加權馬爾科夫鏈模型在農業灌溉用水預測中的應用研究

王 鑫 東

(遼寧省江河流域管理局，沈陽 110003)

0 引 言

當前，水資源日趨緊張，對于區域水資源供需平衡而言，農業灌溉用水占據較為重要的比重。目前，在最嚴格的水資源管理制度下，需要對農業灌溉用水進行規劃和設計，保證水資源的可持續利用。而合理規劃農業灌溉用水的前提是需要對灌溉用水進行預測，在預測的基礎上進行合理規劃。對于農業灌溉用水預測，主要分為兩種方式，一種是基于長系列的數據進行統計分析，第二種是采用數學模型方法進行預測分析，第一種方法由于區域灌溉用水數據較少，在區域農業灌溉用水預測研究較少。第二種方法由于較為明晰的數學原理，被國內學者運用于農業灌溉用水預測的研究中，并取得一定研究成果[1-5]，但在這些模型中，運用加權馬爾科夫鏈模型進行農業灌溉用水預測進行研究較少，而加權馬爾科夫鏈模型可考慮中間過程狀態的影響，在水資源其他領域得到一定程度運用，效果較好[6-8]，為此，本文引入加權馬爾科夫鏈模型，對農業灌區灌溉用水進行預測和分析，研究成果可對區域農業灌溉用水預測提供參考價值。

1 加權馬爾科夫鏈模型原理

加權馬爾科夫鏈先計算一組隨機變量序列{x,t∈T}為隨機生成的一組隨機序列，在隨機序列中：

{T={0,1,2,…,K}

(1)

對于任意時間變量t≥0以及隨機變量的狀態值j,i0,i1,i2,i3,…,it-1,it∈E。都代表

P={Xt+1=j|X0=i0,X1=i1,…,Xi=it}

(2)

則表示{x,t,∈T}為馬爾科夫鏈。通過馬爾科夫鏈的表達式可以看出，馬爾科夫鏈表示的系統含義是t+s時刻變量的一個狀態值只和前個t時刻的狀態相關，而和t時刻以前的狀態無任何關聯。

傳統的馬爾科夫鏈未能考慮各個變量因子之間的權重系數，在收斂計算時存在收斂異常的情況。為此本文引入改進的馬爾科夫鏈，改進的馬爾科夫鏈主要是通過建立各個因子不同的轉移概率權重，利用標準化的各因子的自相關系數作為轉移概率權重，將變量的某一個時刻的狀態轉移概率進行加權，以加權后的概率作為變量在某個時刻的預測值。從而預測該變量標準化因子所處在的變量值。改進的馬爾科夫鏈變量的徑流預測的主要步驟為：

(1)通過建立各個變量因子的不同等級的標準以及各因子變化轉移的概率系數。采用標準方差法進行不同等級的標準化。通過這種方法來確定徑流預測不同時刻的狀態值。因為需要計算不同等級下的各因子的變化轉移的權重系數。需要對各個因子的概率權重系數進行相關計算。

(2)各因子不同相關系數及標準。通過對各個影響因子進行相關系數的計算，相關系數計算公式為：

(3)

對各個變量因子進行標準化處理，標準化處理公式為：

(4)

式中：m代表的物理意義為模型預測計算的最大因子數。

(3)結合前面兩個步驟中不同時刻的計算值作為初始的狀態值，對應各個變量的轉移概率加權權重系數，可以推算出下個時刻不同的狀態變量值，其中K表示的模型計算時段的步長(本文選用年、月)兩個時間步長。

(4)將處在同一個時間變量的狀態預測值和各個因子的權重進行疊加計算，可以表示某個變量在該狀態下的概率預測值，表達式為：

(5)

該時刻的計算最大概率值表示預測時刻對應下的狀態值。

(5)基于模糊數學的理論，將各個狀態變量不同權重系數可以得到各因子的權重矩陣wi，則可以得到年徑流的預測值，表達式為：

(6)

式中：T和B分別表示的變量狀態的上下邊界。

(6)結合改進的馬爾科夫鏈的游歷和方程穩定的特點，可以計算不同狀態的變量概率值。

2 模擬結果分析

2.1 年灌溉水量預測結果對比分析

基于加權前后的馬爾科夫鏈模型對遼寧某灌區2000-2010年農業灌溉用水進行預測，并和調查區域灌溉水量進行對比分析。模擬結果見表1和圖1。

表1 加權前后馬爾科夫鏈模型模擬在區域年農業灌溉用水預測精度對比Tab.1 The comparative simulation irrigations between the improved Markov chain model and Markov chain model in the year scale

圖1 加權前后馬爾科夫鏈模型的農業灌溉用水預測與調查灌溉水量年相關圖Fig.1 The compares of the forecast accuracy by Improved Markov chain model and Markov chain model in the year scale

從表1中可以看出，加權后的馬爾科夫鏈模型模擬的灌區2000-2010年灌溉用水預測值和調查的灌溉用水預測值相對誤差在-6.74%～9.80%之間，相對誤差的均值為7.83%，而傳統馬爾科夫鏈模型預測值和調查的灌溉用水量之間的相對誤差在9.85%～15.73%之間，相對誤差均值為13.6%，可見，加權后的馬爾科夫鏈模型農業灌溉用水預測精度較好，明顯好于未加權的馬爾科夫鏈模型，加權后的馬爾科夫鏈模型預測相對誤差小于10%，具有較好的精度。從圖1中可以看出，加權后的馬爾科夫鏈模型農業灌溉用水值和調查值具有較好的相關系數，相關系數達到0.7以上，綜上，可見，加權后的馬爾科夫鏈模型可用于區域農業灌溉用水預測。

2.2 月農業灌溉水量預測結果對比分析

農業灌溉用水在各個月份的值均不同，為此，基于加權前后的馬爾科夫鏈模型分別對遼寧某灌區2000-2010年農業灌溉用水進行預測，并和調查區域灌溉水量進行對比分析。模擬結果見表2和圖2。

表2 加權前后馬爾科夫鏈模型模擬在區域年農業灌溉用水預測精度對比Tab.2 The comparative simulation irrigations between the improved Markov chain model and Markov chain model in the month scale

圖2 加權前后馬爾科夫鏈模型的農業灌溉用水預測與調查灌溉水量月相關圖Fig.2 The compares of the forecast accuracy by Improved Markov chain model and Markov chain model in the month scale

從表2中可以看出，加權后的馬爾科夫鏈模型模擬的灌區2000-2010年月尺度灌溉用水預測值和調查的灌溉用水預測值相對誤差在-14.02%～24.07%之間，相對誤差的均值為17.9%，而傳統馬爾科夫鏈模型預測值和調查的灌溉用水量之間的相對誤差在-22.92%～38.24%之間，相對誤差均值為30.1%，可見，加權后的馬爾科夫鏈模型月尺度農業灌溉用水預測精度明顯好于未加權的馬爾科夫鏈模型，但是在月尺度上，加權后的馬爾科夫鏈模型預測相對誤差明顯高于年尺度模擬的相對誤差，這主要是因為區域灌溉水量主要為調查數據，月尺度調查數據的精度低于年尺度調查精度，因此預測相對誤差較大。從圖2中可以看出，在月尺度上，加權后的馬爾科夫鏈模型農業灌溉用水值和調查值具有較好的相關系數，相關系數達到0.86以上，好于年尺度相關系數，這就是因為，加權后的馬爾科夫鏈模型可考慮中間過程，因此在月尺度上的相關系數較好。

3 結 語

本文應用加權的馬爾科夫鏈模型進行農業灌溉用水進行預測，并和傳統馬爾科夫鏈模型預測結果進行對比，研究取得以下結論。

(1)加權的馬爾科夫鏈模型可用于區域農業灌溉用水預測，在年尺度和月尺度模擬精度符合規范要求，預測精度好于傳統馬爾科夫鏈模型。

(2)加權的馬爾科夫鏈模型可考慮變量中間過程的狀態，因此，在月尺度預測的灌溉用水和調查灌溉水量相關系數好于年尺度預測的相關系數。

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