轉(zhuǎn)矩作用下汽車驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算方法*

吳昱東，李人憲，向 偉，楊明亮，丁渭平

(1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031; 2.荷語(yǔ)魯汶大學(xué)機(jī)械工程系，比利時(shí) 3001)

2016077

轉(zhuǎn)矩作用下汽車驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算方法*

吳昱東1,2，李人憲1，向 偉1，楊明亮1，丁渭平1

(1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031; 2.荷語(yǔ)魯汶大學(xué)機(jī)械工程系，比利時(shí) 3001)

為定量研究在轉(zhuǎn)矩作用下，驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率的變化規(guī)律，基于軸向拉力作用下彈性桿的彎曲模態(tài)頻率計(jì)算方法，引入等效拉力的概念，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)矩作用下驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率計(jì)算公式，并針對(duì)具體車型驅(qū)動(dòng)軸進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明，隨著作用轉(zhuǎn)矩的增大，驅(qū)動(dòng)軸1階彎曲模態(tài)頻率上升；同時(shí)進(jìn)行了模態(tài)測(cè)試，計(jì)算結(jié)果與測(cè)試數(shù)據(jù)基本吻合，說(shuō)明所提出的計(jì)算方法有較好的準(zhǔn)確性。

驅(qū)動(dòng)軸；彎曲模態(tài)頻率；轉(zhuǎn)矩；計(jì)算方法；等效拉力

前言

驅(qū)動(dòng)軸是汽車傳動(dòng)系的組成部件之一，不僅承擔(dān)著將動(dòng)力傳遞至車輪驅(qū)動(dòng)車輛前進(jìn)的作用，而且對(duì)車輛的NVH性能有著極其重要的影響。軸向長(zhǎng)度較大、直徑較小的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)軸具有較低的彎曲振動(dòng)模態(tài)頻率，尤其是其1階彎曲模態(tài)，乘用車驅(qū)動(dòng)軸的1階彎曲模態(tài)頻率通常在150～400Hz之間，易被發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)激勵(lì)或驅(qū)動(dòng)軸自身動(dòng)不平衡激勵(lì)激發(fā)共振，從而加劇傳動(dòng)系齒輪的嚙合沖擊與驅(qū)動(dòng)軸軸承的振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)引起車內(nèi)振動(dòng)與噪聲的顯著增大，降低車輛舒適性[1]，因此對(duì)汽車驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的設(shè)計(jì)有著重要的工程意義。

早期進(jìn)行驅(qū)動(dòng)軸設(shè)計(jì)時(shí)，并不考慮轉(zhuǎn)矩作用對(duì)其彎曲振動(dòng)模態(tài)的影響，然而隨著汽車零部件的輕量化發(fā)展和材料韌性的提升，承受著巨大轉(zhuǎn)矩(可達(dá)2kN·m以上)的驅(qū)動(dòng)軸在工作中會(huì)發(fā)生較大的扭轉(zhuǎn)變形，這種變形對(duì)驅(qū)動(dòng)軸的彎曲模態(tài)產(chǎn)生的影響已不容忽視。目前許多汽車整車生產(chǎn)企業(yè)已意識(shí)到該問(wèn)題，并明確要求驅(qū)動(dòng)軸生產(chǎn)企業(yè)提供汽車驅(qū)動(dòng)軸在零轉(zhuǎn)矩載荷和額定轉(zhuǎn)矩載荷下的1階彎曲模態(tài)頻率，以此判斷驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)特性匹配是否合理。汽車驅(qū)動(dòng)軸生產(chǎn)企業(yè)通常利用靜扭試驗(yàn)臺(tái)對(duì)驅(qū)動(dòng)軸進(jìn)行轉(zhuǎn)矩加載，通過(guò)試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法分別獲取驅(qū)動(dòng)軸在零轉(zhuǎn)矩載荷和額定轉(zhuǎn)矩載荷下的1階彎曲模態(tài)頻率。然而這種方法需要依賴實(shí)物樣件作為支撐，且當(dāng)樣件測(cè)試結(jié)果不滿足要求時(shí)，由于沒(méi)有適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)計(jì)算理論支持，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)反復(fù)進(jìn)行試制，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，給汽車驅(qū)動(dòng)軸的開(kāi)發(fā)和生產(chǎn)帶來(lái)了巨大的阻礙。因此，迫切需要尋求一種考慮轉(zhuǎn)矩作用的驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率計(jì)算方法。

目前，考慮轉(zhuǎn)矩對(duì)汽車驅(qū)動(dòng)軸彎曲振動(dòng)特性影響的研究還較少。但在相鄰領(lǐng)域的研究工作中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了軸向拉力對(duì)彈性桿彎曲模態(tài)的影響，提出了軸向拉力作用下彈性桿彎曲振動(dòng)的計(jì)算方法[2-5]，并將該計(jì)算方法運(yùn)用于工程中，通過(guò)測(cè)定彈性桿的彎曲模態(tài)頻率來(lái)預(yù)測(cè)軸所受的張力[6-8]。彈性桿在軸向力作用下所表現(xiàn)的非線性現(xiàn)象與驅(qū)動(dòng)軸在轉(zhuǎn)矩作用下的非線性振動(dòng)現(xiàn)象有著較強(qiáng)的相似性，都是由于外力作用改變了軸向張力，引起彎曲平面內(nèi)恢復(fù)力大小的改變，從而對(duì)彈性桿或軸的彎曲振動(dòng)特性產(chǎn)生影響，改變了軸的彎曲模態(tài)頻率。故本文中基于彈性桿在軸向拉力作用下的彎曲振動(dòng)力學(xué)模型及模態(tài)頻率計(jì)算方法，建立軸在轉(zhuǎn)矩作用下等效力學(xué)分析模型，推導(dǎo)轉(zhuǎn)矩作用下驅(qū)動(dòng)軸彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算方法，研究轉(zhuǎn)矩對(duì)其彎曲振動(dòng)特性的影響，并以此指導(dǎo)工程中汽車驅(qū)動(dòng)軸的設(shè)計(jì)工作，提升驅(qū)動(dòng)軸的開(kāi)發(fā)效率與質(zhì)量。

1 軸向拉力作用下的彈性桿彎曲模態(tài) 頻率的計(jì)算方法

計(jì)算彈性桿在兩端鉸支且受軸向拉力作用下的彎曲模態(tài)頻率時(shí)，首先需要對(duì)該彈性桿作如下假設(shè)：

(1) 彈性桿在面內(nèi)振動(dòng)和面外擺振不具有耦合性，可以看成平面問(wèn)題來(lái)研究；

(2) 振動(dòng)引起的撓度遠(yuǎn)小于彈性桿的橫向靜載撓度，始終處于小變形范圍內(nèi)。

在此基礎(chǔ)上，考慮彎曲剛度影響，兩端鉸支的彈性桿的受力簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 彈性桿受軸向拉力作用時(shí)的力學(xué)簡(jiǎn)化模型

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理可建立彈性桿在平面內(nèi)的微分振動(dòng)方程為

(1)

式中：E為軸或彈性桿的材料彈性模量，GPa；I為軸或彈性桿的慣性矩，m4；x為沿彈性桿軸向的坐標(biāo)，m；y為彈性桿的徑向振幅，m；F為彈性桿的軸向拉力，kN；m為軸或彈性桿的線密度，kg/m。

在兩端鉸支的邊界條件下，由式(1)可求得彈性桿彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算公式[9]為

(2)

2 轉(zhuǎn)矩作用下軸的等效拉力計(jì)算

由于轉(zhuǎn)矩作用下軸的非線性振動(dòng)現(xiàn)象與軸向拉力下的彈性桿相似，都是由于軸向張力改變，導(dǎo)致彎曲平面內(nèi)恢復(fù)力變化而引起的。因此，首先要對(duì)轉(zhuǎn)矩作用下的軸進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析，求取引起其軸向張力改變的等效拉力，再根據(jù)軸向拉力作用下彈性桿的彎曲模態(tài)頻率計(jì)算方法，推導(dǎo)轉(zhuǎn)矩作用下軸彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算方法。

圖2為一等直徑實(shí)心圓軸在轉(zhuǎn)矩作用下的力學(xué)模型示意圖，圖2(a)為該圓軸原始狀態(tài)，同樣須對(duì)其進(jìn)行假設(shè)：

(1) 圓軸材料各向同性且分布均勻；

(2) 圓軸在彎曲平面內(nèi)振動(dòng)和面外擺振不具有耦合性，可以看成平面問(wèn)題來(lái)研究；

(3) 振動(dòng)引起的撓度遠(yuǎn)小于圓軸的橫向靜載撓度，始終處于小變形范圍內(nèi)；

(4) 圓軸在轉(zhuǎn)矩作用下處于線性形變區(qū)間。

如圖2(a)和圖2(b)所示，沿圓軸的軸線方向，取長(zhǎng)度為l，橫截面積為dr×ds的微桿單元，此處，dr和ds分別為沿徑向和周向的增量。當(dāng)該等直圓軸受到轉(zhuǎn)矩M作用時(shí)，該桿單元長(zhǎng)度被拉伸至l′，如圖2(c)所示，則可得該桿單元所受等效拉力為

(3)

圖2 力學(xué)模型示意圖

式中：r為微桿單元所在位置與軸心線的距離，m；l為軸的長(zhǎng)度，m；φ為軸的扭轉(zhuǎn)角位移，rad。

設(shè)處在與軸心線距離為r的所有桿單元(它們構(gòu)成半徑為r的薄壁圓管單元)受到的拉力和為dTr，則

(4)

根據(jù)式(4)，在[0，R]區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分(R為軸截面半徑，m)，可求得該圓軸所受的等效總拉力為

(5)

(6)

式中：M為軸所受到的轉(zhuǎn)矩，N·m；G為軸材料的切變模量，GPa；Ip為軸的極慣性矩，m4。

將式(6)代入式(5)中，可得到等效總拉力T與軸受到轉(zhuǎn)矩M的關(guān)系為

(7)

當(dāng)轉(zhuǎn)矩M≠0時(shí)，式(7)積分結(jié)果，即圓軸在轉(zhuǎn)矩作用下的等效拉力為

(8)

同理可推得當(dāng)轉(zhuǎn)矩M≠0時(shí)，空心軸管在轉(zhuǎn)矩作用下的等效拉力為

(9)

式中：R0為軸管外圓半徑，Ri為軸管內(nèi)圓半徑。

3 轉(zhuǎn)矩作用下驅(qū)動(dòng)軸的彎曲模態(tài)頻率 計(jì)算方法

將轉(zhuǎn)矩作用下軸所受的等效拉力T代入式(2)，則可獲得圓桿在轉(zhuǎn)矩作用下的彎曲模態(tài)頻率：

(10)

其對(duì)應(yīng)的彎曲模態(tài)頻率為

(11)

將式(8)代入可得M≠0時(shí)實(shí)心圓軸的1階彎曲模態(tài)頻率計(jì)算公式為

(12)

同理，將式(9)代入式(11)即可得到轉(zhuǎn)矩作用下空心軸管彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算公式，這里就不再贅述。

4 計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證上面推導(dǎo)的轉(zhuǎn)矩作用下軸彎曲模態(tài)頻率計(jì)算公式的有效性，針對(duì)某前置前驅(qū)轎車驅(qū)動(dòng)軸，進(jìn)行彎曲模態(tài)的測(cè)試。將驅(qū)動(dòng)半軸安裝于驅(qū)動(dòng)軸靜扭試驗(yàn)臺(tái)上，如圖3所示，運(yùn)用“游動(dòng)錘擊法”進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，通過(guò)靜扭試驗(yàn)臺(tái)改變驅(qū)動(dòng)半軸兩端所受轉(zhuǎn)矩，分別測(cè)取驅(qū)動(dòng)半軸在不同轉(zhuǎn)矩下的1階彎曲模態(tài)頻率。

圖3 驅(qū)動(dòng)半軸靜扭試驗(yàn)臺(tái)

該轎車驅(qū)動(dòng)軸額定轉(zhuǎn)矩約為2kN·m，通過(guò)“游動(dòng)錘擊法”測(cè)試獲取0～2kN·m轉(zhuǎn)矩范圍內(nèi)驅(qū)動(dòng)半軸的1階彎曲模態(tài)頻率；利用式(12)計(jì)算得到驅(qū)動(dòng)半軸在0～2kN·m轉(zhuǎn)矩作用下，1階彎曲模態(tài)隨轉(zhuǎn)矩增大的變化曲線，并將計(jì)算分析結(jié)果與測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 驅(qū)動(dòng)軸試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果

圖4(a)為“游動(dòng)錘擊法”測(cè)試獲得的驅(qū)動(dòng)軸1階彎曲模態(tài)振型；圖4(b)為不同轉(zhuǎn)矩下1階彎曲模態(tài)頻率計(jì)算值與測(cè)試值的對(duì)比?？梢钥闯觯?jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果較好地吻合，相對(duì)誤差不超過(guò)3%，測(cè)試值總體要比計(jì)算值略大。誤差產(chǎn)生的原因主要有兩個(gè)：(1)實(shí)際中軸的材料、約束與數(shù)值計(jì)算時(shí)所使用的參數(shù)存在差異；(2)數(shù)值計(jì)算結(jié)果本身存在誤差，這從轉(zhuǎn)矩為零時(shí)計(jì)算值與測(cè)試結(jié)果的差異可以看出。在實(shí)際使用時(shí)，可以通過(guò)精確核實(shí)軸系材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)尺寸和約束關(guān)系，進(jìn)一步提高計(jì)算結(jié)果的精度。另外，從圖4(b)還可看出，隨著兩端所受轉(zhuǎn)矩載荷的增大，驅(qū)動(dòng)軸1階彎曲模態(tài)頻率逐漸升高，載荷從0增至額定值2kN·m，1階彎曲模態(tài)頻率增幅達(dá)10Hz左右，驅(qū)動(dòng)軸1階彎曲模態(tài)頻率改變對(duì)車輛傳動(dòng)系甚至整車的中低頻NVH性能都將造成不可忽視的影響。

5 結(jié)論

(1) 推導(dǎo)了轉(zhuǎn)矩作用下軸的彎曲模態(tài)計(jì)算方法，并設(shè)計(jì)針對(duì)性實(shí)驗(yàn)對(duì)該計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，該計(jì)算方法較為準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際驅(qū)動(dòng)軸振動(dòng)特性吻合，可以有效用于轉(zhuǎn)矩作用下汽車驅(qū)動(dòng)軸的彎曲模態(tài)頻率的計(jì)算與分析。

(2) 汽車驅(qū)動(dòng)軸所承受的外部轉(zhuǎn)矩會(huì)對(duì)其彎曲振動(dòng)特性產(chǎn)生影響，在線性形變區(qū)間內(nèi)，隨著外部轉(zhuǎn)矩的增大，驅(qū)動(dòng)軸的1階彎曲模態(tài)頻率升高。

[1] BIERMANN, J W. Impact of Side Shaft on the Interior Noise of Cars[C]. International Conference on Noise and Vibration Engineering, Vols 1-8,2005:3343-3352.

[2] NAGULESWARAN S. Vibration and Stability of an Euler-Bernoulli Beam with up to Three-step Changes in Cross-section and in Axial Force[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2003,45(9):1563-1579.

[3] REDDY J N. Nonlocal Theories for Bending, Buckling and Vibration of Beams[J]. International Journal of Engineering Science,2007,45(2):288-307.

[4] 孟浩,劉耀宗,王寧,等.軸向力對(duì)軸系彎扭耦合振動(dòng)特性的影響[J].振動(dòng)與沖擊,2008(10):103-105.

[5] 邢靜忠,柳春圖.剛性土壤上含有軸向力的懸跨管道的靜彎曲和固有頻率[J].工程力學(xué),2011(12):87-91.

[6] 任偉新,陳剛.由基頻計(jì)算拉索拉力的實(shí)用公式[J].土木工程學(xué)報(bào),2005(11):26-31.

[7] 方志,汪建群,顏江平.基于頻率法的拉索及吊桿張力測(cè)試[J].振動(dòng)與沖擊,2007(9):78-82.

[8] 何偉,陳淮,王博,等.復(fù)雜邊界條件下基于頻率法的吊桿張力測(cè)定研究[J].土木工程學(xué)報(bào),2012(3):93-98.

[9] ROY R, CRAIG Jr.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].常嶺,李振邦,譯.北京:人民交通出版社,1996.

Calculation Method for the Bending Modal Frequency ofVehicle Drive Shaft Under the Action of Torque

Wu Yudong1,2, Li Renxian1, Xiang Wei1, Yang Mingliang1& Ding Weiping1

1.SchoolofMechanicalEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031；2.DepartmentofMechanicalEngineering,KULeuven,Belgium3001

The changing law of the bending modal frequency of drive shaft under the action of torque is studied in this paper. Based on the calculation method for the bending modal frequency of elastic bar under the action of axial tension force with a concept of equivalent tension force introduced, the formula for the bending modal frequency of drive shaft under the action of torque is derived, and the calculation for the drive shaft of a specific vehicle is conducted. The results show that with the increase of the torque applied, the first order bending modal frequency of drive shaft rises. Meanwhile a corresponding modal test is also performed, and the above simulation results well agree with test data, demonstrating the correctness of the calculation method proposed.

drive shaft; bending modal frequency; torque; calculation method; equivalent tension force

*高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20100184110002)和中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(SWITU12CX036)資助。

原稿收到日期為2014年11月24日，修改稿收到日期為2015年2月4日。