抵御任意故障的H₂動態輸出反饋可靠控制研究

彭娜 姚波 王福忠

摘要：針對線性系統，基于線性矩陣不等式（LMI），給出具有抵御任意故障的H₂動態輸出反饋控制器的設計方案，所得到的結論不僅是能抵御執行器或傳感器任何一類部件發生故障的完整性設計方案，而且能使系統達到給定的H₂性能指標。使用比離散故障模型更具有實際意義的連續故障模型.一個數值例子說明所提方法的有效性。

關鍵詞：任意故障動態輸出；線性系統；線性矩陣不等式（LMI）

中圖分類號：O231.1文獻標識碼：A

1引言

可靠控制是指針對系統部件可能發生的故障考慮在控制器設計過程中，所得到的可靠控制器可使閉環系統無論部件是否出現故障都能保持漸近穩定性和一定的性能指標。到目前為止，人們對于可靠控制的研究已經取得了很大的進展，文獻[1，2]利用離散故障模型分別給出了考慮執行器故障和傳感器故障的可靠控制器設計。文獻[3]使用連續故障模型，給出了更實用的可靠控制器的設計方法。文獻[4]基于LMI方法給出了抵御傳感器故障的動態輸出H2可靠控制器的設計。文獻[5]研究了具有執行器故障的時變系統H₂/H∞可靠控制器設計問題。然而，這樣的可靠控制器并不能真正的保證系統的可靠。對于抵御傳感器故障的可靠控制器，傳感器沒有發生故障而執行器發生了故障，可使系統失去穩定性；另一方面，抵御執行器故障的可靠控制系統發生了傳感器故障，系統也將失去穩定性。迄今為止，人們對于抵御任意故障的可靠控制器的研究還不是十分廣泛，文獻[6]給出了考慮傳感器或執行器任何一類部件發生故障的完整性設計方案。

本文使用連續故障模型，基于LMI給出了抵御任意故障的動態輸出反饋H2可靠控制器存在的充分條件，并給出了其設計方法。

2問題描述

考慮如下線性系統：

（t）=Ax（t）+B1ω（t）+B2u（t）z（t）=C1x（t）+D1u（t）y（t）=C2x（t）.（1）

其中x（t）∈Rn為系統狀態變量，y（t）∈Rm是系統測量輸出，u（t）∈Rm為控制輸入，ω（t）∈Rl為平方可積的系統外部有界擾動輸入，z（t）∈Rr是系統被控輸出，A，B1，B2，C1，C2，D1為適當維數的常值矩陣。

對于系統（1），給出動態輸出反饋控制器

·（t）=AK（t）+BKy（t）u（t）=CK（t）.（2）

傳感器故障模型描述如下

yf（t）=Fsy（t）.（3）

故障處理：

Fs=diag（fs1，fs2，…，fsm），si≤fsi≤si0≤si≤1，si≥1，si≠si，（i=1，2，…，m）jsi=si-sisi+si，fsi0=12（si+si），lsi=fsi-fsi0fsi0

對于傳感器故障矩陣可以得到如下關系：

Fs=Fs0（I+Ls），Ls≤Js≤I

執行器故障模型描述如下

uf（t）=Fau（t）.（4）

故障處理：

Fa=diag（fa1，fa2，…，fap），ai≤fai≤ai0≤ai≤1，ai≥1，ai≠ai，（i=1，2，…，p）jai=ai-aiai+ai，fai0=12（ai+ai），lai=fai-fai0fai0

對于執行器故障矩陣可以得到如下關系：

Fa=Fa0（I+La），|La|≤Ja≤I

由系統（1），控制器（2）和故障模型（3）（4）構成了閉環系統，描述如下

·（t）=Ac（t）+Bcω（t）z（t）=Cc（t）.（5）

計算技術與自動化2016年3月

第35卷第1期彭娜等：抵御任意故障的H₂動態輸出反饋可靠控制研究

其中

（t）=x（t）（t），Ac=AB2CkBkFsC2Ak，Bc=B10，Cc=C1D1Ck.

引理1[4]：對于系統（5），標量γFs>0和傳感器故障模型（3），如果存在矩陣，，以及正定矩陣X>0，Y>0，適當參數α>0，使得下列LMIs

1+AT3T40

T+AT2CT1W21（α）W22（α）

3C1-I00

4WT21（α）T0-I0

0WT22（α）T00-I<0

XI

IY>0

∑li=1（0…ei…0）（BT1YB1）（0…ei…0）T<（γFs）2

其中

1=AX+XAT+B2+（B2）T

2=ATY+YA+FsC2+（FsC2）T

3=C1X+D1

4=WT11（α）C2X

有可行解（，，，X，Y），則系統存在考慮傳感器故障的可靠H₂控制器（2），相應參數矩陣可由下式確定

AK=N-1（T-YAX-C2X-YB2）（MT）-1BK=N-1CK=（MT）-1

矩陣M，N，W11（α），W21（α），W22（α）由下式確定，正標量α為適當參數。

I-XY=MNT，（6）

αFs0JsFs0Fs0-IFs0-Iα-1Js=W11（α）0W21（α）W22（α）（7）3主要結論

定理1：對于系統（5），標量γFs>0，γFa>0和故障模型（3）（4），如果存在矩陣，，以及正定矩陣X，Y，適當參數α>0，β>0，使得下列LMIs

1+AT3T40

T+AT2CT1W21（α）W22（α）

3C1-I00endprint

4WT21（α）T0-I0

0WT22（α）T00-I<0

Ω1+AΩT3ΩT40

T+ATΩ2CT100

Ω3C1-ID1U21（β）D1U22（β）

Ω40UT21（β）DT1-I0

00UT22（β）DT10-I<0

XI

IY>0

∑li=1（0…ei…0）（BT1YB1）（0…ei…0）T<（γFs）2

Ω1=AX+XAT+B2Fa+（B2Fa）T

Ω2=YA+ATY+C2+（C2）T

Ω3=C1X+D1Fa

Ω4=UT11（β）

有可行解（，，，X，Y），則系統存在抵御任意傳感器故障的可靠H₂控制器（2），相應參數矩陣可由下式確定

AK=N-1（T-YAX-C2X-YB2）（MT）-1BK=N-1CK=（MT）-1

M，N，W11（α），W21（α），W22（α），U11（α），U21（α），U22（α）由（6）（7）及下式確定，正標量α，β為適當參數。

βFa0JaFa0Fa0-IFa0-Iβ-1Ja=U11（β）0U21（β）U22（β）.

證明：對于系統（5），設

Mt1=Σ1ΣT2+A（C1X+D1FaCKMT）TΣ2+ATΣ3CT1C1X+D1FaCKMTC1-I=Σ1ΣT2+A（C1X+D1CKMT）TΣ2+ATΣ3CT1C1X+D1CKMTC1-I+00（D1（Fa-I）CKMT）T000D1（Fa-I）CKMT00

Σ1=AX+XAT+B2FaCKMT+（B2FaCKMT）TΣ2=YAX+NBKC2X+YB2CKMT+NAKMTΣ3=YA+ATY+NBKC2+（NBKC2）T

結合Fa=Fa0（I+La），設

Mt2=00（D1（Fa0-I）CKMT）T000D1（Fa0-I）CKMT00+

00（D1Fa0LaCKMT）T000D1Fa0LaCKMT00

Mt3=00（D1Fa0LaCKMT）T000D1Fa0LaCKMT00=

Θ1LaΘ2+（Θ1LaΘ2）T≤βΘ1JaΘT1+β-1ΘT2JaΘ2

Θ1=00（D1Fa0）TT，

Θ2=CKMT00

Mt2≤β-1（CKMT）TJaCKMT0（D1（Fa0-I）CKMT）T000D1（Fa0-I）CKMT0βD1Fa0Ja（D1Fa0）T=

（CKMT）T0000D1β-1JaFa0-IFa0-IβFa0JaFa0

（CKMT）T0000D1T

設CKMT=，NBK=，

（YAX+C2X+YB2+NAKMT）T=，

結合式（6），可得

Mt1≤Ω1+AΠT3T+ATΩ2CT1Π3C1-I+

（CKMT）T000D1U21（β）D1U22（β）

（CKMT）T000D1U21（β）D1U22（β）T

根據Schur補引理，可得Mt1<0，則系統（5）存在抵御執行器故障的可靠H₂控制器

再根據引理1，系統（5）存在抵御傳感器故障的可靠可得H₂控制器，則系統（5）存在抵御任意故障的的可靠H₂控制器（2），定理得證。

4數值仿真

考慮如下系統：

A=-1011-2112-1，B1=-110，B2=100112，C1=1101-10，C2=022102，D1=0111.當應用抵御傳感器故障的控制器，而系統執行器發生了故障。考慮執行器故障范圍

0.3≤fa1≤1.2，0.1≤fa2≤1.9，Fa=diag0.3，0.22，此時控制器就不能使系統穩定，閉環系統（5）的系統狀態如圖1。

針對同一故障，根據定理1，設α=0.1，β=0.1，計算得出γFs=5.9468，γFa=3.7729

AK=-5.3592-2.1002195.68441.6941-9.5417-130.60371.0384-6.9056-107.5693，

BK=-1.419017.90370.2601-26.21282.1498-20.6749，

CK=0.03460.0962-5.20590.00220.02420.1308

此時，系統（5）漸近穩定，如圖2。

當應用抵御執行器故障的控制器，而系統傳感器發生了故障考慮傳感器故障范圍

0.3≤fs1≤1.2，0.1≤fs2≤1.9，Fs=diag0.4，1.2此時控制器就不能使系統穩定，閉環系統（5）的系統狀態如圖3。

針對同一故障，根據定理1，設α=0.1，β=0.1，計算得出γFs=5.2682，γFa=3.1859

AK=-5.06824.4542334.59911.6954-15.8739-224.13280.7533-7.8027-137.6289，BK=-3.878517.61134.2401-26.50174.6278-14.0082，CK=0.0272-0.0192-8.62410.00230.0162-0.2362

此時，系統（5）漸近穩定，如圖4

5結論

本文使用連續故障模型，基于LMI給出了抵御任意故障的動態輸出反饋H₂可靠控制器存在的充分條件，并給出了其設計方法，算例仿真證明了設計方法的有效性。endprint

參考文獻

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第35卷第1期2016年3月計算技術與自動化ComputingTechnologyandAutomationVol35，No1Mar.2016第35卷第1期2016年3月計算技術與自動化ComputingTechnologyandAutomationVol35，No1Mar.2016endprint