數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與發(fā)散思維能力培養(yǎng)

楊彩蘋

（建平縣職業(yè)教育中心，遼寧 朝陽 122400）

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與發(fā)散思維能力培養(yǎng)

楊彩蘋

（建平縣職業(yè)教育中心，遼寧 朝陽 122400）

類比聯(lián)想是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法之一；既可以讓學(xué)生主動地參與教學(xué)過程，又可以為學(xué)生的思維發(fā)展創(chuàng)造條件。同時要努力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

聯(lián)想；類比；發(fā)散思維

學(xué)生探究發(fā)散能力的強弱是能否學(xué)好數(shù)學(xué)的一個很重要的因素，然而這種能力的提高，關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)和訓(xùn)練，根據(jù)本人的教學(xué)實踐經(jīng)驗，運用聯(lián)想與類比，進(jìn)行探究式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。我在給學(xué)生講“求證正四面體內(nèi)任意一點P到四個面的距離之和為定值”這一練習(xí)題時，既不給學(xué)生直接講如何證，也不任其他們自己考慮如何證。而是抓住“定值”二字，進(jìn)行以下幾個環(huán)節(jié)訓(xùn)練。

第一環(huán)節(jié)——聯(lián)想，追億舊知，填基石。我引導(dǎo)學(xué)生回想平面幾何中的類似定值問題，學(xué)生在回憶中提出了：“求證正△ABC內(nèi)任一點P到各邊的距離之和為定值”這一問題后，繼而幫助他們一起理清其證題思路：

首先，化零：連結(jié)PA、PB、PC得到△PAB、△PBC、△PCA；第二，架橋：利用S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PCA過渡獲取結(jié)論。即通過分割將大三角形分成三個小三角形的面積之和，且揭示這一定值就是正△ABC的高。第二環(huán)節(jié)——類比，借思路找方法。師問：上述聯(lián)想對我們所要解決的問題有何啟示？并暗示：三角形能分割，立體是否也能分割。一經(jīng)點撥，有幾個學(xué)生爭著回答：“可把三棱錐內(nèi)的點P與各頂點相連，得到四個以點P為公共頂點的小棱錐。”第三環(huán)節(jié)——肯定鼓勵完善步驟。學(xué)生的回答，我馬上予以肯定，鼓勵常識他們，并進(jìn)一步考慮四個小錐體與大錐體的體積關(guān)系，尋找通往結(jié)論的橋梁，完善證題過程。

如圖（1）不妨按一般情形，設(shè)S△ABC=S1，S△ABD＝S2，S△ACD＝S3，S△BCD＝S4，以點A為頂點的錐體的高為h，點P到面ABC，面ABD，面ACD、面BCD的距離分別為d1、d2、d3、d4，

∵四面體ABCD為正四面體

∴S1＝S2＝S3＝S4＝S，則

即S（d1+d2+d3+d4）=Sh

∴d1+d2+d3+d4=h，h為定值，即為錐體的高。

第四環(huán)節(jié)——概括思路，總結(jié)方法。待學(xué)生證題后，再誘導(dǎo)他們疏理思路過程：由“定值”（目標(biāo)）產(chǎn)生聯(lián)想（三角形分割）類比嘗試（立體分割），最終通過等面積（探究）等體積，過渡實現(xiàn)目標(biāo)。第五環(huán)節(jié)——借興奮點，重燃火花。學(xué)生在具有深厚情趣的積極思維狀態(tài)中完成了解題，學(xué)得輕松愉快，充滿歡樂，顯示出自豪的神態(tài)，陶醉在勝利的喜悅中，我進(jìn)一步借助學(xué)生的興奮點，重燃思維火花，引導(dǎo)進(jìn)行如下探究發(fā)散思維訓(xùn)練。

（1）點P的位置變化

①點P在正四面體的某一個側(cè)面上，如圖(2)設(shè)P點在側(cè)面ABC上時d1＝0，則有d2+d3+d4=h②點P在正四體的某一條棱上，如圖（3）設(shè)P點在棱AB上時d1＝d2＝0，則d3+d4＝h③點P在正四面體的體外，如圖（4）設(shè)點P在面BCD的下方，且在三面角A的內(nèi)部，由

∴d1+d2+d3－d4=h

（2）正四面體的體形變化：①將正四體改為正三棱錐，不妨設(shè)A為頂點，⊿BCD為底面，此時，S1＝S2＝S3＝S且是定值，則當(dāng)P在體內(nèi)時，

②將正四面體改為任意三棱錐

到此似乎大功告成了，但我窮追不舍，不錯過一個一啟即發(fā)的機會。我說：同學(xué)們，請你們回顧探究過程，從點P的位置變化到錐體的體形變化，即從‘形’的變化入手，進(jìn)行了一系列的研究。但在研究過程中也涉及了一些量，并且其中的某些量始終沒有考慮其特殊性，請你想想：①哪些量具有特殊性？②由這些量的特殊性你又能想到何種幾何體？學(xué)生通過對研究過程中的量的比較，得出：P點到各面的距離可以相等；P點到各面所作垂線的垂足在一個球面上。我再次肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并給出了內(nèi)切球和傍切球的概念與特性。同時給出了下列一個定理。“如果四面體的內(nèi)切球半徑為r,傍切球半徑分別為r1、r2、 r3、r4，則

略證：不妨設(shè)r1、r2、r3、r4分別是三面角A、B、C、D內(nèi)的傍切球的半徑，四面體A－BCD體積為V，表面積為S，則由上述探究過程可得：

這樣又使一道有一定難度的題成為思有路，解應(yīng)手的容易題。通過聯(lián)想、類此，由平面到空間，從體內(nèi)到體外，從特殊幾何體到一般幾何體，利用分割與造形，自始至終，都貫穿等積這條知識線，使學(xué)生的思維得到了很好的強化，提高了能力，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

[1]蓋虹,范東昕.反例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 現(xiàn)代交際. 2015(12)：145.

[2]石英.中高校數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生能力的培養(yǎng)[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí).2015(10)：12.

Mathematics classroom teaching and divergent thinking ability

YANG Cai-ping
(Jianping County Vocational Education Center, Chaoyang Liaoning 122400)

Analogy is Leno research one of the important methods of mathematics problems; Can let the students actively participate in the teaching process, and can create conditions for students' thinking development. At the same time try to train the students' ability to find problems and questions.

Association; Analogy; Divergent thinking

B848.2

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.05.172

1672–7304(2016)05–0347–02

（責(zé)任編輯：吳 芳）

楊彩蘋（1965-），女，遼寧朝陽人，研究方向：數(shù)學(xué)。