基于灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈的大壩變形監控模型及預報研究

何 啟，戴 波(1.河海大學 水利水電學院，南京 210098；2.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 210098)

1 研究背景

近些年建成或在建的大壩規模越來越大，如二灘、向家壩、錦屏一級、溪洛渡等[1]。因此，建立大壩安全自動化監測系統，分析變形規律及時進行預報至關重要。許多學者對此進行了研究：楊杰等[2]利用誤差逆傳播算法的BP神經網絡模型對大壩位移監測數據進行擬合及預報研究；何鮮峰等[3]對實測數據與確定性分量預測結果的殘差序列進行分析，把混沌分量預報模型和分形預測模型疊加構成混合預測模型；閆濱等[4]把單純形法嵌入遺傳算法并與神經網絡有機結合，構成遺傳單純形神經網絡算法模型；何政翔等[5]把模糊聚類和多元逐步回歸法進行結合對大壩變形資料進行分析并作出預報；此外還有多尺度小波分析的自回歸預測[6]，小波消噪與BP神經網絡[7]結合等預測方法。

大壩監測系統既含已知信息，又有確定、未確定的信息，因此可以把大壩看成一個灰色系統。灰色理論用于預測的模型主要是GM(1,1)，它可對時間短、數量少、波動性不大的數據序列建模，預測效果良好。BP神經網絡在較大量訓練樣本數據的基礎上才可以準確地反映非線性函數的映射關系，這在大壩蓄水初期是較難實現的。而馬爾可夫鏈預測理論是通過狀態之間的轉移概率來推測系統未來發展變化的，適用于數據隨機波動性較大的情況[8]。本文結合3者的優點，構建灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈預測模型，首先利用灰色神經網絡對少量樣本數據進行非線性擬合，揭示大壩水平位移的整體變化趨勢，然后將其相對誤差作為隨機波動數據序列，利用加權馬爾可夫鏈確定相對誤差的轉移概率來修正模型預測值，提高預測精度[9]。

2 灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈預測模型的構建

由于原始數據數量的有限性，數據本身的波動性和無序性，欲將灰色模型預測精度控制在一定范圍內比較困難。神經網絡需要大量數據才能取得良好的預測效果，故引入灰色理論構建灰色神經網絡模型可減少對樣本數量的依賴。雖然灰色神經網絡模型在小樣本數據預測中優于傳統GM模型，但一些預測值的相對誤差較大，難以滿足預測要求[10]，而馬氏鏈適用于數據波動性較大的預測問題。

2.1 GM(1，1)模型

記原始序列X(0)={x(0)(k1),x(0)(k2),…,x(0)(kn)}，x(0)≥0,k=1,2,3,…,n，X(1)為X(0)對原始數據作一次累加：

(1)

GM(1，1)模型為：

(3)

k=1,2,…,n

(4)

GM(1，1)模型預測值與實際值的相對誤差為：

(5)

式(5)反應的是擬合值與原始值的偏離程度。

2.2 灰色神經網絡模型

n個參數的灰色神經網絡模型的微分方程表達式為：

(6)

式中：y2,…,yn為系統輸入參數；y1為系統輸出參數；a,b1,b2,…,bn-1為微分方程系數。

式(9)的時間響應式為：

(7)

令：

式(10)可以作如下轉化：

(8)

將轉化后的公式用擴展的BP神經網絡進行映射得到n個輸入值、1個輸出值。網絡拓撲結構如下圖1所示。

圖1 灰色神經網絡拓撲結構Fig.1 Grey neural network topology

圖1中，t為輸入參數序號；y2(t),…,yn(t)為網絡輸入參數；ω21,ω22,…,ω2n，ω31,ω32,…,ω3n為網絡權值；y1為網絡預測值。

2.3 加權馬爾可夫鏈預測的基本步驟

根據實測資料建立訓練樣本，利用灰色神經網絡可擬合出一條非線性函數曲線，確定大壩變形的趨勢，然后利用馬爾可夫鏈的“無后效”性分析相對誤差的波動規律，修正預測值。對幾種傳統馬爾可夫鏈預測方法的對比研究表明:加權馬爾可夫鏈預測理論在數據序列隨機波動性較大的預測中精度最高[11]。

根據馬爾可夫鏈理論，首先計算灰色神經網絡模型ε(k)的轉移概率矩陣，然后對同一狀態下的概率進行加權求和，其最大值對應的狀態即為加權馬爾可夫鏈的預測狀態，并依此對灰色神經網絡模型結果進行修正[12]。具體步驟如下。

(2)按(1)所建立的分級標準，確定各擬合值相對誤差所對應的狀態。

(3)“馬氏性”檢驗。通常用χ2統計量來檢驗隨機離散序列的馬氏鏈。設所討論的序列包含m個可能的狀態，(fij)ij∈E代表狀態轉移頻數矩陣，將(fij)ij∈E的各列之和除以各行各列的總和得到“邊際概率”，記為：

(9)

(4)計算各階自相關系數。即:

(10)

式中：rk為第k階自相關系數；xl為第l時段的相對誤差；n表示相對誤差序列長度。

對各階相關系數規范化：

(11)

作為各種步長的馬爾可夫鏈的權重。

p(K)=(p(K)ij)ij∈E

(12)

(6)以離預測值最近的K個相對誤差值為初始狀態，根據其相應的轉移概率矩陣即可預測該時段相對誤差的狀態概率p(K)i,i∈E,K為步長，K=1,2,…,m。

(7)確定預測狀態。對同一狀態的各預測概率進行加權求和，得到相對誤差的轉移概率為：

(13)

max{pi,i∈E}所對應的狀態為該時段相對誤差的預測狀態。

(8)利用狀態特征值結合線性插值的方法對預測值進行推斷[13]， 先計算狀態特征值：

(14)

(15)

也可用上限法：

x)

(17)

(9)對后續時間預測，將前一時間預測值加入原序列中重新構置馬爾可夫鏈，重復步驟(1)～(8)可進行預測。

3 實例分析

某水電站大壩為碾壓混凝土重力壩，位于福建省境內，該工程除發電外，在防洪、航運、水產養殖等方面也發揮著效益。水電站建成后，是閩西南最大水電站，也是省網主要電源之一，可以擔任省網調峰、調頻任務，同時對增加網內有調節能力的水電比重發揮作用，改善了省網電源北重南輕布局。

3.1 預測因子的選擇與處理

為加快學習的速度，可對訓練樣本數據按如下公式進行歸一化處理：

X′=0.1+0.8 (X-Xmin)/(Xmax-Xmin)

(18)

式中：Xmax、Xmin分別表示每組樣本數據的最大、最小值。

3.2 灰色神經網絡的大壩變形預測結果

根據4號壩段PL7正垂線 方向(上下游方向為正)位移監測資料建立灰色神經網絡模型。選取蓄水初期2003年11月14日至2003年12月20日的實測數據作為訓練樣本用于擬合計算，共37組，取12月20-26日6組數據作為預測樣本，評價模型的預測性能。

根據原數據序列建立灰色神經網絡模型并運用Matlab程序訓練、預測，預測結果如表1所示。

表1 水平位移預測結果與實測值的相對誤差Tab.1 Prediction of horizontal displacement and the relative error of the measured value

從表1中可以看出，灰色神經網絡適應于小樣本預測，但某些相對誤差相對較大，因此可用加權馬爾科夫鏈理論對結果進行進一步修正。

3.3 加權馬爾可夫鏈擬合及預測結果

(2)根據狀態區間確定各擬合值相對誤差對應的狀態如表2中“5”縱欄所示。

表2 灰色神經網絡預測結果、相對誤差及狀態Tab.2 Grey neural network predicting, relative residuals and states

(3)不妨直接對37組相對誤差作馬氏性檢驗，根據步驟(5)和表2的資料可計算進一步狀態轉移頻數矩陣和一步轉移概率矩陣：

(4)根據步驟(4)計算各階自相關系數，如表3所示。

(5)根據步驟(5)計算相對誤差的K步狀態轉移概率矩陣p(K)：

表3 各階自相關系數和各種步長的馬爾可夫鏈權重Tab.3 The weights of Markov chain of various steps and various auto-relative coefficients

同理，將計算出的預測值加入原序列中重新構置馬爾可夫鏈，重復過程 (1)-(7)計算得2003年12月22日-2003年12月26日的預測值，相對誤差范圍為0.055%～1.625%，精度較高。本文又采用GM(1,1)模型進行對比預測，結果見表5和圖2。

表4 2003-12-21水平位移狀態預測Tab.4 Prediction of horizontal displacement state on 2003-12-21

表5 不同模型預測結果比較Tab.5 Comparison of the results of different prediction model

圖2 不同模型預測結果比較Fig.2 Comparison of the results of different prediction model

通過對比3種方法的預測結果，可知灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈模型的預測誤差顯著降低，實測值與預報值更為接近，預測精度優于其他兩種模型，為小樣本、波動性大的數據預測提供了新的方法參考。

4 結 語

本文針對蓄水初期階段大壩監測數據有限且波動性大的特點，結合灰色理論適應于小樣本、BP神經網絡高效準確擬合非線性函數、馬爾可夫鏈適應于波動性比較大數據的優點，建立了灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈模型。通過某碾壓混凝土壩4號壩段蓄水初期水平位移監測資料進行預測，結果表明該模型對小樣本、數據序列波動大進行預測精度較高。由本文還可得到如下結論。

(1)灰色神經網絡-加權馬爾可夫鏈模型不僅可對大壩變形進行短期高精度預報，隨著監測數據的增加也可為中長期預報提供理論方法。

(2)在完成一步預測后，將預測信息重新加入原模型進行下一步預測，可對資料數據進行動態更新，跟蹤大壩變形的發展變化趨勢，也提高了預測精度。

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