具有非線性Neumann邊界條件的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)*

方鐘波, 楊　蕊

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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具有非線性Neumann邊界條件的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)*

方鐘波, 楊蕊

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

摘要：側(cè)重研究具有非局部源和非線性Neumann邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破現(xiàn)象。適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)構(gòu)造法與微分不等式技巧相結(jié)合，建立了解發(fā)生爆破時(shí)爆破時(shí)間的下界。

關(guān)鍵詞：反應(yīng)擴(kuò)散方程；非局部源；非線性Neumann邊界；爆破時(shí)間的下界

0引言

考慮具有非局部源和非線性Neumann邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程初邊值問(wèn)題

ut=Δu+up∫Ωuqdx，(x，t)∈Ω×(0，t*)，

(1)

(2)

u(x，0)=u0(x)≥0，x∈Ω。

(3)

其中：Ω∈R3是具有光滑邊界?Ω的有界星型區(qū)域；t*是可能發(fā)生爆破的有限時(shí)間或者t*=∞；v是沿?Ω的單位外法向量，p≥0，q>0，p+q>1，s>1。非負(fù)初始值u0(x)滿足適當(dāng)?shù)墓饣院拖嗳菪詶l件，且由極值原理可得，在解的最大存在時(shí)間區(qū)間內(nèi)滿足u(x,t)≥0。

方程(1)描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中溫度、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中物質(zhì)的濃度、生物種群理論中某些生物物種密度的擴(kuò)散等許多物理現(xiàn)象[1-2]。非線性邊界流(2)在物理上解釋為滿足非線性徑向法則[3]。

對(duì)拋物型方程(組)解的爆破現(xiàn)象的研究已有許多文獻(xiàn)和專著，見文獻(xiàn)[4-5]及相關(guān)文獻(xiàn)。但是大多數(shù)涉及到的問(wèn)題是整體解的存在性與非存在性，漸近性質(zhì)等。最近，此類問(wèn)題中解的爆破時(shí)間上下界估計(jì)方面得到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。實(shí)際上，在爆破時(shí)間上界的估計(jì)方面文獻(xiàn)較多，比如，Levine[6]介紹的凸性方法，Ding等[7]介紹的補(bǔ)助函數(shù)法、極值原理和上下解方法的相結(jié)合等。相對(duì)而言，爆破時(shí)間下界的估計(jì)更難。Song[8]研究了具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程

ut=Δu+∫Ωuqdx-kuq,(x,t)∈Ω×(0，t*)。

在齊次Dirichlet和齊次Neumann邊界條件下解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)值，之后，Liu等[9]和Fang等[10]考慮了在齊次Dirichlet和齊次Neumann邊界條件下非局部多孔體介質(zhì)方程，并得到了類似的結(jié)論。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文中研究具有非局部源項(xiàng)和非線性Neumann邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程初邊值問(wèn)題(1)～(3)解發(fā)生爆破時(shí)爆破時(shí)間的下界估計(jì)值。實(shí)際上，由正則化方法及Schauders不動(dòng)點(diǎn)定理易得問(wèn)題(1)～(3)弱局部解的存在唯一性，且對(duì)p+q>1，s>1和對(duì)充分大的初始值，問(wèn)題(1)～(3)解在時(shí)刻t*爆破是大家都已熟知的，見文獻(xiàn)[11-12]。故本文只考慮解發(fā)生爆破的情形。

注意到，由Sobolev型不等式的最優(yōu)化常數(shù)，導(dǎo)致所得的結(jié)果僅局限在三維空間，見文獻(xiàn)[13]。同時(shí)，此類問(wèn)題的研究對(duì)于發(fā)展方程解的生命跨度的確定有著非常重要的意義。

1主要結(jié)論及證明

本節(jié)中，利用輔助函數(shù)的適當(dāng)構(gòu)造法與微分不等式技巧相結(jié)合，得到下面的主要結(jié)論。

為了證明定理1，先介紹下面的引理，其證明見文獻(xiàn)[14]。

引理1[14]令Ω是R中的有界星型區(qū)域并且關(guān)于2個(gè)正交方向?yàn)橥沟?，則對(duì)任意定義在Ω上的非負(fù)C1類函數(shù)(ux)，成立下面不等式

定理1的證明：定義如下形式的輔助函數(shù)

φ(t)=∫Ωun(p+q-1)dx。

對(duì)φ(t)關(guān)于t求導(dǎo)可得

φ′(t)=n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)-1utdx=

n(p+q-1)∫Ωn(p+q-1)-1[Δu+up∫Ωuqdx]dx=

n(p+q-1)-1[n(p+a-1)-1]∫Ωu(p+a-1)-2|u|2dx=

n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx·

n(p+q-1)∫?Ωun(p+q-1)+s-1dσ-

n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx，

(4)

其中dσ是?Ω上的面積微元。

對(duì)(4)式右端第三項(xiàng)利用H?lder不等式，有

(5)

及

(6)

結(jié)合(4)(5)(6)可得

φ′(t)≤

∫?Ωun(p+q-1)+s-1dσ+n(p+q-1)|Ω|∫Ωu(n+1)(p+q-1)dx。

(7)

為了簡(jiǎn)便，令

則

φ(t)=∫Ωvndx。

(8)

且(7)式可改寫為

n(p+q-1)∫?Ωvn+s1dσ+n(p+q-1)|Ω|∫Ωvn+1dx，

(9)

其中l(wèi)0,d2等同于引理1中的定義。

把上式代入到(9)中，易知

n(p+q-1)|Ω|∫Ωvn+1dx。

(10)

記

J1=∫Ωvn+s1dx，

(11)

J2=∫Ωvn+s1-1|v|dx，

(12)

J3=∫Ωvn+1dx，

(13)

Ψ(t)=∫Ωvn-2|v|2dx。

(14)

下面用Ψ(t)和φ(t)來(lái)表示J1，J2，J3的估計(jì)值。先求J2的估計(jì)值。

注意到

其中

顯然有0<δ1<1。

由基本不等式

得到

(15)

其中ε為適當(dāng)?shù)恼龜?shù)。

再對(duì)(15)式右端第二項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式，顯然有

(16)

根據(jù)引理1，(16)式右端滿足

(17)

利用H?lder不等式來(lái)確定(17)式右端第二項(xiàng)的范圍，得

∫Ωvn-1|。

(18)

接著把(18)代入到(17)，得到

(19)

結(jié)合(16)～(19)，可得

根據(jù)如下H?lder不等式的特殊形式

(20)

得

(21)

其中，c1*，c2*通過(guò)計(jì)算可以得到。

把(21)代入到(15)，易知

(22)

再確定J3的范圍.由引理1可知

(23)

用H?lder不等式來(lái)確定上式右端第二項(xiàng)的范圍，得

(24)

其中

顯然0<δ2<1。

對(duì)(24)式右端項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式，易知

(25)

對(duì)(23)式右端第一項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式，則有

(26)

結(jié)合(23)～(26)得

運(yùn)用(20)式可得

(27)

其中，c3*，c4*通過(guò)計(jì)算可以得到。

再確定J1的范圍.類似于J3的估計(jì)，根據(jù)引理1，可得

(28)

對(duì)上式右端第二項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式，易得

(29)

其中

顯然0<δ3<1。

對(duì)(29)式使用H?lder不等式，有

(30)

對(duì)(28)式右端第一項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式，易知

(31)

類似于(27)式，結(jié)合(28)～(31)并運(yùn)用(20)得

(32)

其中，c5*，c6*通過(guò)計(jì)算可以得到。

把(14)(22)(27)(32)代入到(10)，得到

(33)

其中，ci，i=0，1，2，3，4，5，6通過(guò)計(jì)算可以得到。

利用下面的不等式

(34)

(35)

(36)

其中λ1，λ2，λ3為任意正常數(shù)；k2，k4，k6為可以計(jì)算出的正常數(shù)。

把(34)～(36)代入到(33)，并取適當(dāng)?shù)摩?，λ2，λ3和ε，使?jié)M足

則得到微分不等式

(37)

對(duì)上式2邊在上積分，則有

定理證畢。

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AMS Subject Classifications：35R45; 35K65

責(zé)任編輯陳呈超

Lower Bounds Estimates of the Blow-up Time for a Reaction-Diffusion Equation with Nonlocal Source and Nonlinear Neumann Boundary Condition

FANG Zhong-Bo, YANG Rui

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100， China)

Abstract:This paper focuses on investigating the blow-up phenomena to a reaction-diffusion equation with nonlocal source and nonlinear Neumann boundary condition. Based on differential inequality technique and constructing suitable auxiliary function, lower bounds for blow-up time are derived when the blow-up occurs.

Key words:reaction-diffusion equation; nonlocal source; nonlinear Neumann boundary; lower bounds for blow-up

中圖法分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)01-145-04

作者簡(jiǎn)介：方鐘波(1968-)，男，教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

收稿日期：2014-03-07；

修訂日期：2015-03-10

*基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金(ZR2012AM018)及中央高?；究蒲谢?201362032)資助

DOI：10.16441.cnki.hdxb.20140081

引用格式：方鐘波, 楊蕊. 具有非線性Neumann邊界條件的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,46(1)：145-148.

FANG Zhong-Bo, YANG Rui. Lower bounds estimates of the blow-up time for a reaction-diffusion equation with nonlocal source and nonlinear neumann boundary condition[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(1): 145-148.

Supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province of China(ZR2012AM018)and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(201362032)