應(yīng)力梯度下晶內(nèi)微裂紋演化的有限元模擬

程 強(qiáng), 黃佩珍

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

應(yīng)力梯度下晶內(nèi)微裂紋演化的有限元模擬

程 強(qiáng), 黃佩珍

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

基于表面擴(kuò)散和蒸發(fā)—凝結(jié)機(jī)制的經(jīng)典理論,對(duì)應(yīng)力梯度下金屬材料內(nèi)部晶內(nèi)微裂紋演化進(jìn)行了有限元模擬。數(shù)值分析結(jié)果表明:在應(yīng)力梯度下,橢圓形晶內(nèi)微裂紋演化存在臨界應(yīng)力梯度、臨界形態(tài)比以及臨界線寬。當(dāng)應(yīng)力梯度和形態(tài)比均小于臨界值或線寬大于臨界值時(shí),微裂紋以穩(wěn)定的形態(tài)向高應(yīng)變能密度區(qū)移動(dòng),不發(fā)生分節(jié)現(xiàn)象;反之,微裂紋在移動(dòng)的同時(shí)分節(jié)成左右兩個(gè)裂腔,且應(yīng)力梯度和形態(tài)比的增大和線寬的減小能加速微裂紋分節(jié)。

表面擴(kuò)散; 應(yīng)力梯度; 晶內(nèi)微裂紋; 有限元模擬; 微裂紋分節(jié)

1 引 言

在內(nèi)連導(dǎo)線的制造和使用過程中會(huì)不可避免的出現(xiàn)裂紋性缺陷。當(dāng)電流通過內(nèi)連導(dǎo)線時(shí),驅(qū)動(dòng)原子沿電子流方向遷移。物質(zhì)原子在微裂紋表面的遷移導(dǎo)致微裂紋的變形和漂移;而當(dāng)物質(zhì)原子從內(nèi)連導(dǎo)線負(fù)極流出,流入導(dǎo)線正極會(huì)在正極產(chǎn)生壓應(yīng)力,而在負(fù)極產(chǎn)生拉應(yīng)力,因而沿導(dǎo)線產(chǎn)生一個(gè)線性應(yīng)力梯度。該應(yīng)力梯度會(huì)驅(qū)動(dòng)原子在微裂紋表面遷移,改變微裂紋的形狀和位置,嚴(yán)重影響內(nèi)連導(dǎo)線的可靠性[1,2]。因此研究在應(yīng)力梯度下微裂紋的規(guī)律具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值[3-5]。

到目前為止,已有應(yīng)力梯度和電勢(shì)梯度驅(qū)動(dòng)孔洞遷移速度的解析解[6-8]。但以往的工作側(cè)重于孔洞的漂移速度,至今未見文獻(xiàn)詳細(xì)報(bào)道應(yīng)力梯度下微裂紋的演化規(guī)律。

本文應(yīng)用有限單元法數(shù)值模擬應(yīng)力梯度下晶內(nèi)微裂紋的演化,且采用如圖1所示的模型。

圖1 應(yīng)力梯度下晶內(nèi)微裂紋模型Fig.1 A model of an intragranular microcrack under the stress gradient field

圖1中,a與h0分別表示微裂紋在x、y軸方向上的半軸長(zhǎng),h為內(nèi)連導(dǎo)線的寬度,x,y為微裂紋在水平方向和豎直放置的位移,p為應(yīng)力在豎直方向的梯度,σx,σy分別為水平方向和豎直方向的應(yīng)力。

假設(shè)微裂紋所在的彈性體相對(duì)微裂紋為無限大,且第三維尺寸認(rèn)為無限大,則可以視為平面應(yīng)變問題,且采用形態(tài)比β=a/h0表示微裂紋的形狀。

2 基本理論

2.1 表面擴(kuò)散

表面擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)定律:

(1)

式中J為原子沿表面擴(kuò)散的流量,M為表面原子遷移率,F為驅(qū)動(dòng)力。

表面法向速度vns和表面法向虛位移δrns由物質(zhì)守恒定律有:

(2)

(3)

其中,δI為表面物質(zhì)虛位移。

2.2 蒸發(fā)—凝結(jié)

晶粒表面每一點(diǎn)動(dòng)力學(xué)定律為

(4)

其中,vnv為表面法向速度,p為驅(qū)動(dòng)力,m為蒸發(fā)—凝結(jié)過程的界面遷移率。

2.3 包含蒸發(fā)—凝結(jié)和表面擴(kuò)散的弱解描述

當(dāng)兩種機(jī)制共同作用時(shí),表面法向速度vn和表面法向虛位移δrn分別為

(5)

(6)

根據(jù)廣義虛位移原理,有

(7)

其中,S為微裂紋表面積,δG為系統(tǒng)自由能增量,將式(1)-(6)代入式(7),可得弱解描述:

(8)

2.4 有限元方法

(9)

(10)

其中,xi,yi,Ii,Ji,i=1,2,分別為第i個(gè)單元格的水平位移、豎直位移、表面等頂虛位移以及原子沿表面擴(kuò)散的流量,Im和Jm為中間節(jié)點(diǎn)的物質(zhì)虛位移和相應(yīng)的流量。

對(duì)式(8)積分,可得有限元控制方程:

(11)

式中,He為方度矩陣,fe為作用在物體上的載合向量。

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 應(yīng)力梯度對(duì)微裂紋演化的影響

3.2 形態(tài)比對(duì)微裂紋演化的影響

由圖5可知,微裂紋在表面能作用下兩端向中心收縮,在靠近中心的位置形成尖端。隨著形態(tài)比的繼續(xù)增大,微裂紋在靠近中心的位置形成尖端的同時(shí)發(fā)生了位置漂移,并且在漂移的過程中伴隨著裂腔分節(jié)的現(xiàn)象。圖6給出了形態(tài)比對(duì)裂腔分節(jié)時(shí)間的影響規(guī)律。由圖可知,當(dāng)應(yīng)力梯度為一定值時(shí),微裂紋分節(jié)時(shí)間隨著形態(tài)比的增大而減小,且減小的速率隨著形態(tài)比的增大而減小。

圖時(shí)晶內(nèi)微裂紋演化Fig.2 The evolution of the intragranular microcrack

圖3 分節(jié)時(shí)間f隨應(yīng)力梯度變化Fig.3 The splitting time f as a function of

圖隨β變化Fig.

圖時(shí)晶內(nèi)微裂紋的演化Fig.5 The evolution of the intragranular microcrack

3.3 線寬對(duì)微裂紋演化的影響

圖6 分節(jié)時(shí)間f隨β變化Fig.6 The splitting time f as a function of β

圖7 βc隨變化Fig.

4 結(jié) 論

本文數(shù)值模擬了應(yīng)力梯度下晶內(nèi)微裂紋的演化,得出以下結(jié)論:

圖時(shí)晶內(nèi)微裂紋的演化Fig.8 The evolution of the intragranular microcrack

[1] Bower A F,Shankar S.A finite element model of electromigration induced void nucleation,growth and evolution in interconnects[J].Modelling & Simulation in Materials Science & Engineering,2007,15(8):923-940(18).

[2] Bhate D N,Bower A F,Kumar A.A phase field model for failure in interconnect lines due to coupled diffusion mechanisms[J].Journal of the Mechanics & Physics of Solids,2002,50(10):2057-2083.

[3] Krug J,Dobbs H T.Current-induced faceting of crystal surfaces[J].Physical Review Letters,1994,73(14):1947-1950.

[4] Schimschak M,Krug J.Surface Electromigration as a Moving Boundary Value Problem[J].Physical Review Letters,1997,78(78):278-281.

[5] Li Z,Chen N.Electromigration-driven motion of an elliptical inclusion[J].Applied Physics Letters,2008,93(5):051908-051908-3.

[6] Dong X,Li Z.An analytical solution for motion of an elliptical void under gradient stress field[J].Applied Physics Letters,2009,94(7):071909-07 1909-3.

[7] Cho J,Gungor M R,Maroudas D.Electromigrat-ion-driven motion of morphologically stable voids in metallic thin films:Universal scaling of migration speed with void size[J].Applied Physics Letters,2004,85(12):2214-2216.

[8] Wang H,Li Z,Sun J.Effects of stress and tem-perature gradients on the evolution of void in metal interconnects driven by electric current and mechanical stress[J].Modelling & Simulation in Materials Science & Engineering,2006,14(4):607-615.

程 強(qiáng) 男(1991-),安徽安慶人,碩士,主要研究微結(jié)構(gòu)演化。

黃佩珍 女(1972-),浙江浦江人,教授,博導(dǎo),主要研究方向?yàn)楣こ虇栴}的力學(xué)建模與數(shù)值仿真。

Finite Element Simulation of the Intragranular MicrocracksEvolution in a Stress Gradient Field

CHENGQiang,HUANGPeizhen

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,Nanjing University ofAeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

Based on the classical theory of surface diffusion and evaporation-condensation,a finite element program is developed for simulating the evolution of intragranular microcracks in metallic material in a stress gradient field.Numerical analysis results show that there exists critical values of the stress gradient,the aspect ratio and line width for the ellipse intragranular microcracks under the stress gradient field.When the stress fradient and the aspect ratio are both less than their critical values,or the line width is more than its critical value,the microcrack will move to the higher stress zone by a stable form.Otherwise,it will split into two microcracks.And the increase of the stress gradient and the aspect ratio are beneficial to the microcrack splitting.The decrease of the line width will accelerate the splitting process.

surface diffusion; stress gradient; intragranular microcrack; finite element simulation; microcrack splitting

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20141407);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

TG 113

A