輸入受限不確定線性系統混合鎮定

林燦煌,孫洪飛(廈門大學信息科學與技術學院,福建廈門361005)

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輸入受限不確定線性系統混合鎮定

林燦煌,孫洪飛*
(廈門大學信息科學與技術學院,福建廈門361005)

摘要:針對輸入受限不確定線性系統,同時考慮其暫態性能和穩態性能,提出了混合穩定的概念和控制策略.使得閉環系統在滿足給定的輸入約束條件下,在給定的時間區間內有限時間穩定,在無窮時間區間上漸近穩定.分別將有限時間控制問題和無窮時間控制問題轉化為線性矩陣不等式(LMI)約束的可行解問題.本質上混合穩定控制器是關于時間的分段函數.為了減緩前后兩個控制器在切換時刻的不連續性所帶來的潛在的抖振,本文通過引入一個時間緩沖得到改進的混合穩定控制器,并通過某高超聲速飛行器再入數學模型仿真,驗證了控制器設計方法的有效性.

關鍵詞:混合穩定;輸入受限;有限時間穩定;漸近穩定;高超聲速飛行器

過去幾十年中Lyapunov穩定性理論受到廣泛研究[1].Lyapunov穩定性關注的是無窮時間區間里系統的穩態性、漸近性,但并不能反映系統的暫態性質.一個在無窮時間內漸近穩定的系統,未必有很好的暫態性能(例如過渡時間可能很長、超調量可能很大),甚至根本無法在實際中應用.為了研究系統在一段時間內的性能,Dorato[2]提出了有限時間穩定的概念.有限時間穩定要求在一個固定的時間區間內,系統的狀態不會超過指定的界限.Amato等[3]針對存在擾動的非線性系統,推廣了有限時間穩定,提出了有限時間有界的概念,得到了系統受到不確定和外部干擾影響情況下,通過狀態反饋保證系統有限時間穩定的充分條件,這一條件隨后利用線性矩陣不等式(LMI)轉化為一個凸優化問題.Amato等[4]對離散線性系統有限時間穩定做了研究.由于實際系統狀態難以測量,Amato 等[5]設計輸出反饋控制器保證系統有限時間穩定或者有限時間有界.除了常規系統外,Amato等[6-7]對跳躍系統、脈沖系統的有限時間控制也做了相應的研究.

實際應用中,控制系統應該具有良好的暫態和穩態性能,為同時保證暫態和穩態性能需要將兩者結合.目前,同時考慮暫態和穩態性能的研究還鮮有報道.

在實際控制系統中,每一個系統的機構執行能力都是有限的,被控對象的實際輸入和控制器的輸出不會總是相等.輸入受限直接影響閉環系統的動態性能,甚至會造成系統不穩定.在Lyapunov穩定意義范疇內,執行器飽和控制系統的設計方法大致可歸為兩大類:直接設計法和抗飽和方法.

直接設計方法:在控制器設計時提前考慮飽和問題,避免飽和的發生.Glattfelder等[8]研究了一個帶飽和執行器的單輸入單輸出系統的穩定性問題,通過采用圓盤定理和Popov穩定性判據來分析飽和系統的穩定性.Mesquine等[9]針對狀態和輸入均受限的不確定系統,基于正不變集概念提出了魯棒狀態反饋控制器設計方法,并將穩定條件轉換為LMI形式.

抗飽和設計方法:首先忽略飽和非線性,設計滿足給定性能指標的控制器,然后以執行機構的輸入輸出差作為抗飽和補償器的輸入,設計補償器弱化飽和的影響.Kothare等[10]提出了抗飽和控制框架,并采用回饋計算和跟蹤策略,即在系統的控制器發生積分飽和期間,引入一個反饋信號來調整控制器的輸出信號,以減少積分飽和問題對系統運行的不利影響,并使系統盡快退出飽和區.基于抗飽和的思想設計控制器需要加入抗飽和補償器,增加了系統的維數,從而增加了計算負擔[10].輸入受限系統的研究基本上均在無窮時間區間上展開.有限時間區間上輸入受限的研究還比較少見.

本文針對具有結構不確定性的線性系統,同時兼顧了系統的暫態性能和穩態性能,設計控制器以使閉環系統按照期望的暫態和穩定指標運行.閉環系統對所有滿足一定假設條件的不確定性,既要求有限時間穩定又要求漸近穩定(本文稱之為混合穩定).在考慮輸入受限影響下,采用直接設計方法設計狀態反饋控制器,利用有限時間穩定的理論設計暫態控制器,利用漸近穩定理論設計穩態控制器,將混合穩定控制器設計成關于時間的分段函數為有限時間穩定控制器,u2為漸近穩定控制器.利用LMI技術,將u1和u2均設計為狀態反饋形式.本研究一方面解決了有限時間區間上輸入受限不確定系統的有限時間穩定的控制問題,另一方面解決了同時考慮系統帶有不確定性和輸入受限約束的情況下如何設計控制器使得系統具有良好的暫態和穩態性能問題.將本文設計的控制器在某高超聲速飛行器的再入非線性數學模型上進行了仿真,結果表明所設計的混合穩定控制器能保證飛行器能以較小的超調量和較快的速度完成某種姿態的鎮定.

1 問題描述

考慮如下不確定線性系統:

其中x∈Rn,u∈Rm分別為系統的狀態向量和輸入.A ∈Rn×n,B∈Rn×m是描述標稱系統模型的已知實常數矩陣.ΔA,ΔB是系統的不定參數矩陣并假設它們是范數有界的,且可寫為如下形式[11]:

其中Δ(t)∈Rd×e是一個滿足Δ(t)TΔ(t)≤I的不確定矩陣,F∈Rn×d,E1∈Re×n,E2∈Re×m是已知的常數矩陣,反映了不確定參數的結構信息.

控制輸入滿足:

下面給出有限時間穩定和混合穩定的概念.

定義1 考慮如下線性時變系統:

對于給定的四元數組(C1,C2,T,R'),其中C1< C2,T>0,0

那么稱該系統關于(C1,C2,T,R')是有限時間穩定的.其中x(0)=x0是系統的初始狀態.

定義2 考慮不確定系統(4),如果系統關于(C1, C2,T,R')是有限時間穩定的,且在無窮時間區間上是LAS(Lyapunov asymptotic stability)的,那么稱系統是混合穩定的.

問題1 本文要解決的問題是設計混合穩定控制器

使得u(t)滿足輸入受限條件(3),系統(1)和控制器(5)構成的閉環系統混合穩定.其中,K(t)為待求的時變狀態反饋增益矩陣.

2 控制器設計

為解決問題1,將K(t)寫成如下形式:

其中K1,K2為常數矩陣.控制器(6)本質上是關于時間的分段函數.u1=K1x的作用是使得閉環系統有限時間穩定,u2=K2x的作用是使得閉環系統漸近穩定.下面分別設計控制器u1和u2.

2.1有限時間控制器設計

首先考慮不確定線性系統(1)的暫態性能要求,設計控制器u1使得閉環系統有限時間穩定.后文推導需要如下引理.

引理1[12]給定適當維數的矩陣Y,D和E,其中Y是對稱的,則Y+DΔ(t)E+ETΔT(t)DT<0對所有滿足ΔT(t)Δ(t)≤I的矩陣Δ(t)成立,當且僅當存在一個ε>0,使得Y+εDDT+ε-1ETE<0.

下面定理給出了系統(1)在滿足輸入受限約束條件(3)情況下,有限時間穩定的一個充分條件.

定理1 如果存在兩個標量ρ>0,ε>0,對稱正定矩陣Q1∈Rn×n和矩陣L∈Rm×n,使得

證明 設V(x)=xT?Q-11x,用V·表示V沿系統(1)軌線的導數:

其中,A1=A+BK1,ΔA1=ΔA+ΔBK1=FΔ(t)(E1+ E2K1)=FΔ(t)E3,由Schur補引理知,式(7)等價于

因此,由式(8)可知xT(t)R'x(t)

設t1≤t2,則dt1≤dt2,就有εt1?εt2,可得到關系式∪t∈[0,T]εt=εT.

下面證明在給定的有限時間內,系統控制輸入總是滿足輸入受限約束條件(3).因為u=L?Q-11x,所以

將定理1轉化為如下基于LMI的可行解問題.

定理2 給定正數ρ>0,如果存在標量ε>0,對稱正定矩陣Q1∈Rn×n和矩陣L∈Rm×n,使得式(7)和下列LMI成立:

因此當式(19)成立,就可以保證式(9)成立.因此定理2滿足定理1,由定理1可知閉環系統有限時間穩定且控制輸入滿足式(3).證畢.

2.2漸近穩定控制器設計

考慮不確定系統(1)的穩態性能,設計控制器u2和初始狀態的允許集合Ω使得閉環系統漸近穩定且對于從任意初始條件x(T)=x0∈Ω出發的狀態x(t),都有控制輸入u2=K2x滿足輸入約束條件(3).

引理2[13]如果存在正定對稱矩陣P∈Rn×n,K2∈Rm×n,常數ε>0,使得

那么,在不考慮輸入受限情況下,系統(1)連同控制器u2=K2x所構成的閉環系統漸近穩定.給出如下定理用于解決考慮輸入受限情況下的漸近穩定控制器設計問題.

定理3 如果存在矩陣Q=QT>0,Y∈Rm×n,常數ε>0使得

其中Yi是矩陣Y的第i行.

那么一定存在初始狀態的允許集合Ω和狀態反饋控制器u2(t)=YQ-1x(t)使得系統(1)連同該控制器所構成的閉環系統漸近穩定,且當x(T)∈Ω時,對任何t≥T系統輸入滿足約束條件(3).

證明 設V(x)=xTPx,其中,P=Q-1,沿系統(1)的軌跡求導得由Schur補引理可知式(22)等價于式(21),因此當式(22)成立時,有式(21)成立.

由引理1知,式(24)等價于P[A+BK2+DΔ(t) (E1+E2K2)]+[A+BK2+DΔ(t)(E1+E2K2)]TP <0,即

其中,Q=P-1,Yi=KiQ.

因此當條件(22),(23)滿足時,存在一個狀態反饋控制器u2=K2x,使得從任意初始條件x(T)=x0∈Ω出發的狀態x(t)都有控制輸入u2=K2x滿足收入受限約束條件(3),且系統(1)連同該控制器所構成的閉環系統漸近穩定.證畢.

2.3混合穩定控制器設計

定理4 給定正數ρ>0,如果存在2個標量ε> 0,ε1>0對稱正定矩陣Q∈Rn×n,Q1∈Rn×n和矩陣L ∈Rm×n,Y∈Rm×n使得(7)～(19),(22)～(23)和下列LMI成立:

那么系統(1)存在一個混合穩定控制器u(t)=

使得系統(1)連同該控制器所構成的閉環系統是混合穩定的,且系統輸入滿足輸入受限約束(3).

證明 由定理2和定理3可知,條件(7),(18), (19)保證了輸入受限情況下,閉環系統有限時間穩定.條件(22),(23)保證了輸入受限情況下,閉環系統漸近穩定.因此只需指出:當控制器從K1x切換到K2x時,系統的初態在Ω內,即,該條件可由式(26)來保證.證畢.

2.4 改進控制器設計

由于定理4給出的混合穩定控制器本質是切換控制器.在t=T時刻,由于控制輸入的不連續性會導致系統狀態出現跳變甚至抖振,從而影響系統的性能.為了消弱跳變的影響,需要對混合穩定控制器(5)進行改進.基本思想是:引入一個小的時間段作為前后兩個控制器切換的緩沖,也就是切換不是在T時刻完成,而是需要經過一小段時間來完成.為此,將控制器改寫為u=K(t)x.

需要注意的是緩沖時間應盡可能少,使得漸近穩定控制器盡量快速工作.但是時間過少也可能產生抖振,故需結合仿真結果進行判斷,并無一般原則.

3　數值仿真

以某高超聲速再入飛行器為例驗證本文所提出控制方法的有效性.高超聲速再入飛行器模型[14]如下:

其中,Ω=[α,β,μ]T,α,β,μ表示攻角、側滑角和傾斜角;w=[p,q,r]T,p,q,r分別為滾轉角速度、俯仰角速度、偏航角速度;δ=[δe,δa,δr]T為氣動舵面偏轉角.fs,gs,f1,g1,g2表達式參考文獻[14].控制輸入[15]滿足:

本節控制目的是考慮不確定和輸入受限影響下,設計混合控制器使得過渡時間在700 s內,超調量不超過10%.α,β,μ3個姿態角分別穩定在平衡點α*, β*,μ*.平衡點處狀態x*=[α*,β*,μ*,p*,q*, γ*]T=(4.784,-0.002 5,1.589 7,0,0,0)T和輸入u*= [δ*e,δ*α,δ*r]T= (0.357 8,-0.752 8, 4.022 3)T.將高超聲速飛行器再入模型(28)在平衡點(x*,u*)線性化,誤差系統為:

?x=[A+ΔA(t)]x(t)+[B+ΔB(t)]u(t),(30)其中,x=[α,β,μ,p,q,r]T-x*,u=[δe,δα,δr]T-u*.輸入ui滿足:-30°-u*i≤ui≤30°-u*i,i=1,2, 3.矩陣A,B具體數值參考附錄.ΔA(t),ΔB(t)表示由于線性化和參數攝動所引起的誤差.ΔA(t),ΔB(t)分別滿足‖ΔA(t)‖≤0.2,‖ΔB(t)‖≤0.2,將ΔA(t),ΔB(t)寫成式(2),其中:

為了實現控制目的,選取(C1,C2,T,R')=(10,11, 700,I6×6).給定ρ=4.8,設緩沖時間t12=10.由定理4可得狀態反饋控制器增益K1,K2,具體數值參考附錄,由此可得到混合穩定控制器u.分別將氣動力矩參數和慣量系數拉偏20%,對得到的控制器在高超聲速再入非線性模型(28)進行仿真.得到仿真結果如圖1～3所示.為了更好地說明混合穩定控制器的優越性,對式(28)分別使用混合穩定控制器和漸近穩定控制器,得到圖4在兩個不同控制器作用下的攻角變化曲線.

圖1　三姿態角變化曲線Fig.1 Response curves of attitude angles

由仿真結果圖可以看出,高超聲速飛行器在不確定和輸入受限情況下,三姿態角最終收斂到平衡點,系統的狀態不超過指定的界限,超調量小且再入全過程滿足輸入受限約束條件.且由圖4可以看出單獨使用漸近穩定控制器,攻角變化曲線過渡時間長,超調量大.這說明本文設計的混合穩定控制器方法的有效性和優越性,保證了高超聲速飛行器的暫態性能和穩態性能.

圖2　控制力矩變化曲線Fig.2 Curves of control inputs

圖3　xTRx變化曲線Fig.3 Curve of xTRx

圖4　分別使用混合穩定控制器和LAS控制器攻角變化曲線Fig.4 Curves of attack angles under mixed controller and LAS controller

4 結 論

本文針對具有范數有界參數不確定性且輸入受限的不確定系統提出了混合穩定的概念.分別給出了閉環系統有限時間穩定和漸近穩定的充分條件,將這些條件轉化為求解LMI.本質上混合穩定控制器是關于時間的分段函數.為了減緩前后兩個控制器在切換時刻的不連續性所帶來的潛在的抖振,通過引入一個時間緩沖得到改進的混合穩定控制器.高超聲速再入飛行器仿真結果表明,在參數不確定和輸入受限影響的情況下,該控制方案達到了預期的暫態性能和穩態性能的要求.飛行器系統姿態控制過程中超調量小,且全過程控制輸入幅值不超過給定的界限.

附 錄

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Mixed Stabilization of Uncertain Linear Systems with Input Constrains

LIN Canhuang,SUN Hongfei*
(School of Information Science and Engineering,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In view of the transient and steady performance,we propose a mixed-stability-control scheme for the uncertain linear systems with input constraints.This scheme guarantees both the finite-time stability and the asymptotic stability in the sense of Lyapunov for the closed-loop system.The control problem is expressed as a feasibility counterpart of linear-matrix-inequality(LMI)constraints.The mixed controller is a piecewise function of time,and thus potentially causes the transient jump due to the discontinuity of the controller at the switching time.For the purpose ofretarding the vibration,this paper introduces a time-interval buffer to modify the mixed controller.Finally,the numerical simulation applied to the mathematical model of a reentry hypersonic vehicle shows the validity of the proposed approach.

Key words:mixed stability;input constraints;finite-time stability;asymptotic stability;hypersonic vehicle

*通信作者:sunhf@xmu.edu.cn

基金項目:國家自然科學基金(61273153,61374037)

收稿日期:2015-07-16 錄用日期:2015-09-21

中圖分類號:TP 273

文獻標志碼:A

文章編號:0438-0479(2016)02-0244-07

引文格式:林燦煌,孫洪飛.輸入受限不確定線性系統混合鎮定[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(2):244-250.

Citation:LIN C H,SUN H F.Mixed stabilization of uncertain linear systems with input constrains[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(2):244-250.(in Chinese)