高純度分餾塔的建模及其非線性控制

黃江茵,趙 晶(廈門理工學院電氣工程與自動化學院,福建廈門361024)

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高純度分餾塔的建模及其非線性控制

黃江茵*,趙 晶
(廈門理工學院電氣工程與自動化學院,福建廈門361024)

摘要:以高純度分餾塔為對象,研究其建模及控制策略.以變參數線性(LPV)動態模型結構為基礎,分別對多項式權重和高斯權重進行改進.采用帶約束的多項式權重,構造拉格朗日函數進行參數尋優,避免LPV模型增益符號的錯誤;將高斯函數改進為分段形式,使其能夠應用于工作點非均勻分布的系統.分餾塔產品純度輸出擬合和階躍響應曲線對比結果顯示,基于上述2種權重函數的LPV模型均能夠較好地擬合系統輸出,最優匹配率達到74%以上,并符合實際對象階躍響應特征.基于所建LPV模型設計非線性內模PID控制器,給出工作點上局部線性模型及控制器參數關系式,采用與辨識LPV模型時相同的方法對局部控制參數進行插值計算.仿真控制結果顯示該方法能夠有效地將2個輸出控制在設定范圍內,且具有參數整定簡便,抗干擾性強的優點.

關鍵詞:高純度分餾塔;變參數線性模型;非線性PID控制

分餾塔是對混合揮發液體進行分餾的一種化工設備,是石油煉制企業中最常見的重要設備之一.高純度分餾塔是典型的具有“病態、方向性”特征的非線性系統,對其進行辨識和控制一直是工業界和學術界的難點.當產品純度接近100%時系統會進入飽和狀態,產品的純度越高,非線性程度越大[1].

由于分餾塔的運行原理明晰,大多數對分餾塔的建模研究都是根據物料平衡原理構建機理模型[2-3],但此類模型變量多,方程復雜,不適合用于實際工業系統的實時控制中.對分餾塔的先進控制方法,包括預測控制[4]、模糊PID控制[5]等,均基于近似線性模型,一定程度上影響了控制精度.若基于機理模型或者非線性模型,將大大增加優化計算的難度和耗費時間.本文采用改進權重函數的變參數線性(LPV)模型對高純度分餾塔進行建模,提出非線性內模PID控制策略并進行仿真,獲得了較好的輸出擬合和控制效果.

1 高純度分餾塔建模

1.1雙操作LPV模型的改進

近年來LPV模型常被用于工業非線性系統的建模中[6].它的主旨思想是用一個基于“操作變量(scheduling variable)”的動態模型來表示非線性系統.該操作變量要求能夠直接反映系統的運行特性.并且,其值可以實時測量,或者由其他變量計算得到,對于絕大多數工業系統,都可以找到符合上述條件的操作變量.式(1)是LPV模型的狀態空間形式,w(t)是其操作變量,狀態空間矩陣A,B,C,D都是w(t)的函數.

其中:x(t)為系統狀態變量x(t)為其一階導數;y(t)為系統輸出;u(t)為系統輸入.

LPV模型的辨識方法眾多,包括正交基函數形式模型[7]辨識、傳遞函數形式模型[8]辨識等.大多數方法都采用極小化模型輸出誤差的方法進行參數優化,盡管能達到較好的擬合效果,卻很難保證LPV模型的穩定性.原因在于難以確保整體模型的閉環特征根在w(t)的整個變化區間內始終處于復頻域s左半平面.為克服此問題,Huang等[9]提出了一種基于局部線性模型插值的雙操作變量LPV模型.以多輸入單輸出系統為例,定義w1(t)和w2(t)分別為系統的兩個操作變量,假設該系統運行軌跡上共有n1×n2個相對穩態、對應的工作點,即操作變量值為:

工業過程在穩態階段的模型可以近似為線性模型,若上述工作點上,系統辨識得到的線性模型為

則LPV模型可由上述局部線性模型插值得到

其中,模型權重αi,j(w1,w2)是關于兩個操作變量的實函數.根據線性模型的疊加定義可知,式(3)采用的模型結構,只要局部模型穩定,整體LPV模型也穩定.局部模型可以采用傳統的線性模型辨識方法獲得.文獻[9]中分別采用了線性、多項式和高斯函數進行了比對,并得出多項式權重由于無法保證權重值在[0, 1]范圍內變化,雖然擬合誤差可以很小,在階躍響應上卻可能出現增益符號錯誤的現象;高斯函數待定參數少,且能夠通過歸一化處理限制權重值,但高斯函數的對稱性使其只能用于工作點均勻分布的對象中.針對多項式權重和高斯函數的局限性,可以對其分別作增加約束、分段優化的改進.

1.1.1帶約束的多項式權重函數

以三階多項式函數為例,雙操作變量LPV模型權重函數可以表示為:

針對此問題,有必要在求解θ時,對權重值增加約束,即求解如下最優化方程:

上述命題為帶線性約束條件的線性規劃問題,且同時含有等式和不等式約束.引入拉格朗日乘子和松弛因子,可將其改寫為無約束問題進行求解.求解步驟如下:

1)引入(n1×n2)個松弛因子γi,j>0,將不等式約束αi,j(w1,w2)≥0改寫為等效的等式約束-αi,j(w1,w2)+γ2i,j=0,(i=1,2,…,n1;j=1,2, …,n2);同時引入(n1×n2)個拉格朗日乘子λi,j作為上述等式約束的權重因子.

經過上述處理,已將式(5)中帶約束條件的優化命題改寫為無約束的線性規劃問題,考慮待定參數與優化目標呈線性關系,可直接采用最小二乘法進行求解.

1.1.2分段高斯權重函數

傳統高斯權重函數如下所示:

其中,σ1i,j和σ2i,j為分離系數,可簡單地設定為相鄰工作點之差的1/3,也可通過極小化輸出誤差尋優獲得.

經過歸一化處理,高斯權重值將在[0,1]范圍內變化,保證了插值后LPV模型增益方向的正確性.但是,高斯函數圖像本身具有對稱性,要求建模對象的工作點均勻分布,這一缺陷使其在實際應用中存在較大局限.為解決此問題,可以將高斯函數沿著工作點寫成分段函數,每一段用不同的分離系數,即將式(7)改寫為:

若希望進一步提高LPV模型的擬合精度,也可沿用極小化輸出誤差,采用牛頓法、最速下降法等尋優計算各分離系數.

1.2高純度分餾塔模型LPV模型辨識

高純度分餾塔有很多簡化機理模型,其中最為經典的為Skogestad提出的回流-再沸(LV)運行模式模型[10],該模型以其模型準確、仿真簡便,廣泛地用于高純度分餾塔建模和控制研究[11-12].LV運行模式中,兩個操作變量分別為回流速度vLT和再沸器流速vVB;兩個被控變量分別是頂部產品純度wD和底部產品雜質wB;同時有3個干擾變量:進料速度vF、進料中輕組分的摩爾分數xF,以及進料純度wF.Skogestad已將該機理模型形成MATLAB文件并公開化,用戶可直接下載,進行仿真和相關研究.圖1為該模型結構簡圖.

通過對高純度分餾塔仿真模型的階躍響應測試,結合參考文獻對該模型運行特性的介紹,可知進料速度vF的改變是激發分餾塔非線性特性的重要因素,另外,頂部產品純度wD是生產過程中最重要的質量評價指標.因此,先選擇vF和wD作為LPV模型的2個操作變量.為簡化模型,xF和wF維持恒值不變.模型的控制變量(輸入)為vLT,vB;被控變量(輸出)為wD,wB;擾動變量為vF.

圖1　高純度分餾塔LV運行模型示意圖Fig.1 LV model structure of high purity distillation column

仿真辨識過程共選擇5×3=15個局部穩態工作點,由于vF的改變對系統運行影響較大,在vF上選擇了均勻分布的5個工作點;考慮到隨著wD的純度升高,系統的非線性程度也變得越明顯,在wD上選擇3個非等間隔的工作點.15個工作點上對應的操作變量值vF分別為0.8,0.9,1.0,1.1,1.2;wD分別為95%, 98%,99%.

系統在其中6個工作點上的階躍響應曲線如圖2所示.從圖中可以看出,系統在各個工作點上的階躍響應曲線增益方向相同,但幅值卻有較大差別.這2個特點使采用基于局部線性模型插值的LPV模型對高純度分餾塔進行建模成為可能.

辨識實驗共進行50 000 min,采樣時間為1 min.假設實驗過程中vF和wD的變化軌跡如圖3所示.

辨識數據采集過程中,控制器未工作.為獲得包含較多系統特性的辨識數據,輸入端vLT和vVB上疊加上了廣義二進制噪聲(GBN)實驗信號[13],信號的轉換時間為50 min.同時,為了模擬實際工業系統在運行中的可測和不可測擾動,分別在輸入和輸出端疊加了如下擾動:

1)輸入vF上疊加濾波白噪聲序列,幅值為GBN信號的30%,濾波器為1/(1-0.8q-1)(q-1為單位延遲算子).辨識實驗過程中,該信號作為擾動疊加在vF上,但辨識時不進行采集,用來模擬vF上的不可測噪聲.

2)輸出wB和wD上分別疊加波動幅度為1%的白噪聲信號,并進行采集,模擬系統輸出端的可測噪聲.

圖2　工作點處實際系統階躍響應曲線Fig.2 Step responses of the real process at working points

圖3　操作變量vF和wD的變化軌跡Fig.3 Trajectory of the scheduling variables vFand wD

圖4　辨識實驗數據Fig.4 Identification test data set

wD既是系統操作變量,又是輸出變量.在實驗過程中由于疊加了擾動信號、GBN信號,導致wD實際數據與圖2設計的軌跡略有區別,但并不影響后續的辨識算法.辨識實驗采集到的數據如圖4所示.

文獻[14-15]采用最大期望算法,以模型權重作為隱藏變量,迭代期望值以估計最大似然函數,從而同時對局部線性模型參數及權重參數進行尋優.該方法優勢在于無需對局部模型動態特征有充分了解,可直接從系統的輸入輸出數據構建LPV模型.首先嘗試用該方法對高純度分餾塔進行建模.實驗獲得了較好的輸出擬合結果,但所獲的15個局部線性模型中,有8個出現不穩定現象.究其原因,該算法在迭代時未考慮局部模型特征根變化趨勢,導致出現輸出誤差小,模型卻不穩定的情況.由此可見,工業非線性系統建模是一個十分復雜的過程,衡量非線性系統建模算法是否有效,除了對輸出擬合做評價外,還需驗證在典型工作點處,所建模型是否符合實際對象動態特征.

采用本文提出的算法進行LPV模型辨識,分別截取各工作點附近的數據,用漸進辨識法[16]獲得局部線性模型,再分別采用帶約束的多項式權重以及分段高斯權重,對上述15組線性模型進行插值計算,構造整體LPV模型.圖5為15個工作點上各線性模型的分段高斯權重.圖中可看出,所有的權重值均在[0,1]范圍內,且呈規律性變化,在每一個工作點處,其對應局部線性模型的權重達到峰值1,隨著操作變量漸漸偏離工作點,該權重值則平穩減小,直至等于0.

圖5　分段高斯權重Fig.5 Segmented Gaussian weights

系統實際輸出和LPV模型輸出對比如圖6,7所示.帶約束多項式權重LPV模型的最優匹配率p為wB:84.2%,wD:91.7%;分段高斯權重LPV模型的p分別為wB:78.6%,wD:89.4%.可看出多項式權重獲得略高的輸出擬合精度.[wF,wD]=[0.85, 0.96]時實際系統和LPV模型的階躍響應如圖8所示.從圖6～8可以看出,2種權重的LPV模型都獲得了較好的輸出擬合度,階躍響應曲線也與實際系統較為吻合.

2 高純度分餾塔控制

2.1基于LPV模型的非線性內模PID控制

雖然LPV模型的辨識方法的研究層出不窮,但是針對該模型的先進控制算法卻較少人涉獵.原因一方面在于LPV模型的非線性時變特性,大大增加了先進控制算法中預估系統輸出以及控制約束方程的尋優難度[17],時常無法獲得局部收斂的最優解;另一方面,復雜的尋優方法需耗費較長的求解時間,在實際應用時不符合實時控制要求.針對此問題,本文利用PID控制器魯棒性強、參數個數少、整定方便等顯著優點,采用非線性內模PID策略,對高純度分餾塔進行控制仿真.首先基于辨識得到的局部線性模型推知局部內模控制器參數,隨后以建模時相同的操作變量為自變量,構建權重函數對局部PID參數進行插值,使控制參數在整個操作軌跡上實現動態平滑過渡,獲得較好的控制效果.

圖6　實際系統輸出和多項式權重LPV模型輸出對比Fig.6 Comparison of the outputs of real process and LPV model with polynomial weight

圖7　實際系統輸出和高斯權重LPV模型輸出對比Fig.7 Outputs of real process and LPV model with Gaussian weight

內模控制(internal model control,IMC)是基于過程的數學模型進行控制器設計的控制策略.該控制器由內模控制器以及過程模型構成,其等效傳遞函數為:

圖8　[vF,wD]=[0.85,0.96]時實際系統和LPV模型階躍響應對比Fig.8 Step responses of real process and LPV model at[vF,wD]=[0.85,0.96]

其中,GIMC(s)為內模控制器,GP(s)為被控對象辨識模型.進行控制器設計時,首先將GP(s)分解為全通部分和最小相位部分,GIMC(s)由最小相位部分和一低通濾波器串聯而成.低通濾波器參數為唯一需設計的參數[18].

第1.2節辨識得到了分餾塔15個工作點上的局部線性模型.假設各模型具有相同的滯后環節,且可近似表示為如下一階形式:

首先將滯后環節進行一階Pade近似,即

將式(12),(13)代入式(11),并用一階濾波器F(s)=整理化簡得各工作點上的局部控制器傳遞函數為:

其中下標P,I,D的含義分別對應于比例、積分、微分.

與第1.2節中辨識LPV模型的思路相同,以雙操作變量為例,基于LPV模型的非線性內模PID控制可以通過下列步驟完成:

1)在系統的各個穩態階段,整定內模PID控制器的局部參數λi,j并根據公式(15)計算(i=1,2,…,n1;j=1,2,…,n2).

2)以選定的操作變量為自變量,設計函數計算各局部控制參數的權重,插值后獲得基于LPV模型的非線性PID控制器參數.

其中αi,j(w1,w2)是以w1(t)和w2(t)為自變量的歸一化權重函數.權重函數同樣可以采用線性函數、高斯函數以及多項式函數等常見的擬合函數.除了線性函數以外,高斯、多項式函數中均含有待定參數,可以通過最速下降法求解如下輸出極小化問題進行尋優:

其中,r(t)為設定值,y(t)為閉環系統輸出,u(t)為非線性PID控制器輸出,(s,w1,w2)為被控對象LPV模型,N為樣本空間容量.

2.2高純度分餾塔控制仿真

基于第1.2節中獲得的LPV模型,對高純度分餾塔進行非線性內模PID控制仿真.vLT主要用于保證wB盡量接近0;vVB則用于控制wD使其保持較高精度.首先通過辨識得到的局部線性模型,整定15組工作點上的一階濾波器參數λi,j,后根據式(16)進行插值計算非線性PID控制器參數.控制仿真共進行5 000 min,采樣時間為1 min.與第1.2節相同,輸入vF變化范圍為0.8～1.2 kmol/min,并疊加了不可測擾動信號,輸出wD和wB端上疊加可測擾動信號.兩個非線性PID控制器分別通過調整vLT和vVB,使產品wD和wB保持在較高的純度上.wB的設定值為99%,wB的設定值為1%.圖9對比了傳統PID以及非線性內模PID的仿真控制結果.從圖中可以看出,傳統PID控制器參數恒定,無法適應分餾塔整個運行軌跡.隨著vF的變化2個輸出都出現了偏離設定值的現象;而采用本節提出的非線性內模PID控制算法則能夠使2個輸出都在設定值附近波動,獲得了較好的控制效果.

3 結 論

本文主要研究高純度分餾塔這一典型非線性工業系統的建模和控制.選擇vF和wD作為操作變量,分別采用基于改進的多項式和高斯權重的LPV模型對其進行建模.對傳統多項式權重函數增加約束以限制權重值大小,引入拉格朗日乘子將約束優化命題轉為無約束優化,進行參數尋優計算;將高斯函數寫為分段形式,使LPV模型能夠用于工作點非均勻分布的建模對象.通過比較實際系統和LPV模型的輸出以及階躍響應曲線,證實2種改進權重后的LPV模型不僅能夠獲得較好的擬合效果,同時也可以保證階躍響應與實際系統吻合,克服了傳統多項式權重LPV模型增益符號容易出錯的缺點.設計基于LPV模型的非線性內模PID控制器,給出局部模型與內模PID控制參數關系式.首先整定局部濾波器參數,計算局部控制參數后進行插值,獲得整體非線性PID控制器參數.仿真控制結果表明該控制方法能夠將高純度分餾塔的2個產品都控制在較高的純度范圍內,達到了良好的控制效果.

圖9　傳統PID及非線性內模PID控制效果對比Fig.9 Control efforts comparison of traditional and IMC nonlinear PID controller

參考文獻:

[1] LINHART A,SKOGESTAD S.Reduced distillation models via stage aggregation[J].Chemical Engineering Science,2010,65(11):3439-3456.

[2] 侯潁,張貝克,馬昕.三元物系共沸精餾塔建模與仿真[J].計算機仿真,2014,31(1):247-252.

[3] 樊少冬,張金橋,謝賢金,等.含氮天然氣液化脫氮精餾塔液位控制模型和仿真[J].自動化與儀器儀表,2015,175 (5):187-190.

[4] 何仁初,印大偉,侯明輝,等.基于MATLAB/Simulink的乙烯精餾塔多變量預測控制仿真研究[J].工業控制與應用,2014,33(5):37-43

[5] 潘海鵬,楊兆海,任佳.模糊自調整PID的精餾塔參考模型解耦控制研究[J].計算機與應用化學,2011,28(7): 851-854.

[6] HUANG J Y,JI G L,ZHU Y C.Identification and MPCcontrol of a circulation fluidized bed boiler using an LPV model[C]∥Proceeding of the 9th International Symposium on Dynamics and Control of Process Systems. Belgium:IFAC,2010:853-858.

[7] ROLAND T,HEUBERGER P S C,VAN DEN HOF P M J.Asymptotically optimal orthonormal basis functions for LPV system identification[J].Automatica,2009,45 (6):1359-1370.

[8] LAURAIN V,GILSON M,TOTH R,et al.Refined instrumental variable methods for identification of LPV Box-Jenkins models [J].Automatica,2010,46(6): 959-967.

[9] HUANG J Y,JI G L,ZHU Y C,et al.Identification of

multi-model LPV models with two scheduling variables

[J].Journal of Process Control,2012,22(7):1198-1208. [10] SKOGESTAD S.Dynamics and control of distillation columns:a tutorial introduction[J].Chemical Engineering Research and Design,1997,75(6):539-562.

[11] BACHNAS A A,TOTH R,LUDLAGE J H A,et al.A

review on data-driven linear parameter-varying modeling approaches:a high-purity distillation column case study [J].Journal of Process Control,2014,24(4):272-285. [12] BISWAS P P,RAY S,SAMANTA A N.Nolinear control of high purity distillation column under input saturation and parametric uncertainty[J].Journal of Process Control,2009,19(1):75-84.

[13] LJUNG L.System identification:theory for the user [M].Upper Saddle River:Prentice-Hall,NJ,1987: 834-835.

[14] CHEN L,ADITYA T,HUANG B,et al.Multiple model approach to nonlinear system identification with an uncertain scheduling variable using EM algorithm [J]. Journal of Process Control,2013,23(10):1480-1496.

[15] JIN X,HUANG B,SHOOK D S.Multiple model LPV approach to nonlinear process identification with EM algorithm[J].Journal of Process Control,2011,21(1): 182-193.

[16] ZHU Y C.Multivariable system identification for process control[M].London:Elsevier Science,2001: 183-196.

[17] PARK J H,KIM T H,SUGIE T.Output feedback model predictive control for LPV systems based on quasi-min-max algorithm[J].Automatica,2011,47(9): 2052-2058.

[18] 劉紅軍,韓璞,孫海蓉,等.基于內模控制的PID控制器的設計[J].計算機仿真,2004,22(3):207-210.

Modeling and Nonlinear Control for a High Purity Distillation Column

HUANG Jiangyin*,ZHAO Jing
(School of Electrical Engineering and Automation,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

Abstract:This paper studies the modeling and control strategy for a high purity distillation column,which involves a complex nonlinear industrial process.The linear-varying-parameter(LPV)models based on polynomial and Gaussian weight are improved.A constrained polynomial function is used to avoid sign errors in LPV model's gain.Parameters are estimated by Lagrange method.The LPV model with segmented Gaussian function can be used in the system which contains non-uniform distribution working points. Comparisons of the distillation column's outputs and step response curves show that both LPV models with polynomial and Gaussian weighting function can obtain good fittings of process outputs and step responses,with all best fit percentage being greater than 74%. Nonlinear IMC based PID controller based on LPV model is also developed.The relations between local models and control parameters are derived,and then control parameters are interpolated as the same way as LPV model.The results of simulation control show the proposed method achieves good control effects with respect to small output errors,and enjoys the advantage of simple tuning and anti-interference abilities.

Key words:high purity distillation column;linear parameter varying(LPV)model;nonlinear PID control

*通信作者:jiangyinhuang@xmut.edu.cn

基金項目:福建省自然科學基金(2015J01275);廈門理工學院對外科技合作與交流專項(E201400900,E201401400)

收稿日期:2015-04-23 錄用日期:2015-07-23

doi:10.6043/j.issn.0438-0479.2016.02.018

中圖分類號:TP 273

文獻標志碼:A

文章編號:0438-0479(2016)02-0251-08

引文格式:黃江茵,趙晶.高純度分餾塔的建模及其非線性控制[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(2):251-258.

Citation:HUANG J Y,ZHAO J.Modeling and nonlinear control for a high purity distillation column[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(2):251-258.(in Chinese)