基于BP神經網絡的軌道不平順與車體振動關聯模型

牛留斌

(中國鐵道科學研究院 基礎設施檢測研究所，北京　100081)

軌道不平順是指軌道的幾何形狀、尺寸、空間位置相對其正常狀態的偏差，按照激擾方向的不同可以將其分為軌向、高低、三角坑、水平等。軌道不平順是引起機車車輛振動、軌道結構變化等問題的主要來源。車體振動加速度一方面反映了車輛對軌道不平順的響應，是車輛運行品質的一種量度，另一方面也客觀反映了軌道不平順的狀態。因此，研究軌道不平順與車輛振動之間的關聯關系具有很強的工程意義，比如利用車體振動加速度與軌道不平順在空間頻域上的相干性分析，可確定引起車輛振動主要來源的軌道不平順不利波長的分布。

在軌道不平順與車體振動加速度關聯關系的研究中，有的先建立車輛—軌道振動模型，后輸入軌道不平順數據，以研究模型輸出(車體振動加速度)與輸入之間的關系，如陳果[1]等利用車輛—軌道垂橫耦合模型研究了軌道不平順對車輛—軌道耦合系統橫向隨機振動的影響；也有的采用時間序列方法、系統辨識理論等建立軌道不平順與車體振動加速度之間的關系，如Atsushi Furukawa[2-3]等利用空間狀態方法建立了軌道不平順與車體振動加速度之間的關聯模型。在以上關聯模型中，均對模型的輸入輸出進行了線性化近似處理，在速度變化不大的條件下，模型能很好地表征輸入與輸出之間的關系。但由于車體振動也與車輛的運行速度有關，而上述關聯模型均未將車輛運行速度當作1個輸入變量，因此在車輛運行速度波動較大的情況下，這些模型很難再準確地表征輸入與輸出之間的傳遞關系。

本文以軌道不平順和車輛運行速度為輸入，車體振動加速度為輸出，采用多層前饋神經網絡(Back Propagation Neural Network ,BP)和主成分分析 (Principal components analysis,PCA) 法相結合的方法構建軌道不平順與車體振動之間的關聯模型(簡稱BP神經網絡關聯模型)，并利用實測數據驗證模型的正確性和適用性。

1　BP神經網絡關聯模型

首先，采用譜分析方法得出車體振動加速度在空間頻域上的分布，根據車體振動主要能量分布頻段確定BP神經網絡關聯模型的適用范圍。其次，根據車體振動加速度與軌道不平順在空間頻域上的相干函數分布特征，選擇與車體振動有較強相干特性的軌道不平順作為模型的部分輸入，并選擇適當的延遲步解決BP神經網絡關聯模型中輸入與輸出變量不同步的問題。最后，在用成分分析法(PCA)降低模型輸入維數的基礎上構建3層BP神經網絡關聯模型。

1.1　車體振動加速度功率譜分布及相干性分析

經研究表明[4]，大多數軌道不平順數據具有平穩或弱平穩特性，可將軌道不平順按平穩隨機過程處理。本文采用平均周期圖法[5-6](Welch譜分析方法)得到車體振動加速度功率譜，據此確定車體振動能量主要集中的頻段，然后在這些頻段內再進行車體振動與軌道不平順之間的相干性分析。為了減少功率譜密度能量的泄露，需對Welch譜分析方法得到的數據進行加窗處理，如加漢明窗(Hamming窗)。

不同類型的軌道不平順數據對車體振動的貢獻是不一樣的，為構建BP神經網絡關聯模型，應選擇引起車體振動的主要因素，也就是選取與車體振動相干特性強的軌道不平順作為輸入。相干函數是衡量2個隨機振動信號在頻域內相關程度的指標，用于評價輸入與輸出的因果關系，是輸入輸出相干特性的量度。它的取值在0～1.00之間，當輸入與輸出之間相干函數的值越接近1.00，說明兩者的依賴性越強。一般認為相干函數的值大于0.80時，輸入輸出之間存在較強的因果聯系。相干函數CYX(ω)的表達式為

(1)

式中：Y為由車體振動垂向加速度和橫向加速度組成的二維向量;X為軌道不平順組成的多維向量矩陣;ω為空間頻率,m-1;GYX(ω)為輸入與輸出的互功率譜密度；GXX(ω)和GYY(ω)分別為輸入和輸出的自功率譜密度。

1.2　主成分分析

軌道不平順與車體振動響應之間在時域上不同步，在用實測數據訓練BP神經網絡關聯模型時，假定輸入與輸出變量之間存在M個時間延遲步，形成多步輸入對應1步輸出的映射關系，即認為t時刻的車體振動加速度Y(t)是由t，t-1， …，t-M+1時刻的軌道不平順及車輛運行速度矩陣Xv(t),Xv(t-1)， …，Xv(t-M+1)引起的，此時BP神經網絡關聯模型輸入變量的維數為M×N。選擇相干性較強的軌道不平順作為模型輸入時，兼顧軌道不平順與車體振動之間的傳遞特性及模型計算規模，時間延遲步M建議取5，6，…，10。

由于在模型中考慮了輸入與輸出之間的時間延遲步，這在某種程度上使輸入數據包含的信息有所重疊。為了簡化模型且減少計算量，本文通過PCA法解析出多維輸入的主要影響因素，在盡可能包含原有數據信息的基礎上，用少數不相關的綜合變量替代原來較多的輸入變量，以達到降維的目的[7]。PCA法分析步驟如下。

1)初始變量的標準化

(2)

不同維數輸入變量的數值范圍、量綱均不相同，將各維輸入變量進行標準化轉換，得到標準化向量序列矩陣X*為

(3)

式中：E和D分別為求均值、求方差計算符號；E(xvj)，D(xvj)分別為矩陣Xv第j列向量的均值、方差。

2) 標準化向量的協方差矩陣

記標準化向量序列矩陣X*的協方差矩陣S為

(4)

利用雅克比法求出協方差矩陣S的n個特征值λ和特征向量u，并按照降序排列。

3)主成分及貢獻率

將協方差矩陣S的特征向量u歸一化為單位特征向量e，則

(5)

式中：h為協方差矩陣S的個數，h=1，2，…，p，…，n；uh是協方差矩陣S的第h個特征向量；‖uh‖為uh的模。

利用協方差矩陣S的特征值及單位特征向量得到主成分向量Z為

(6)

(7)

選取主成分累計貢獻率Cr滿足一定條件時(比如Cr不小于95%)，由式(7)反求出p值，則BP神經網絡關聯模型的輸入矩陣由Xv變為Zp，輸入的列數也由(M+1)×N列降低到p列。

1.3　BP神經網絡關聯模型

BP神經網絡是一種多層前饋神經網絡，其拓撲結構包括輸入層、隱含層和輸出層，可以具有多個隱含層。采用3層BP神經網絡構建車體振動與軌道不平順之間的關聯模型，利用m組實測數據訓練網絡模型的權值W和偏差值B時，模型輸入變量ZP為m行p列的矩陣，模型輸入層、隱含層和輸出層神經元的個數分別為s1,s2和s3；各層激活函數分別為f1,f2,f3；各層初始權值為W0=(w1，w2，w3)；初始偏差值B0=(b1，b2，b3)，神經網絡經過第1次正向傳遞后的模型輸出Y1為

Y1=f3(w3f2(w2f1(w1Zp+b1)+b2)+b3)

(8)

輸出誤差f(W,B)是網絡模型的輸出Y1與實測車體振動Y之差的平方和，是權值W和偏差值B的函數，有

(9)

式中：k為訓練模型所用數據的長度，k=1，2，…，m。

模型訓練的目的是使輸出誤差f(W,B)小于允許的目標誤差。當輸出誤差函數的值大于目標誤差時，BP神經網絡將輸出誤差反向傳輸給輸入層，并在相對于誤差函數斜率下降的方向上調整各層神經元的權值和偏差值。網絡再在新的權值和偏差值基礎上進行新一輪網絡訓練，并計算新的輸出誤差。如果新的輸出誤差小于目標誤差或者達到規定的訓練次數時，神經網絡訓練停止，模型輸出為Yu。否則，神經網絡將再次根據輸出誤差修改各層神經單元權值和偏差值，進行新一輪模型訓練，直至滿足模型輸出誤差f(W,B)小于目標誤差或者達到規定的訓練次數為止。BP神經網絡激活函數、訓練次數等參數的選擇可參考文獻[8—9]。

經用實測數據訓練后，可獲得各層神經元的權值W和偏差值B。由于各層神經元初始的權值W0和偏差值B0是系統隨機選取的，這些隨機選取的值對關聯模型預測效果是有影響的。為消除這種影響，本文所用BP神經網絡關聯模型的網絡權值W和偏差值B為經過多次訓練后的神經網絡關聯模型權值和偏差值的均值。

2　相關系數和模型殘差

為驗證關聯模型輸入與輸出之間關系的準確程度，除了可以通過對比關聯模型的輸出數據與實測數據的波形外，還可以通過相關系數R衡量兩者的線性相關程度。

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(10)

式中：L為模型驗證時實測數據的個數，L=1，2，…，T；YL為第L個實測的車體振動數據；YuL為關聯模型第L個輸出數據；E(Y)和E(Yu)分別為實測車體振動數據和關聯模型輸出數據的均值。

當相關系數R大于0.80時，認為模型輸出和實測數據之間存在很強的線性相關性。

BP神經網絡關聯模型的輸出與實測數據之間的差值蘊含了所建模型是否合理可靠的信息，是驗證模型是否合適的一個量度。模型殘差re為實測數據Y與模型輸出Yu之間的差值組成的系列，即

re=Y-Yu

(11)

按照文獻[10-11]，如果模型能夠準確辨識輸入與輸出間的關聯關系，模型殘差應服從均值為零的正態分布，即re～N(0,σ2)。方差σ2為模型殘差偏離均值距離的平均數，反映了殘差的離散程度。σ越小，說明殘差偏離均值的程度越小，實測數據Y與模型輸出Yu的值越接近。驗證數據服從正態分布的方法有圖示法、統計等多種方法，本文采用正態概率圖法來直觀驗證模型的殘差re服從正態分布。

3　實測數據驗證

利用高速綜合檢測列車CRH380BJ-0301(簡稱0301車)和軌道檢查車SY998799(簡稱799車)的實測數據驗證BP神經網絡關聯模型的合理性和適用性。數據采樣間隔距離為0.25 m，軌道不平順數據的有效檢測波長為2～150 m。數據預處理時已濾除了軌道不平順數據中波長小于2 m和大于150 m的波長成分。車輛的運行速度分別為200和95 km·h-1。

實測數據分為訓練數據和驗證數據2個獨立的部分。訓練數據用于訓練BP神經網絡關聯模型，數據量m為10 000組，訓練方法如前文所述步驟；驗證數據用于分析驗證所建BP神經網絡關聯模型的有效性，數據量T為8 000組，驗證方法是將該部分實測軌道不平順數據、車輛運行速度作為BP神經網絡關聯模型的輸入，計算模型輸出Yu，并將Yu與實測車體振動數據Y進行比較。

圖1　車體振動加速度功率譜密度

由圖1可見：799車的車體垂向和橫向振動能量均主要集中分布在空間頻域0.01～0.10 m-1范圍內；0301車的車體垂向振動能量主要集中分布在空間頻域0.005～0.040 m-1范圍內，而車體橫向振動能量主要集中分布在空間頻域0.005～0.050 m-1范圍內；799車在空間頻率0.36 m-1處振動能量偏大，空間波長約為2.78 m，這是799車的車輪輪頻振動成分對應的車輪周長，而0301車在該空間頻段內的振動能量不大。

由式(1)得到不同軌道不平順與車體振動的相干函數曲線如圖2所示。

圖2　軌道不平順與車體振動的相干函數曲線

從圖2中可見：在車體振動主要能量分布的頻域內，車體垂向振動與高低、長波高低軌道不平順的相干特性較強；車體橫向振動與軌向、長波軌向軌道不平順的相干特性較強。

由于高低、長波高低軌道不平順與車體垂向振動之間的傳遞關系近乎線性，在關聯模型時3層神經網絡中的激活函數至少有1個應是線性的。而軌向、長波軌向軌道不平順與車體橫向振動之間的傳遞關系顯示出較強的非線性，此時3層神經網絡中的激活函數應具有非線性傳遞特性。

本文主成分分析時選擇的列數p應滿足累計貢獻率Cr不小于99%的要求。在構建關聯模型時，799車數據關聯模型選擇了6個時間延遲步，3層神經元個數分別為60，80和1個；0301車數據關聯模型選擇了10個時間延遲步，3層神經元的個數分別為45，80和1個。利用實測軌道不平順和車輛運行速度數據，由關聯模型計算模型輸出數據Yu，并與實測車體振動加速度數據Y對比，如圖3和圖4所示。由式(10)得到，799車車體垂向、橫向振動加速度的實測數據與模型輸出之間的相關系數分別為0.85，0.87；0301車車體垂向、橫向振動加速度與模型輸出之間的相關系數分別為0.81，0.85。

圖3　799車的模型輸出與實測數據對比

由圖3和圖4可見：雖然車輛運行速度不恒定，但是BP神經網絡關聯模型的輸出數據與實測數據吻合良好，波形變化趨勢一致；模型輸出數據與實測數據的相關系數R均大于0.80，表明兩者具有較強的線性相關性；因此車輛運行速度是否恒定對本文關聯模型的輸出影響不大，即在車輛運行速度波動較大的情況下，關聯模型也能夠準確地表征輸入與輸出之間的傳遞關系。

圖4　0301車的模型輸出與實測數據對比

利用0301車的實測數據，由式(11)得到車體橫向振動加速度的模型輸出值與實測值之間殘差re的正態概率分布，如圖5所示。由圖5可見：殘差曲線與正態分布直線基本重合，表明模型殘差re服從正態分布。

圖5　BP神經網絡模型殘差概率分布圖

數值分析表明，模型殘差re服從正態分布N(0.000 2,0.005)，近似滿足零均值正態分布的要求，方差0.005反映了模型殘差偏離零均值的程度較小，模型輸出值與實測值很接近。

4　結　語

本文提出利用Welch譜分析方法確定車體振動加速度在空間頻域上的主要分布范圍，通過相干函數將相干特性較強的軌道不平順以及車輛運行速度作為輸入變量，并考慮軌道不平順與車體振動加速度之間的時間延遲，利用主成分分析法和BP神經網絡建立軌道不平順與車體振動之間的BP神經網絡關聯模型。該模型構造方法簡單，模型參數僅與訓練數據相關，反映了訓練數據載體的傳遞特性。

利用實測數據對BP神經網絡關聯模型進行驗證，結果表明模型輸出與實測振動數據的相關性高，波形吻合良好，兩者的殘差近似符合零均值正態分布；車輛運行速度作為關聯模型的1個輸入變量，用模型將車輛運行速度與車體振動的關系關聯起來，模型的輸出結果已包含了車輛運行速度的高低、波動等因素對車體振動的影響。

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