基于MATLAB的搖臂軸非圓齒扇數(shù)控加工仿真

王　珍， 余金舫， 丁國龍

(湖北工業(yè)大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

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基于MATLAB的搖臂軸非圓齒扇數(shù)控加工仿真

王珍， 余金舫， 丁國龍

(湖北工業(yè)大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

[摘要]汽車轉向器搖臂軸非圓齒扇的加工存在一定難度和復雜性，傳統(tǒng)上是利用三維建模軟件直接模擬搖臂軸齒扇實際的加工過程，這種方法直觀，且求解過程簡單，但是所得齒面精度不高并且需要進行齒面重構。針對這些問題，提出一種加工仿真的方法，即通過MATLAB軟件，對非圓齒輪(以余弦函數(shù)傳動比模型為例)進行建模，根據(jù)齒輪齒條的嚙合原理，分析齒扇插齒加工中各進給軸的相對運動關系，然后在MATLAB軟件中模擬加工出齒扇。經(jīng)驗證，計算齒面和實際齒面的誤差范圍很小，證明該方法正確且精確。

[關鍵詞]轉向器； 搖臂軸； 非圓齒扇； MATLAB

商用汽車轉向器搖臂軸齒扇齒條嚙合的速比曲線從早期的分段直線變速(日本五十鈴NKR、東風商用車、印度塔塔)發(fā)展到余弦曲線變速(日本NSK等)，甚至偏心齒扇(德國奔馳)，這種變化極大地改善汽車駕駛操控的平順性，成為汽車轉向器市場的新亮點，應用前景十分廣闊。相比于搖臂軸齒扇齒條副變速比設計技術，變速比齒扇加工技術難度和復雜度越來越大，主要表現(xiàn)在兩個方面為：一是余弦函數(shù)偏心齒扇加工需要三軸聯(lián)動(一般是X、Y、C軸)，聯(lián)動軸數(shù)增加；二是各進給軸的運動軌跡方程以及數(shù)控插補算法更為復雜，增加了專機數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)難度。因此，利用計算機仿真技術，分析插齒加工各進給軸的運動關系，模擬該齒扇實際加工過程，再將得到的齒扇齒廓進行分析，驗證插補算法的正確性，可避免專機數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)的盲目性，降低風險，為實際加工提供理論指導。

胡來瑢[1]闡述了非圓齒條齒輪副的平面嚙合理論，給出了嚙合的瞬心線求解的理論公式與齒廓方程。賀敬良[2]等人具體地研究了余弦函數(shù)變速比轉向器齒扇，并推導出嚙合方程與齒廓方程，雖然這些方程未得到有效驗證，但這些理論研究對本文所提出的方法具有重要指導意義；周艷紅[3]等人開發(fā)了變速比齒扇插齒加工的新型CNC系統(tǒng)，研究了分段直線式傳動比的搖臂軸齒扇的數(shù)控加工，其方法對研究余弦函數(shù)傳動比加工系統(tǒng)有很好的借鑒；方明輝[4]等人基于MATLAB對非圓齒輪的實現(xiàn)算法進行了研究,為本文實現(xiàn)余弦函數(shù)傳動比齒扇加工模擬，獲得更好的加工效果打下良好的基礎；丁國龍[5]等人對偏心的轉向器搖臂軸齒扇的數(shù)控加工進行了分析與研究。本文在上述研究成果的基礎上，基于MATLAB軟件基本功能的組合，設計一種類似實體布爾運算的方法，實現(xiàn)了余弦函數(shù)傳動比齒扇的加工仿真。

1齒輪齒條嚙合分析

余弦函數(shù)模型如圖1所示，其過渡曲線ω1-ω2段是余弦函數(shù)。在齒輪齒條的嚙合中，齒輪齒條機構將齒輪1的轉動轉變?yōu)辇X條2的移動(圖2)。設齒輪1的瞬時角速度ω1=dφ1/dt，而齒條2的移動速度V2=ds2/dt，式中

ds2=r1·dφ1

(1)

圖 1　余弦傳動比曲線圖

圖 2　齒輪齒條嚙合傳動

在直角坐標系O1xy中，根據(jù)ds2=dx=ridφ1，齒條的瞬心線方程可表示為

齒輪齒條傳動加工仿真的重點是計算出齒輪轉動與齒條移動的相對關系，而建立了齒條位移x與齒扇轉角φ的關系，基本上就能確定加工出來的形狀(如果是帶有偏心的齒扇，還要確定中心距y與齒扇轉角φ的關系)。

對傳動比函數(shù)i(φ)建模，利用齒輪齒條的嚙合原理，可建立x-φ(和y-φ)的參數(shù)方程。

2進給軸運動分析

在數(shù)控加工中，關鍵是要確定各個軸的相對運動情況。在汽車搖臂軸齒扇的數(shù)控加工過程中，確定C軸與Y軸的相對運動關系(若帶有偏心，則需C,X,Y三軸聯(lián)動)，就能獲得確切的齒形。可以根據(jù)傳動比模型i(φ)，提取φ為參數(shù)，分別計算出各個軸關于φ的參數(shù)方程X(φ)，Y(φ)。這樣，在編輯插補運算時，就能以C軸為參考軸，按比例的對X和Y軸輸入脈沖，相當于各個軸的運動關系已經(jīng)確定。

3MATLAB實例加工仿真

在MATLAB中建立刀具的模型，分別寫出在齒扇轉角φ=0時，刀具的x和y坐標點的數(shù)組X和Y。因為不同的φ值對應的X和Y也是不同的，所以要求算出相對于φ=0時的增量，隨時更新X和Y，建立齒條齒扇嚙合的動態(tài)效果(模擬的動態(tài)效果是在for循環(huán)里面添加了一個pause函數(shù))。

真實的加工過程是刀具只做上下往復運動，齒坯做C軸與Y軸(和X軸)的聯(lián)動。在用MATLAB模擬的時候，選定齒坯不動，齒條做C軸與Y(和X軸)軸的聯(lián)動，使用坐標轉換公式

對X和Y進行變換。

下面給出一個應用的實例，齒扇齒條重要參數(shù)：齒條齒全高，22 mm；齒條斜角α1，22°；齒條斜角α2，25°；齒條斜角α3，28°；齒扇齒根最大外圓直徑，95 mm；齒扇斜角，5°；C軸轉速ω，5°/s。

仿真代碼如下：

if ((t>=0)&&(1>=t))

v = v_1;

l = 34.1*c2; %x方向增量

elseif ((t>1)&&(9>=t))

v = v_2;

v2 = @(T)3.76628 -0.32272*cos(pi*(T-1)/8);

l = t/(c/w)*(4.06894 +quad(v2,1,t));

elseif ((t>9)&&(10>=t))

v = v_3;

if (c>0)

l = 36.2482 + 54.7460*(c2 - 0.7854);

elseif (c<0)

l = -36.2482 + 54.7460*(c2 +0.7854);

end

程序主要是針對變速比傳動的轉向器中齒條的位移增量l的計算。令X=X+l，就能實現(xiàn)對X的實時更新了。另外，對于沒有偏心的搖臂軸齒扇，因為齒輪齒條的中心距不變，所以Y不變；如果是偏心的，需要加上偏心量e(φ)(偏心量也要表示為與φ的關系)。

在MATLAB中，使用patch函數(shù)，可以畫出齒扇坯料與刀具(齒條)的圖形。刀具每轉一定的角度，都會與齒扇坯料有一點重合的部分，這部分是要切除的。而patch函數(shù)畫出的模型圖無法實現(xiàn)真正的圖形布爾運算，這里使用一種類似的布爾運算，可以看出布爾運算的效果。具體實例代碼如下：

patch(X,Y, 'k' ) %刀具用黑色填充

hold on ;

plot(X,Y, 'w' );

plot([X(1) X(length(X2))],[Y(1) Y(length(X))], 'w' );

hold off

在實例中，使用patch函數(shù)畫出圖形的邊框顏色是黑色的，如果黑色邊框不消除，那么多次運動后，刀具就會留下黑色陰影。這兩個plot函數(shù)的功能就是將patch函數(shù)畫出來的刀具的黑色邊框刷白，就能將patch函數(shù)畫出的黑色邊框變成白色，從而隱藏在MATLAB的白色背景之下。仿真的效果即為刀具的轉動伴隨著移動，同時齒扇也逐漸成形。圖3與圖4是齒扇模擬加工的過程和最終模擬加工的齒扇。將模擬加工出的齒扇與實際加工出的齒扇的形狀精心對比，如圖5所示。

圖 3　齒扇加工

圖 4　加工出的齒扇

圖 5　模擬加工與實際加工對比

由圖5可以看出，模擬加工與實際加工的是十分接近的，由MATLAB中可查看，擬合的齒廓與實際齒廓的誤差在0.005 mm之內(nèi)。

[參考文獻]

[1]胡來瑢.空間嚙合原理及應用[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，1987.

[2]賀敬良，秦建旭，吳序堂.變速比轉向器齒扇設計理論研究[J].機械傳動，2009,33(1)：12-14.

[3]周艷紅，周云飛，王水來，等.變速比齒扇插齒加工的新型CNC系統(tǒng)[J].中國機械工程，1995,6(2)：37-39.

[4]方明輝，李革，趙勻，等.基于MATLAB的非圓齒輪副齒廓算法研究[J].農(nóng)機化研究，2010,08(08)：57-60.

[5]丁國龍，王平江.轉向器搖臂軸偏心齒扇的數(shù)控加工[J].汽車工藝與材料，2009(05)：57-59.

[責任編校： 張眾]

The NC Machining Process of Rocker Arm Shaft Gear Sector Based on MATLAB

WANG Zhen，YU Jinfang，DING Guolong

(SchoolofMechanicalEngin.，HubeiUniv.ofTech.，Wuhan430068，China)

Abstract：The process of automobile redirector rocker arm shaft non-circular gear sector is of certain difficulty and complexity. It is a direct simulation of the machining process by using 3D modeling software in the tradition. The method is simple, but accuracy of the obtained tooth surface is not high and the surface reconstruction is needed in the case. To solve these problems, this paper presents a method for machining simulation, through the MATLAB to model the transmission ratio of cosine function,according to the meshing theory of gear and rack to analyze the relative motion relationship of each feed axis during the process of gear sector. It then simulated the gear sector in the MATLAB. The results proved that the error range of calculation and reality is very small and the method has high accuracy and precision.

Keywords：redirector; the rocker arm shaft; non-circular gear sector; MATLAB

[中圖分類號]TH132

[文獻標識碼]：A

[文章編號]1003-4684(2016)01-0026-03

[作者簡介]王珍(1991-)， 女，湖北武漢人，湖北工業(yè)大學碩士研究生，研究方向為機械設計及理論

[基金項目]湖北省科技攻關計劃項目(2012AAA07-03)

[收稿日期]2015-11-05