淺談向量優化問題中解的性質研究

蔣婭

【摘 要】向量優化問題是向量優化理論與方法研究領域中十分重要的研究方向。該問題除了在數學領域的有效應用之外，在經濟分析、生態規劃建設等諸多領域也有著廣泛的應用，相比于向量在數學領域只是單一的數值上的解答，在其他領域的應用中，向量優化問題更趨向于一種均衡的關系，使得事物在均衡關系中得到有效的發展，從而實現經濟效益和社會效益的最大化。本文以向量優化問題中解的性質研究為課題，對其研究意義進行了詳細的闡述。

【關鍵詞】向量；優化問題；解的性質

向量優化理論的應用研究是向量發展的一個重要方向，近年來向量優化問題已經成為國際優化領域的重點研究對象之一。這一問題的研究因為涉及到多門學科，所以在研究上有一定的復雜性和繁復性，此外它在經營管理、交通運輸和生態保護等諸多領域也有著廣泛的應用前景，由此可見向量優化問題的重要性[2]。

1 向量優化問題解的研究現狀及發展

1.1 向量優化問題中解的性質研究現狀

眾所周知，向量優化理論在經濟管理、生態保護、交通運輸以及集成電路的設計等諸多領域都有著深入的研究和發展，如今，向量優化問題也成為國際研究領域的一個重點發展方向。近年來，研究人員通過對向量優化中解的性質的研究得出，向量優化不僅對數學領域有著極大的幫助，而且對現實中的各行各業也有著非常深遠的影響意義。向量優化問題的研究當中需要借助于大量的數學工具，通過對向量優化問題的深入研究，不僅能夠促進向量優化問題中解的性質研究與發展，還能推動與數學相關的理論的發展，與此同時，這也極大的擴展了向量優化問題的應用和實踐范圍，使其能夠在更廣泛的空間中得到有序的發展[3]。

正因為向量優化問題中解的性質的相關研究具有豐富的理論和實踐性的研究意義，所以向量的優化問題在20世紀60年代就得到了人們的廣泛關注，并且大量學者在其研究上也投入了大量的時間和精力。正是因為無數研究人員在向量優化上的努力，使得向量優化問題取得了一系列的研究成果。這些研究成果主要體現在向量優化問題中各類解的概念，包括近似解概念的研究、弱有效解概念的研究以及各種類型的真有效解的研究[4]。

1.2 向量優化問題中解的性質的發展

向量優化問題中解的性質的研究包含了很多豐富的內容，關于向量的優化已經取得了很多的研究成果。結合以上對有效解、近似解性質的研究可以看出向量優化問題的發展方向應該是以其它領域的應用實踐為主，例如向量在計算機領域的應用是進行一些圖片的處理，因為向量的發展已經日趨成熟，所以在圖片處理中會有一種專門的向量格式，這種情況下的圖片處理相比于以前會更加的便捷和快速。除了在計算機圖片上的應用之外，向量還在物理學上有著非常廣泛的應用，物理學的力學、運動學和向量都有著密不可分的關系，此外，在物理中位移、速度和電場的強度都是向量，將這些物理問題用向量的有關知識進行解答，將會更加的簡潔化和清晰化[1]。

2 向量優化問題的解及近似解的研究

2.1 向量優化的解

在向量優化問題的研究中，如何定義解的概念是研究過程中最基本的問題，向量的優化一開始是在數學領域應用，因此數學領域對向量的解的定義多數都是數值上的有效計算，如向量的有效解和最優解以及無效解都只是數值的簡單計算，而在其他領域應用向量優化問題的研究則需要考慮向量優化問題目標空間的“偏好”，這將是定義向量優化問題解的概念的基礎。向量中的有效解的概念是在1986年由經濟學家Pareto提出的，后來被人們稱之為Pareto有效解，這也是對Pareto在向量優化問題上所作出的巨大貢獻的一種認可。

Pareto有效解很好的闡述了向量優化問題中解的最優性，其在向量的研究領域和實際的應用領域中都具有非常重要的意義，但這并不意味著Pareto有效解的概念已經趨于完美，因此還需要對Pareto有效解概念中的缺陷進行后期的彌補和完善。例如Pareto有效解的解集一般都比較大，不具有標量化的性質，不利于向量優化問題的計算解答。

2.2 向量優化問題中近似解的研究

在現實生活中，利用一般的數值算法通常只能得到向量優化問題的近似解的值，與此同時，向量的優化問題若不是在非緊的條件下弱有效解和真有效解可能是不存在的，由此可見，近似值的研究對于向量優化問題起著非常重要的作用。近似解的研究概念正式提出是在1979年，Kutateladze在文獻中首次提出了數值優化問題的ε-近似解。通過Kutateladze對近似解的研究，進一步的建立了近似解的最優性條件。這也便于向量優化的研究人員對各種有效解進行更系統和更深入研究。

3 向量優化問題中解的性質研究

3.1 向量優化問題中近似解的性質研究

向量優化問題中近似解的性質是向量優化問題研究領域的一個重要的研究環節。由于利用數值算法得到的一般都是近似解。自從1979年Kutateladze正式提出近似解的概念后，國際上很多學者對近似解都產生了濃厚的研究興趣，并且對近似解的性質和存在性進行了大量的實驗探究，主要表現在以下幾個方面：

首先向量的優化問題中衡量向量值的“大小”存在不完全偏序，這樣就導致向量中存在的問題呈現了誤解的狀態。因此，向量優化問題解的存在都是在假設的情況之下，特別是可行集在某種意義上的凸性。其次，在求解非線性優化問題上，都是采用迭代算法進行計算，而利用這種方式也能進一步的得到優化問題的“近似”最優解。并且在實際的應用問題中，優化問題的近似解還能提升非線性問題的理論發展，在實際的生活工作中近似解還能為決策者提供恰當的方案。

3.2 向量優化問題中有效解的性質研究

向量優化問題中關于有效解的性質研究主要體現在以下三個方面：

（1）在非緊性條件下弱有效解一般不存在，而近似于弱有效解的解在比較弱的條件下可能是存在的。

（2）有效解分為真有效解和弱有效解，然而在大多數的情況下都是對真有效解進行研究。

（3）有效解的存在在向量優化問題中的應用大多數是在有效解集得到限制刻畫后施行的。

以前的研究成果對于有效解的研究都是基于一些定義之上，再根據其定義的有效推算，探究有效解之間的關系和內在性質的研究。雖然中國對有效解的研究起步比較晚，但是在具體的應用中有效解集的概念早在20世紀80年代就已經出現，經過這三十多年的研究，對于有效解性質的研究已經取得了大量的成果。

綜上所述，通過對向量優化問題中解的性質的研究可以發現向量優化問題不僅在數學領域有著廣泛的應用，在經營管理、交通運輸和生態保護等諸多領域也有廣泛的應用前景。因此，大量研究人員已經將向量優化問題作為一個重要的研究對象，對其解的性質的存在性和應用性進行深入的研究和運用。對向量優化問題的最優解和近似解性質、概念和存在性的研究是向量優化問題的主要研究成果，也正是通過這些成果使得向量優化問題中解的性質研究邁入了一個新的臺階，并且為向量優化問題在各個領域的應用打下了堅實的基礎，這樣也間接的促進了國家經濟效益、環境效益、社會效益的共同提升。

【參考文獻】

[1]文乾英，焦建軍.Minty向量似變分不等式與非光滑向量優化問題[J].湘潭大學自然科學學報，2014，（1）：21-25.

[2]趙亮，劉學文.非光滑向量似變分不等式與向量優化問題[J].湖南師范大學自然科學學報，2014，（1）：69-75.

[3]傅俊義.具有控制結構與不變凸映射的向量優化問題[J].南昌大學學報（理科版），2014，（1）：4-7.

[4]鄧杰，寇喜鵬.含參向量優化問題有效解映射的平靜性[J].四川大學學報（自然科學版），2014，（5）：868-872.

[責任編輯：王楠]