具有Leakage變時(shí)滯的脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性?

盧春閣，王林山

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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具有Leakage變時(shí)滯的脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性?

盧春閣，王林山

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

摘要：研究一類具有Leakage變時(shí)滯和不確定參數(shù)的脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。所研究模型中的Leakage時(shí)滯為變時(shí)滯，脈沖既與神經(jīng)元當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，又與Leakage時(shí)滯和傳輸時(shí)滯所產(chǎn)生的歷史狀態(tài)有關(guān)。利用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和線性矩陣不等式(LMI)方法獲得了系統(tǒng)魯棒指數(shù)穩(wěn)定的新的判別條件。最后給出一個(gè)實(shí)例說明結(jié)果的有效性和實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); Leakage時(shí)滯； 脈沖； 穩(wěn)定性

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan. Robust exponential stability of impulsive reaction-diffusion neural networks with leakage time-varying delay[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 146-150.

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳遞和信息處理中時(shí)滯效應(yīng)難以避免，且時(shí)滯可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)振蕩、失穩(wěn)甚至混沌[1]。 特別的，在實(shí)際問題中，時(shí)滯可能會(huì)存在于泄漏項(xiàng)(Leakage項(xiàng))中。Leakage時(shí)滯的研究正引起越來越多學(xué)者的興趣[2-5]。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，研究的Leakage時(shí)滯通常是常時(shí)滯，所采用的方法多為模型變換方法。有關(guān)Leakage變時(shí)滯的研究鮮見報(bào)導(dǎo)[4-5]。因此研究具有Leakage變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性是非常必要的。

另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常受到脈沖的影響——由切換現(xiàn)象、突然的噪聲等引起的瞬間突變，改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力行為，因此研究脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是必要的[6-8]。另外，當(dāng)電子在一個(gè)非均勻的電磁場中運(yùn)行時(shí)，擴(kuò)散現(xiàn)象不可避免[9-10]。因此本文利用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和LMI方法研究一類具有Leakage變時(shí)滯和不確定參數(shù)的脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。

1模型描述和預(yù)備知識(shí)

考慮如下脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

(A1)假設(shè)激活函數(shù)fj(v)連續(xù)有界,且對(duì)任意ζ1,ζ2∈R,ζ1≠ζ2,

其中l(wèi)j,Lj是可正、可負(fù)或?yàn)榱愕囊阎?shù)。

其中G1k(tk)∈Rn×n，i=1，2，3，k∈Rn×n。

(A3) 假設(shè)不確定參數(shù)表示為:

A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t),

C(t)=C+ΔC(t),Gik(t)=Gik+ΔGik(t),i=1,2,3,k∈N,

其中A,B,C和Gik為已知常數(shù)矩陣，ΔA(t),ΔB(t), ΔC(t)和ΔGik(t)為未知矩陣，表示系統(tǒng)中的參數(shù)不確定，且滿足

[ΔC(t)ΔA(t)ΔB(t)]=E1F1(t)[M1M2M3],

[ΔG1k(t)ΔG2k(t)ΔG3k(t)]=E2F2(t)[U1U2U3],

定義1系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)u*稱為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在標(biāo)量γ>0，δ>0，使得對(duì)κ>0，φ(t,x)∈PCb([-ρ,0]×X;Rn)，當(dāng)‖φ‖≤δ時(shí)，

‖u(t,x)-u*‖2<κe-γ(t-t0),t≥t0。

令y(t,x)=u(t,x)-u*, 則系統(tǒng)(1)改寫為

(2)

其中g(shù)(y(t,x))=f(u)-f(u*),φ(s,x)=φ(s,x)-u*。

顯然，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)u*為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的與系統(tǒng)(2)的零解為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的是等價(jià)的。

引理1[11]給定矩陣D,E和F滿足FTF≤I, 標(biāo)量ε>0, 則

DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE。

引理2[9]設(shè)u(t,x)是系統(tǒng)(1)的解, 則

其中E=(1,1,…,1)T。

2主要結(jié)論

(3)

(4)

其中

則系統(tǒng)(2)的零解是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

證明由式(4)成立，存在充分小的常數(shù)η>0,h>0,滿足

μ1+μ2e2ητ+μ3e2ησ<1,h<1-μ1-μ2e2ητ-μ3e2ησ,使得

(5)

令

則λ>0,q>1,eλΔmax

定義Lyapunov函數(shù)

V(t,y(t,x))=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx。

由條件(3), Schur補(bǔ)引理[12]及引理 1, 得到

-Π1+Π2<0,

其中

于是當(dāng)t=tk時(shí),

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx=

(6)

當(dāng)t≠tk時(shí),

∫X2e2η tyT(t,x)P[-C(t)y(t-σ(t),x)+A(t)g(y(t,x))+B(t)g(y(t-τ(t),x))]dx。

(7)

由格林公式和引理2, 有

-2e2η t∫XD·P(▽y°▽y)Edx≤0。

(8)

由假設(shè)(A1), 對(duì)于對(duì)角陣W1>0,W2>0，下列不等式成立:

∫Xe2η t[g(y(t,x))W1g(y(t,x))-

2yT(t,x)W1K1g(y(t,x))+

yT(t,x)W1K2y(t,x)]dx≤0。

(9)

∫Xe2η t[g(y(t-τ(t),x))W2g(y(t-τ(t),x)) -2yT(t-τ(t),x)W2K1g(y(t-τ(t),x))+

yT(t-τ(t),x)W2K2y(t-τ(t),x)]dx≤0。

(10)

令

W(t)=D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+

β(qV(t)-V(t-σ(t)))-λV(t),

設(shè)

ξT(t,x)=(yT(t,x),yT(t-τ(t),x),yT(t-σ(t),x),

gT(y(t,x)),gT(y(t-τ(t),x)))。

聯(lián)立(7)～(10), 則

W(t)≤∫Xe2η tξT(t,x)Ψξ(t,x)dx,

其中

Ψ=

Γ11=2ηP+αqP+βqP-W1K2-λP,Γ22=

-αe-2ηTP-W2K2。

由條件(5),Schur補(bǔ)引理[12]及引理 1, 可得Ψ<0。 因此W(t)<0, 于是

D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+β(qV(t)-V(t-

σ(t)))<λV(t),t≠tk。

(11)

令λ1=λmax(P),λ0=λmin(P)。 對(duì)任意ε>0,存在δ>0，使得qλ1δ2<λ0ε2。

下證當(dāng)‖φ‖<δ時(shí),

V(t)<λ0ε2,t≥t0-ρ。

(12)

首先當(dāng)t∈[t0-ρ,t0]時(shí),

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx≤

下證

V(t)<λ0ε2,t∈[t0,t1)。

(13)

即

D+V(t)

β[qV(t)-V(t-σ(t))]<λV(t),

從而

矛盾。所以(12)成立。

假設(shè)存在m∈N,V(t)<λ0ε2,t∈[t0-ρ,tm),下證

V(t)<λ0ε2,t∈[tm,tm+1)。

(14)

由(6),知

(15)

假設(shè)(14)不成立，則存在t*=inf{t∈(tm,tm+1):V(t)≥λ0ε2},V(t*)=λ0ε2。

‖y(t,x)‖2<εe-η t。

證畢。

注1定理1表明即使非脈沖系統(tǒng)本身不穩(wěn)定,當(dāng)選擇合適的脈沖控制時(shí),可以使系統(tǒng)魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

注2文獻(xiàn)[3]研究了具有Leakage時(shí)滯的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，但模型沒有考慮參數(shù)不確定性和反應(yīng)擴(kuò)散的影響，且Leakage時(shí)滯為常時(shí)滯。因此，本文結(jié)論有更廣泛的應(yīng)用。

注3如果不考慮反應(yīng)擴(kuò)散和Leakage時(shí)滯，即

D=0,σ(t)=0,G3k(t)=0,k∈N,t≥0,

則系統(tǒng)(1)是文獻(xiàn)[6-7]研究的模型。

3例子

考慮系統(tǒng)(1)滿足條件(A1)～(A3)的具有Leakage時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 其中

|x-1|,τ(t)=sint,σ(t)=cost, M1=M2=M3=0.1I, G1k=G2k=G3k=0.1I,k∈N, U1=U2=U3=0.1I, E1=E2=0.1I. 易知K1=I,K2=0. 取μ1=0.05,μ2=0.1,μ3=0.1,α=β=0.5, 則當(dāng)tk-tk-1≤Δmax=0.01時(shí)，執(zhí)行Matlab中的LMI工具箱，得到可行解：

由定理 1，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn) (0,0)T魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

4結(jié)語

本文運(yùn)用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和LMI方法給出了保證反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在脈沖擾動(dòng)下平衡點(diǎn)魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。所得判定條件以線性矩陣不等式形式給出，能夠有效利用MATLAB中的LMI工具箱求其可行解。最后給出實(shí)例說明本文結(jié)論的有效性。

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AMS Subject Classification：93D09

責(zé)任編輯陳呈超

Robust Exponential Stability of Impulsive Reaction-Diffusion Neural Networks with Leakage Time-Varying Delay

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan

(School of Mathematical Science, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Leakage delay, which exist in the negative feedback terms (known as forgetting or leakage terms) of the system, has great impact on the dynamical behavior of neural networks. It is of practical and theoretical importance to study the stability problem of impulsive neural networks with delays in the leakage term. This paper investigates the robust exponential stability of the equilibrium point of uncertain reaction-diffusion neural networks with time-varying delay in the leakage term under impulsive perturbations. The leakage delay of the system is time varying which has been rarely considered in the literature. Moreover, the encountered instantaneous perturbations depend on not only the current state of neurons at impulse times, but also the state of neurons in the history caused by leakage delay and transmission time delay. Different from model transformation technique, by using Lyapunov functions and Razumikhin techniques, some new robust exponential stability criteria are derived. The stability criterion is given in terms of a linear matrix inequality (LMI), which can be efficiently solved via LMI control toolbox in MATLAB. A numerical example is provided to illustrate the efficiency of the results at the end.

Key words:reaction-diffusion neural networks；leakage time delay；impulses；stability

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140152

中圖法分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)02-146-05

作者簡介：盧春閣(1976-)，女，講師。E-mail:chglu@126.com

收稿日期：2014-04-01；

修訂日期：2014-11-02

基金項(xiàng)目：?國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171374)；山東省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(ZR2011AZ001)資助

引用格式：盧春閣，王林山. 具有Leakage變時(shí)滯的脈沖反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2016, 46(2)： 146-150.

Supported by National Science Foundation of China (11171374); Key National Science Foundation of Shandong Province (ZR2011AZ001)