金免疫層析試條OD－濃度曲線的神經動力學擬合

熊保平，甘振華，高躍明，杜民，3

(1.福建工程學院數理系，福建福州350108;2.福州大學物理與信息工程學院，福建福州350116; 3.福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州350116; 4.福建省大數據挖掘與應用技術重點實驗室，福建福州350108)

金免疫層析試條OD－濃度曲線的神經動力學擬合

熊保平1，2，4，甘振華1，3，高躍明2，杜民2，3

(1.福建工程學院數理系，福建福州350108;2.福州大學物理與信息工程學院，福建福州350116; 3.福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州350116; 4.福建省大數據挖掘與應用技術重點實驗室，福建福州350108)

針對金免疫層析試條定量檢測系統中OD(光密度)－濃度的擬合曲線會出現檢測值與實際值偏差較大，容易導致定性結果錯誤的情況，提出以最大絕對誤差最小為評價指標的曲線擬合方案，并轉化為相應的約束優化問題使用神經動力學優化算法進行求解。仿真數據實驗表明神經動力學曲線擬合方法明顯優于插值法和三次樣條，與最小二乘法相比在等同條件下50次曲線擬合的平均最大絕對誤差降低14%;通過金免疫層析試條定量檢測儀的一組標定數據實驗表明三次多項式基本符合OD值與濃度正相關關系，且此時神經動力學擬合曲線的最大誤差與最小二乘法相比降低25%;實驗結果表明該文提出的神經動力學曲線擬合方法結果收斂穩定，且有效降低最大絕對誤差，為金免疫層析試條定量檢測提供一種新的較簡單和精確的曲線擬合方法。

金免疫層析試條;定量檢測;曲線擬合;約束優化;神經動力學優化算法;最小二乘法

0 引言

金免疫層析試條由于操作簡便、反應時間短、可單人份等優點，已廣泛應用于各種疾病的檢測與預防［1－2］，尤其是廣大基層醫院和診所的檢測與診斷。從理論上說金免疫層析試條檢測線中顯色的納米膠體金的數目和被測液的濃度是線性正相關，即待檢濃度與檢測線的顯色面積及深淺成正相關［2］。但金免疫層析試條檢測線光密度值(OD值)的提取受到光散射、儀器檢測誤差、試液雜質干擾、試條響應均勻性、光照飽和度和試條本身誤差等綜合因素影響，導致定量檢測儀器輸出的OD值與被測液濃度函數曲線的線性度不佳。目前確定OD值與被測液濃度關系的方法主要有機器學習［3］、深度學習［4］和曲線擬合［5－6］這3大類。由于機器學習與深度學習需要大量樣本訓練以精確確定OD值與被測試液濃度的對應關系，這對于分批生產且不同批次參數不同的金免疫層析試條來說成本太高且不易硬件實現［7］;而曲線擬合方法需要的訓練樣本少且實現簡單，在曲線擬合方法中最小二乘法以其簡便和精度較好而得到廣泛應用，但最小二乘法是以誤差的平方和最小為評價指標［8］，無法對最大絕對誤差做出有效的約束。

針對這一問題，本文提出以擬合值與實際值最大誤差最小為評價指標的曲線擬合方法，其本質就是約束優化問題，而目前求解約束優化問題的方法主要有投影梯度法、譜投影梯度法、截斷牛頓法、有記憶擬牛頓法等，但這些求解方法都不同程度地存在時間復雜度高和局部最優解的問題［9］。根據上述情況，本文引入神經動力學優化算法求解這一約束優化問題，其基本思想是通過能量函數把優化問題的求解轉化為全局收斂的微分方程問題的求解［10］。

1 金免疫層析試條定量檢測及曲線擬合評價指標的建立

目前金免疫層析試條定量檢測主流產品的測試流程如圖1所示，其測試流程為首先把待測樣本液體滴入金免疫層析試條，待反應充分后光電傳感裝置中的CCD開始對試條進行掃描，然后CCD掃描獲取的模擬信號經過預處理后傳送給DSP，最后DSP從接收到的模擬信號中獲取試條檢測線的光密度值(OD值)并通過已有的OD－濃度曲線獲得被測試條的濃度值。如果有更復雜的處理還可以把檢測結果通過RS232傳送給計算機進行后續處理。

圖1 金免疫層析試條定量檢測系統總體架構

由檢測流程可知OD－濃度曲線對金免疫層析試條的定量檢測結果的影響是直接且不可避免的，而由Lambert－Beerd定律可以推導出OD與濃度的關系［5］為

其中:k為比例系數，od是光密度值(OD值)，nd為待測液濃度值，所以在理想狀態下OD值與被測液的濃度之間是線性關系。然而現實中由于金免疫層析試條定量檢測受到光散射，儀器檢測誤差、試液雜質干擾、試條響應均勻性、光照飽和度和試條本身誤差等綜合因素影響，導致OD值與待測液體濃度之間呈非線性關系，并且在高濃度區域這種非線性關系更明顯，所以OD值與待測液體濃度值之間的函數關系可以近似由下式表示:

式中:xi——待求的多項式第i次項的系數;

n——多項式的最高次數。

所以當給定m個樣本值(odi，ndi)，i=1，2，…，m，其擬合值與實際值最大誤差最小的表達式如下所示:

其簡潔的表達形式為

2 金免疫層析試條OD－濃度曲線擬合

目前神經動力學優化算法還沒有直接求解無窮范式的方法。為此為了將式(4)轉化為神經動力學優化算法可以求解的形式，首先令:

則由式(5)可得:

由式(5)～或(7)可以把式(4)近似轉化為

則式(9)的對偶函數為

設置Lyapunov函數為

由式(11)根據雙對偶梯度算法可得到式(9)、式(10)解的狀態方程［11］為

輸出方程:U(t)=u(t)。

其中λ為常數，由式(12)可知其微分方程組的全局最優解u(t)是本文所要求解的多項式的系數和曲線的最大絕對誤差值。

3 實驗結果與分析

為驗證本文提出方法的可行性，首先給出了一組仿真數據(xi，yi)，i=1，2，…，N，如圖2所示，其中xi是均勻分布在［0，13］的14個數據;yi的取值是通過函數x3+x2+x+1獲得，但由于x=(x1，x2，…，xn)代表儀器檢測到的OD值，所以為了仿真更貼近現實令yi=(xi+ni)3+(xi+ni)2+(xi+ni)1+1，其中ni為［－1，1］的隨機噪聲。在實驗前先定義最大絕對誤差為:，其中yn為真實數據，為擬合值，M為參與統計的樣本數。

圖2 仿真數據點示意圖

實驗中分別使用線性插值(LI)、三次樣條(CS)、最小二乘法(LS)和本文提出的神經動力學(NDOA)對圖3所給出的14個帶噪聲的數據點進行曲線擬合，其中最小二乘法和神經動力學的方法擬合曲線的多項式最高階次N=3。當樣本個數M= 1300時的曲線擬合比較結果如圖3所示。

圖3 各方法曲線擬合結果圖

由圖3(a)、圖3(b)可知線性插值和三次樣條存在不同程度的過擬合現象，擬合曲線受噪聲影響嚴重。

圖3(c)、圖3(d)所示的多項式階次N=3時最小二乘法、神經動力學擬合的曲線的絕對誤差分布如圖4所示，誤差分布參數如表1所示。

圖4 神經動力學和最小二乘法曲線擬合的絕對誤差對比圖

表1 神經動力學和最小二乘法曲線擬合的誤差分布參數

由表1可知，雖然圖4所示的擬合曲線的平均絕對誤差基本一致，但神經動力學擬合的最大絕對誤差下降了26.2%，誤差的方差下降了43.7%，優勢明顯。

為體現本文提出方法的穩定性，分別使用線性插值、三次樣條、最小二乘法和本文提出的神經動力學分別對圖3所示的50組仿真數據進行曲線擬合，其平均的最大絕對誤差如表2所示。

表2 各方法擬合曲線的平均最大絕對誤差(n=50)

由表可以看出，線性插值、三次樣條的最大絕對誤差明顯較大，最小二乘法擬合曲線的平均最大絕對誤差為512，而本文提出的神經動力學擬合曲線的平均最大絕對誤差為441，比最小二乘法擬合曲線的平均最大絕對誤差降低了14%。

為了進一步驗證本文提出方法在實際使用中的效果，實驗中再使用最小二乘法和神經動力學曲線擬合方法分別對金免疫層析試條定量檢測儀的一組標定數據進行一次多項式、二次多項式、三次多項式和四次多項式的擬合。其中神經動力學擬合的多項式系數收斂情況如圖5所示，最小二乘法和神經動力學多項式擬合曲線如圖6所示，各階次擬合的最大絕對偏差統計如表3所示。

圖5 神經動力學求解多項式系數尋優軌跡

圖6 神經動力學與最小二乘法擬合曲線對比圖

表3 最小二乘法和神經動力學擬合曲線的最大絕對偏差

由圖6和表3可知，多項式擬合階次N≥3時的最大相對誤差相比于N=1，2下降顯著，表明金免疫層析試條定量檢測數據的標準工作曲線的擬合階次N≥3。對圖6的多項式擬合曲線進行誤差分析，其各階次的絕對誤差對比如圖7所示。

圖7 神經動力學和最小二乘法曲線擬合的絕對誤差各多項式對比圖

由圖可以看出從一次到四次多項式擬合曲線的絕對誤差，相比于神經動力學曲線擬合，最小二乘法擬合的曲線最大絕對誤差均偏大。從表3也可以看出本文的神經動力學擬合曲線的最大偏差值與最小二乘法相比較有明顯降低，并且當N=3時，神經動力學擬合曲線的最大誤差與最小二乘法相比降低了25%，更適合金免疫層析試條定量檢測數據的標準工作曲線的擬合。

4 結束語

針對金免疫層析試條定量檢測系統中OD(光密度)－濃度的擬合曲線會出現檢測值與實際值偏差比較大容易導致定性結果錯誤的情況，本文提出以擬合值與實際值最大絕對誤差最小為評價指標的曲線擬合方法，并使用神經動力學進行求解;通過金免疫層析試條定量檢測儀一組標定數據的實驗表明，在符合OD值與濃度正相關系時的N=3多項式曲線擬合，神經動力學擬合曲線的最大誤差與最小二乘法相比降低了25%。本文提出的神經動力學曲線擬合方法結果收斂穩定，并能夠有效降低擬合的最大絕對誤差，適用于金免疫層析試條定量檢測數據的標準工作曲線的擬合。

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(編輯:莫婕)

Neural dynamics fitting of the OD－concentration curve of gold immunochromatography strip

XIONG Baoping1，2，4，GAN Zhenhua1，3，GAO Yueming2，DU Min2，3
(1.Department of Mathematics and Physics，Fujian University of Technology，Fuzhou 350108，China; 2.College of Physics and Information Engineering，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China; 3.College of Electrical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China; 4.Key Laboratory of Big Data Mining and Applications of Fujian Province，，Fuzhou 350108，China)

Incorrect qualitative result is easy to be caused by large deviation between detection value and actual value on the OD(optical density)－concentration fitting curve，which may result in inaccurate result of gold immunochromatographic strip qualitative detection system.A curve fitting scheme of taking the maximum absolute error minimum as evaluation index is hereby proposed.Corresponding constrained optimization problem is converted to neural dynamics optimization algorithm for solution.Simulation data experiment shows that neural dynamical curve fitting method is obviously superior to the interpolation method and cubic spline.Compared with the least square method，the average maximum absolute error of 50－times curve fitting under the same condition is reduced by 14%;the experimental results of a set of calibration data from quantitative detection instrument of the gold immunochromatographic strip show that cubic polynomial basically complies with normal phase relation between OD value and concentration，and the maximum error of the fitting curve is reduced by 25%compared with that of the least square method; the experimental results show that neural dynamical curve fitting method put forward in the paper features stable convergence and the maximum absolute error is reduced effectively;a new curve fitting method for quantitative detection of gold immunochromatographic strip is provided.

goldimmunochromatographicstrip;quantitativedetection;curvefitting;constrained optimization;neuro－dynamical optimization algorithm;least square method

A

1674－5124(2016)11－0126－05

10.11857/j.issn.1674－5124.2016.11.025

2016－05－18;

2016－06－23

科技部港澳臺合作項目(2012DFM30040);福建省科技重大專項(2013YZ0002，2014YZ0001)

熊保平(1980－)，男，江西南昌市人，講師，博士，主要研究方向為深度圖像學習與生物信息挖掘。