基于壓縮感知的圖像降噪處理研究

于海寧，江景濤，尚書旗

(青島農業大學 機電工程學院，山東 青島　266109)

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基于壓縮感知的圖像降噪處理研究

于海寧，江景濤，尚書旗

(青島農業大學 機電工程學院，山東 青島266109)

摘要：在農產品圖像的動態采集中，可能會出現粘結、疊加及背景干擾等一系列缺陷，同時稀疏采樣的圖像也可能是不完整的。對于這個棘手的問題，由壓縮感知理論可以找到答案。壓縮感知理論首先對采集的圖像進行稀疏表達，然后選取適合圖像的最優小波基，采用凸優化理論及其算法，可以得到花生圖像的特征點(降噪點)并進行處理，從而完成噪聲的去除。為此，在壓縮感知理論的基礎上，提出了運用快速迭代閾值收縮(FISTA)算法進行去噪處理，與其他的圖像降噪方法相比，體現了速度快、效率高、去噪效果好等優勢。

關鍵詞：花生；壓縮感知；降噪；重構算法

0引言

圖像處理技術逐步成為農產品檢測的重要工具，并取得了可喜的成果。圖像去噪問題是圖像處理的重中之重，以前的圖像去噪技術只是在空間域或頻域的對圖像進行特定分析,在去除圖像噪聲時給圖像的邊緣可能帶來損傷，使處理后的圖像邊緣變得模糊不清。小波變換具有良好的局部分析能力，在去噪的時候可以能保持圖像邊緣部分，但圖像的某些具體的紋理部分去噪效果不好。所以，研究出一種速率快、質量高、效果好的去噪方法已迫在眉睫。

近年來,壓縮感知[1]CS(Compressed Sensing)理論的研究深受科研者的追捧，并取得了一定的成就。壓縮感知超越了經典的奈奎斯特定理，提出了對采樣獲得的稀疏信號同時進行采樣與壓縮的計算理論，大大縮短了計算時間。其定義指出：假設信號在某個變換域是可壓縮(稀疏)的，便可以通過某個觀測矩陣，將信號在變換域從高維映射到低維空間上；然后提取極少量的投影信息來進行重構，最終得到一個近似度很高的原始重構信號[2]。

在實際的農產品動態圖像采集中，采集到的圖像一般都受到疊加、粘結等不同程度噪聲污染，使得這種信號不是理論上規定的稀疏信號，但在某種程度上仍為可壓縮信號。在已研究出的壓縮感知理論中，要求重構的信號在特定變換域中具有稀疏性，但噪聲的加入在一定程度上干擾了信號的稀疏度。因此，在運用最優化方法進行重構計算時，若對含噪信號進行簡單的稀疏性約束，會使重構精度存在一定的誤差[3]。此時，可采用壓縮感知中的凸優化理論的恢復信號算法進行去噪。這一方法的關鍵在于選取適合花生圖像的最優小波基，得到花生圖像的特征點，然后進行噪聲的去除，得到完好的圖像。

1壓縮感知原理

1.1理論基礎

2004年，Candes[4]和Donoho等人利用泛函分析和逼近論原理，在稀疏理論基礎上，提出了一種新型的信號恢復計算理論—壓縮感知理論。其含義是：當信號具有一定的稀疏度(可壓縮)時，選取某個線性測量矩陣將高維稀疏信號投影于低維區域，利用極少數的投影的測量值，進行最優化問題的計算，最后完成對原始信號的恢復。壓縮感知理論研究主要包括稀疏信號的變換與分解、測量矩陣的選擇和重構信號的算法等3個方面。稀疏分解是應用壓縮感知的前提條件，測量矩陣是壓縮感知的關鍵步驟，重構算法是獲取最終重構結果的有力手段。

1.2稀疏分解

壓縮感知的依據是壓縮信號。設定x為一個特定長度的稀疏信號，x被認為在Rn上的N×1列向量，元素x[n]，n= 1，2，…，N。存在正交基變換函數Ψ，使得信號x進行變換時可表示為

(1)

式中s—x在正交基Ψ上的投影向量。

若信號x的非零向量的數量少得可以忽略，換言之，非零向量的數目K<

y=Φx=ΦΨs=Θs

(2)

式中Θ—CS算子或者叫感應矩陣。

本文以花生仁圖像為例，采用離散小波化進行計算，就是說運用二維離散小波化理論對花生仁圖像進行小波變換，在其水平和垂直方向分別分解為高頻子帶和低頻子帶，使其滿足圖像處理的需要。小波變換[4]的定義為

(3)

其中，a為收縮因子；b為移動因子；ψ(x)為小波基函數，如圖1所示。

圖1　小波基函數

在實際理論計算過程中，離散小波化是很重要的。離散化其連續變換的伸縮因子a和移動因子b進而得到離散化小波變換(見圖2)的定義為

(4)

在對稱性、正交性的小波基選擇的前提下，采用規則性系數相近理論[5]，通過恰當的濾波器函數進行計算，可以獲得最佳的小波基函數。

1.3測量矩陣

壓縮感知的測量就是給原稀疏信號的采樣和壓縮在同一時間進行處理的過程。 采樣是將信號x映射到測量矩陣Φ上,其具有與變換域不相關性；壓縮是信號由高維到低維完成映射的過程[6]。其中，測量矩陣Φ需必須符合限制等距的準則(RIP),即

(5)

其中，常數ε∈(0,1)。

本文針對于花生圖像，采用高斯測量矩陣。這是因為它與任何稀疏信號都不相關，且完全符合RIP，并能大大提高處理的速度與精度。但是，假使混有噪聲因素，那么得到觀測向量為

y=Θs+e

(6)

圖2　小波變換

其中，e為噪聲信號。

1.4重構算法

重建信號是由極少數的非自適應的稀疏信號完成的，它是嚴格的根據最優化問題，則

min‖s‖0s.t·Y=φΨs=Θs

(7)

式中‖·‖0—l0范數；

S—重構的信號的稀疏度；

Y—測量信號。

若信號混有了大量的噪聲，當噪聲方差確定為固定值時，求解以下方程的最優化問題，即

(8)

其中，ε為噪聲信號的方差的數值。

信號的重建(見圖3)是從投影得的測量信號y恢復原稀疏信號x,但式(2)和式(6)有無數個解，是一個NP欠定問題，不能直接重構信號。若式(2)和式(6)中的Θ是稀疏的，那么可以通過求解式(7)和式(8)得到稀疏系數，代入式(1)進行重構計算獲得原始信號x[7]。這一重要的轉變使其演變成了凸優化理論問題，可以在線性規劃中找到答案。

2凸優化理論

(9)

一般的凸優化理論計算步驟如下：

2)不等式限制。gj(x)≤0。其中，gj(x)是一個凸函數。

3)等式限制。hk(x)=0。其中，hk是一對仿射。

凸優化理論的數學建模可以表示為minf(x)。

s.t.gj(x≤0)(i=1,2,...,Nje)

hk(x)=0(k=1,2,...,Ne)

與其他數學優化算法理論相比，凸優化理論存在一個局部最小點，所有的最小值是凸的，且若有函數有一個最小值，則最小值必唯一等優點，也具有了一些比較成熟的算法。

圖3　壓縮感知重構信號圖

3快速迭代閾值收縮算法(FISTA)

對于稀疏采樣得到少量信號，將會在變換域中提取少量的投影進行信號的重構，那么最優化線性問題可以轉化為

Ax=b+w

(10)

其中，A∈Rm×n和b∈Rm都是給定已知的；w是一個不確定的噪聲向量。

上述的問題經典算法是在最小二乘算法(LS)基礎上，進行獲取最優解的計算。但在一般情況下，LS的解決方案會有巨大的范數，因此作用甚微。為了解決這個困難，l1正則化[9]方法的穩定性可以解決，并得到了科研者的追捧，其目的是求解，則

(11)

其中，‖x‖1代表x分量的絕對值的和，l1導出最優解的稀疏性。在圖像去噪中，A=RW。其中，R為模糊矩陣，W為小波基。

在許多實踐應用中，大量的決定性變量及稠密的矩陣數據，妨礙了適用內點法的種種優勢，對于這種問題，解決式(11)的流行方法之一是迭代閾值收縮(ISTA)算法[10]。

xk+1=Γλtk[xk-2tkAT(Axk-b)]

(12)

其中，tk是一個合適的步長；Γα:R→Rn為收縮子。其定義為

(13)

對于一般的ISTA模型，延伸到普通問題式(11)上，則有

(14)

其中，g:Rn→R是一個粗糙的、連續的凸函數，f:Rn→R是一個凸函數的梯度。此時，若存在一個常數L，其滿足

‖Δf(x)-f(g)‖≤L(x)‖x-y‖x,y∈Rn

(15)

xk+1=proxtk(g)[xk-tkf(xk)]

(16)

(17)

因此，ISTA的簡單性取決于計算感應的能力。當g(x):=λ‖x‖1，那么此操作和軟閾值相同，便于計算；當g為全變差函數時，則prox計算基于全變分問題[11]；當g(·)是可以分離時，prox計算可簡化為一個一維的最小化問題。在以上種種情況下，ISTA的收斂速率都不會超過O(1/k)。ISTA的每一步迭代是一個梯度的平滑收縮的操作，其優點就是簡單性，然而在全局收斂速度還是比較緩慢的。基于函數測量值的全局性和測量方法的有效性，提出了快速迭代閾值收縮算法(FISTA)[12]。其求解的一般問題是

(18)

這里f和g都是凸函數。該算法收斂到目標函數值時是非常快速的，速率為O(1/k2),其與ISTA一樣滿足計算的簡單性和需求性要求，但是速率卻提高了不少。

快速迭代閾值收縮(FISTA)算法之所以提高收斂速率，使其速率可以達到O(1/k2)，是因為在求解式(16)問題時不是在每次迭代中都需要多個梯度評估，只是在前兩步迭代中計算一個選擇性的線性組合進行求解，那么此時需要確定FISTA 的步長。

FISTA特定步長確定如下：

輸入L=L(f)-A

步驟1y1=x0∈Rn,t1=1

步驟k(k≥1) 。

計算得

FISTA的不同之處在于：迭代收縮步驟yk+1的求解未使用先前的一點xk-1，而是用具體的前兩個點(xk-1,xk)線性組合的特定點yk，ISTA和FISTA的主計算量仍然是相同的，但速度提高了很多。

4實驗結果及分析

本實驗以魯花11號花生為代表，對花生圖像添加噪聲均值為0、方差為0.02的白噪聲，采用7.1aMATLAB,lenovoWin7PC,i3處理器，2.1GHZ,2GB內存計算機及其設備進行處理，運用當前比較流行的基于小波理論(WT)[13]、偏微分方程(PDE)理論[14]、多尺度總變分(MTV)理論[15]、基于壓縮感知的正交匹配追蹤(OMP)理論[16]、平行坐標下降算法(PCD)理論[17]及快速迭代閾值收縮(FISTA)去噪理論，分別對花生仁圖像進行去噪處理，得到的不同實驗對比結果如圖4～圖11所示。

圖4　原始圖像

圖5　噪聲圖像

圖6　WT算法

圖7　PDE算法

圖8　MTV算法

圖9　OMP算法

圖10　PCD算法

圖11　FISTA算法

從上面的圖像結果可以看出：這些去噪算法都在一定程度上消除了圖像的噪聲，但部分圖像的連續性和邊緣性的效果不佳。這些去噪算法所用的時間及其降噪后圖像的峰值信噪比如表1所示。

表1　不同去噪方法的處理結果

通過不同去噪算法的峰值信噪比、處理時間的對照，可以看出：FISTA的去噪效果是最好的，不但信噪比的數值較高，而且運行時間很短，大大加快了圖像處理的速度，提高了整體運算效率。

5結論

1)在花生圖像的壓縮感知的稀疏表達分解中，合適的小波基的選擇是至關重要的，因其具有良好的局部性，對花生圖像處理的邊緣及特征提取影響很大，并直接影響圖像的質量。

2)在壓縮感知的測量矩陣中，采用高斯測量矩陣，確保了其完全符合RIP準則，與任何變換域的信號都不會具有相關性，并奠定了信號重構的基礎。

3)在圖像重構算法上，其原則是利用極少數測量投影信號快速、精確地重建原始信號。對于花生圖像，使用快速迭代閾值收縮(FISTA)算法，可以在3s內迭代40次，并迅速得到清晰的重構圖像，效果顯著，紋理圖像清晰明朗，去噪效果理想。

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Abstract ID:1003-188X(2016)02-0012-EA

Image Denoising Method Based on Compressed Sensing Theory

Yu Haining， Jiang Jingtao， Shang Shuqi

(Mechanical and Electrical Engineering, Qingdao Agricultural University, Qingdao 266109, China)

Abstract：In the Agricultural images obtained by the dynamic acquisition, there exist many defects such as bonding, superposition and the background interference. In addition, the image obtained from the sparse sampling of the peanut is not complete. All above problems can be solved by the compressed sensing theory. First, compressed sensing theory have a sparse expression for the capture picture, and then select the best wavelet basis for peanuts image, the use of convex optimization theory and algorithms can get the feature points (noise points) of peanut image. Finally, the image noise can be removed completely. Experiments show that the compressed sensing theory in the process of peanut image denoising possesses many excellent properties such as high efficiency, better denoising result and other advantages compared with the traditional methods of image denoising.

Key words：peanut; compressed sensing; noise reduction; reconstruction algorithm

文章編號：1003-188X(2016)02-0012-05

中圖分類號：S126；TP391.41

文獻標識碼：A

作者簡介：于海寧(1988-)，男，山東威海人，碩士研究生，(E-mail)yuhaining007@163.com。通訊作者：江景濤(1963-)，女，山東青島人，教授，碩士生導師，(E-mail)jjtao_2518@163.com。

基金項目：國家公益性行業(農業)科研專項(201203028.1)

收稿日期：2015-01-26