24 h的徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差序列)，并繪制不同預(yù)見(jiàn)期徑流預(yù)報(bào)誤差的最大熵分布曲線(xiàn)，同時(shí)給出其理論正態(tài)分布曲線(xiàn)和樣本直方圖作為對(duì)比，見(jiàn)圖2。

f(x1)=exp(-2.982 6-0.020 9x1-0.008 2x21+

1.035 3×10-4x31),x1∈[-55.9,56.2]

(17)

f(x2)=exp(-3.008 0-0.016 0x2-0.007 9x22+

1.154 0×10-4x32),x2∈[-59.3,60.9]

(18)

f(x3)=exp(-3.158 2-0.005 3x3-0.005 7x23+

5.553 7×10-6x33),x3∈[-63.8,66.5]

(19)

f(x4)=exp(-3.193 9-0.006 1x4-0.005 3x24+

1.597 9×10-6x34),x4∈[-73.2,73.1]

(20)

圖2 不同預(yù)見(jiàn)期的最大熵分布曲線(xiàn)、正態(tài)分布曲線(xiàn)和樣本直方圖的對(duì)比圖Fig.2 Comparison diagram of the maximum entropy distribution curves and normal distribution curves and sample histogram in different forecast period

由圖2可看出，對(duì)于不同的預(yù)見(jiàn)期，徑流預(yù)報(bào)誤差的樣本直方圖的形狀均呈中間高，兩邊低，左右基本對(duì)稱(chēng)，初步表明徑流預(yù)報(bào)誤差系列呈正態(tài)分布；最大熵曲線(xiàn)與理論正態(tài)分布曲線(xiàn)基本吻合，兩曲線(xiàn)形狀、走勢(shì)相差不大，表明得到的最大熵曲線(xiàn)是比較合理的；相比于理論正態(tài)曲線(xiàn)，最大熵曲線(xiàn)的形狀更“高瘦”，預(yù)報(bào)誤差集中度更高，曲線(xiàn)最大概率值更大，且更接近樣本直方圖的最大概率值，這符合熵集中原理，即預(yù)報(bào)誤差的絕大部分可能狀態(tài)都集中在最大熵狀態(tài)附近；最大熵曲線(xiàn)與樣本直接圖一樣其誤差均有上下限，而理論正態(tài)曲線(xiàn)的積分區(qū)間為±∞。因此，相比于理論正態(tài)曲線(xiàn)，最大熵曲線(xiàn)擬合效果更好，更符合實(shí)際情況。

考慮流域徑流年內(nèi)豐枯變化對(duì)其預(yù)報(bào)誤差分布的影響，分別計(jì)算官地水庫(kù)枯水期、汛期和過(guò)渡期的6、12、18和24 h的徑流預(yù)報(bào)誤差的最大熵概率密度函數(shù)，并繪制不同時(shí)期及不同預(yù)見(jiàn)期的徑流預(yù)報(bào)誤差最大熵曲線(xiàn)，分別見(jiàn)圖3和圖4。

圖3 不同時(shí)期的最大熵曲線(xiàn)對(duì)比圖Fig.3 The contrast diagram of Maximum entropy distribution curves of different period

圖4 不同預(yù)見(jiàn)期的最大熵曲線(xiàn)對(duì)比圖Fig.4 The contrast diagram of Maximum entropy distribution curves of different forecast periods

(1)由圖3可看出，對(duì)于不同時(shí)期，隨著預(yù)見(jiàn)期的增加，其最大熵曲線(xiàn)的形狀基本上均由“高瘦型”逐漸變?yōu)椤鞍中汀保€(xiàn)的最大概率值逐漸降低，均值附近的誤差分布集中度逐漸降低，表明對(duì)于同一時(shí)期做出的徑流預(yù)報(bào)，隨著預(yù)見(jiàn)期增加，預(yù)報(bào)精度降低，其不確定性增加。表5列出了不同時(shí)期、不同預(yù)見(jiàn)期及不同置信區(qū)間預(yù)報(bào)誤差的置信度。由表5可知，當(dāng)預(yù)見(jiàn)期為12、18和24 h時(shí)，相比于整個(gè)時(shí)期、枯水期或過(guò)渡期，汛期的預(yù)報(bào)誤差在相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)的置信度差異較小，與預(yù)見(jiàn)期為6 h相應(yīng)的置信度差異較大，但從區(qū)間③開(kāi)始，隨著置信區(qū)間的加大，各個(gè)預(yù)見(jiàn)期置信度的增加幅度均比較緩慢，表明汛期各個(gè)預(yù)見(jiàn)期的預(yù)報(bào)誤差分布均比較集中，預(yù)報(bào)精度較高。這主要是因?yàn)槭芙邓陜?nèi)分配不均勻的影響，相比于枯水期和過(guò)渡期，汛期的徑流大且波動(dòng)性強(qiáng)，隨著預(yù)見(jiàn)期的增加，徑流預(yù)報(bào)值的隨機(jī)性更強(qiáng)，變化幅度更大，使其最大熵曲線(xiàn)變化更大。但就整體上而言，不同時(shí)期、不同預(yù)見(jiàn)期預(yù)報(bào)誤差位于[-20%,20%]置信區(qū)間的置信度基本達(dá)到0.95左右(僅24 h預(yù)見(jiàn)期的枯水期置信度最低為0.914)，預(yù)報(bào)精度均達(dá)到甲等。

(2)由圖4和表5可看出，對(duì)于不同預(yù)見(jiàn)期，其最大熵曲線(xiàn)基本上是汛期最“高瘦”、過(guò)渡期次之、整個(gè)時(shí)期再次之、枯水期最“矮胖”，對(duì)應(yīng)地，其預(yù)報(bào)精度由高到低依次為汛期、過(guò)渡期、整個(gè)時(shí)期和枯水期。當(dāng)預(yù)見(jiàn)期為6 h時(shí)，相應(yīng)的預(yù)報(bào)誤差位于區(qū)間③的置信度分別為0.958、0.837、0.796和0.677，其差異較大，汛期預(yù)報(bào)誤差的置信度遠(yuǎn)高于其他時(shí)期，且置信區(qū)間越大，其差異越小。這主要是由于受防洪需要，雖然汛期流量大且波動(dòng)性強(qiáng)，但現(xiàn)有的新安江模型在多年的實(shí)際預(yù)報(bào)工作中已能較好地發(fā)掘該時(shí)期的徑流規(guī)律，使其預(yù)報(bào)精度高于其他時(shí)期；過(guò)渡期徑流主要受降雨和河槽蓄水補(bǔ)給等影響，其流量波動(dòng)較強(qiáng)，造成該時(shí)期預(yù)報(bào)精度較低，預(yù)報(bào)不確定性較大；枯水期由于其流量極小，預(yù)報(bào)產(chǎn)生的較小差異也將造成其相對(duì)誤差值的較大變化，使該時(shí)期的預(yù)報(bào)精度最低，不確定性最大。

表5 不同時(shí)期、不同預(yù)見(jiàn)期及不同置信區(qū)間預(yù)報(bào)誤差的置信度Tab.5 The confidence of prediction error of different period, different forecast period and different confidence interval

注：置信區(qū)間的單位為“%”。

(3)對(duì)整個(gè)時(shí)期而言，盡管預(yù)見(jiàn)期不同，其最大熵曲線(xiàn)總是介于枯水期、汛期和過(guò)渡期之間。整個(gè)時(shí)期預(yù)報(bào)的不確定性是各個(gè)時(shí)期綜合作用的結(jié)果，盡管汛期預(yù)報(bào)的不確定性很小，但由于枯水期預(yù)報(bào)不確定性較大，從而增加了整體預(yù)報(bào)結(jié)果的不確定性。因此，在進(jìn)行徑流預(yù)報(bào)工作時(shí)，應(yīng)充分考慮不同時(shí)期的預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律對(duì)其預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，從而提高徑流預(yù)報(bào)的精度。

2.3 適用性判斷

為了評(píng)判最大熵分布在官地水庫(kù)徑流預(yù)報(bào)誤差分布研究中的適用性，本文以整個(gè)徑流序列為例，將最大熵曲線(xiàn)與理論正態(tài)曲線(xiàn)的擬合效果進(jìn)行對(duì)比分析，分別采用判定系數(shù)(coefficient of determination，ηCOD)和均方根誤差(root mean square error，εRMSE)[13]以量化各曲線(xiàn)的擬合優(yōu)度，并分別計(jì)算不同預(yù)見(jiàn)期的最大熵曲線(xiàn)和理論正態(tài)曲線(xiàn)的熵值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。計(jì)算公式分別入下：

(21)

(22)

(23)

(24)

由表6可知，對(duì)于整個(gè)時(shí)期的徑流序列，預(yù)見(jiàn)期分別為6、12、18、24 h時(shí)，最大熵的熵值均比正態(tài)分布的小，表明由最大熵法確定的誤差分布曲線(xiàn)的不確定性更小；最大熵法的判定系數(shù)均比正態(tài)分布的大，而均方根誤差均比正態(tài)分布的小，表明最大熵法在擬合徑流預(yù)報(bào)誤差時(shí)效果更好，各個(gè)時(shí)期的最大熵曲線(xiàn)適用性判斷結(jié)果類(lèi)似。可見(jiàn)，最大熵法作為一種對(duì)未知分布進(jìn)行推斷的方法，其不確定性小，擬合效果比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的更好，說(shuō)明該方法在對(duì)徑流預(yù)報(bào)相對(duì)誤差分布的研究是合理可行的。

表6 最大熵分布和正態(tài)分布的適用性判斷表Tab.6 The applicability judgment table of maximum entropy distribution and normal distribution

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)最大熵模型對(duì)官地水庫(kù)2012年3月-2014年12月不同預(yù)見(jiàn)期的入庫(kù)徑流預(yù)報(bào)誤差系列進(jìn)行研究，結(jié)果表明最大熵法在擬合徑流預(yù)報(bào)誤差分布時(shí)，其熵值最小，擬合效果更好，適用性也更強(qiáng)；同時(shí)，考慮流域徑流年內(nèi)的豐枯變化，分別計(jì)算了不同預(yù)見(jiàn)期的整個(gè)時(shí)期、枯水期、汛期和過(guò)渡期的最大熵概率密度函數(shù)及其分布曲線(xiàn)，并給出不同置信區(qū)間下的置信度，其中預(yù)報(bào)誤差位于[-20%,20%]置信區(qū)間的置信度基本達(dá)到0.95以上，預(yù)報(bào)精度達(dá)到甲等，預(yù)報(bào)精度由高到低依次為汛期、過(guò)渡期、整個(gè)時(shí)期和枯水期，且各個(gè)時(shí)期預(yù)報(bào)誤差的不確定性均隨著預(yù)見(jiàn)期的增加而增大。但由于官地水庫(kù)現(xiàn)有的徑流系列較短，本文僅考慮按時(shí)期對(duì)徑流系列進(jìn)行劃分，待徑流系列的逐步延長(zhǎng)，可考慮按流量級(jí)別對(duì)其劃分，求出不同流量級(jí)別下的徑流預(yù)報(bào)誤差最大熵概率密度函數(shù)，探索不同流量級(jí)別的徑流預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律，從而更好的掌握徑流預(yù)報(bào)誤差的分布規(guī)律，更加合理的編制其發(fā)電計(jì)劃。

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