研究一滴水，發(fā)現(xiàn)一片海
——范例教學(xué)圓的周長

江蘇無錫市新安實(shí)驗(yàn)小學(xué) 朱春雷

研究一滴水，發(fā)現(xiàn)一片海
——范例教學(xué)圓的周長

江蘇無錫市新安實(shí)驗(yàn)小學(xué) 朱春雷

德國教育心理學(xué)家瓦根舍因的范例教學(xué)理論認(rèn)為：要發(fā)展學(xué)生的能力，就應(yīng)教給學(xué)生基本的知識(shí)，即基本概念、基本科學(xué)規(guī)律或知識(shí)結(jié)構(gòu)，也就是所謂的“基本性”，要達(dá)到這一目的，就要改革教材，使學(xué)生借助精選的材料，與“范例”接觸，訓(xùn)練獨(dú)立思考和判斷能力。范例教學(xué)主張使學(xué)生接受在任何地方嚴(yán)肅認(rèn)真地行事的自由，以及由此出發(fā)以完美的方式找到他通向知識(shí)整體的教育通道的自由。由此可見，范例教學(xué)在內(nèi)容和材料的選擇上，應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生借助學(xué)到的東西，“開始”探索別的東西；讓學(xué)生了解“什么東西能提供一切”，而不是了解“所有的一切東西”。通過范例教學(xué)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)了解，如果人們這樣或那樣地按照正確的方式探究的話，那么世界會(huì)怎樣“提供”各種各樣的知識(shí)。我們必須教的是這種性質(zhì)的探索和揭示真理的方法，這是打開知識(shí)大門的鑰匙。這意味著教學(xué)將借助例子，通過“典型例子”起到它的最出色的作用。即通過研究樹木，來發(fā)現(xiàn)森林。

《圓的周長》是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，因此它的學(xué)習(xí)具有典型意義。圓的周長的教學(xué)目標(biāo)是，使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的周長，認(rèn)識(shí)圓周率π，理解和掌握?qǐng)A的周長計(jì)算公式，能應(yīng)用公式計(jì)算圓的周長，解決周長計(jì)算的簡單實(shí)際問題。本課在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐中，我運(yùn)用范例教學(xué)，讓學(xué)生在研究探索的過程中，深入數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力。

一、設(shè)計(jì)吸引學(xué)生的問題

1.通過例題主題圖的說明和演示認(rèn)識(shí)周長

讓學(xué)生觀察自行車車輪，說說知道了什么。（知道了三個(gè)車輪直徑的長度是66、60、55厘米）啟發(fā)學(xué)生，如果把這三個(gè)自行車車輪各滾動(dòng)一周，想一想，哪一種車輪行駛的路程比較長？（演示滾動(dòng)過程）通過追問認(rèn)識(shí)圓的周長，車輪滾動(dòng)一周行駛的路程是車輪什么的長度？車輪的周長是什么圖形的周長？（圓一周的長度，是圓的周長）

2.提出問題

引導(dǎo)學(xué)生，66厘米的車輪周長為什么會(huì)長一些？比較這3個(gè)車輪的直徑和周長，你有什么發(fā)現(xiàn)？追問學(xué)生，圓的直徑長，周長也長，周長和直徑到底有什么關(guān)系呢？

當(dāng)學(xué)生在觀察車輪滾動(dòng)的過程中，自然而然地發(fā)現(xiàn)并提出周長和直徑的關(guān)系問題，那么學(xué)生將會(huì)被這個(gè)問題所吸引，并將全神貫注于研究之中。

二、經(jīng)歷推理和探究的過程

出示并說明例題，在圖中正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，再在圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正六邊形。引導(dǎo)學(xué)生，先觀察三個(gè)圖形，思考哪個(gè)周長最長、哪個(gè)周長最短；再比較正方形周長、六邊形周長和圓的直徑的倍數(shù)關(guān)系，最后想一想圓的周長和直徑有什么關(guān)系，圓的周長大約是直徑的幾倍。

整理并說明，正方形周長應(yīng)該是圓的直徑的幾倍？六邊形呢？說說你怎樣比較的。這樣比較，能估計(jì)出圓的周長大約是直徑的幾倍嗎？圖中可以看出，正方形周長是直徑的4倍，六邊形的周長是直徑的3倍，那圓的周長就應(yīng)該是直徑的3倍多。

學(xué)生通過數(shù)學(xué)推理，根據(jù)三個(gè)圖形的周長關(guān)系，順理成章地得出“圓的周長是該圓直徑的3倍多”的結(jié)論。

三、實(shí)踐操作驗(yàn)證結(jié)論

1.啟發(fā)思考

要解決圓的周長是直徑的多少倍的問題，還可以怎樣做呢？（用圓的周長除以直徑）

2.實(shí)驗(yàn)操作

討論出測(cè)量周長和直徑長度的方法后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，現(xiàn)在我們就通過測(cè)量、計(jì)算，研究圓的直徑和周長的倍數(shù)關(guān)系。同學(xué)們按要求分小組實(shí)驗(yàn)，得出數(shù)據(jù)。

3.交流發(fā)現(xiàn)

現(xiàn)在請(qǐng)每個(gè)小組來展示你們的測(cè)量、計(jì)算結(jié)果。教師相機(jī)調(diào)整、引導(dǎo)后提出問題，通過上面的交流，你發(fā)現(xiàn)圓的周長和直徑有什么關(guān)系呢？

教師指出，我們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圓的周長總是直徑的3倍多一些。事實(shí)上，任何一個(gè)圓的周長除以直徑的商都是一個(gè)固定不變的數(shù)，我們把它叫作圓周率。圓周率用字母π表示，π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，π= 3.141592653……在計(jì)算時(shí)，一般取它的近似值3.14。（結(jié)合說明，逐步完成板書：圓的周長÷直徑=圓周率，π≈3.14）

當(dāng)學(xué)生被數(shù)學(xué)情境所吸引，自發(fā)性地進(jìn)入到探究結(jié)論的操作過程中，此時(shí)此刻學(xué)生將被思維引領(lǐng)著自己去創(chuàng)造概念。數(shù)學(xué)概念就是這樣從它的根源發(fā)生了，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)開始逐步形成。這正是范例教學(xué)的追求。

四、抽象概括形成公式

1.抽象概括公式

啟發(fā)學(xué)生概括，根據(jù)“圓的周長÷直徑=圓周率”，想一想：圓的周長可以怎樣計(jì)算？我們可以發(fā)現(xiàn)：圓的周長=直徑×圓周率（板書）。如果用字母C表示周長，那么周長C跟直徑d有怎樣的關(guān)系？跟圓的半徑r又有什么關(guān)系呢？（板書：C=πd，C=2πr）

2.回顧學(xué)習(xí)過程

引導(dǎo)回顧一下，我們是怎樣得出這樣一個(gè)計(jì)算公式的，說說你有什么體會(huì)。

我們先觀察發(fā)現(xiàn)，圓的周長應(yīng)該是直徑的3倍多一些，為了驗(yàn)證這樣的想法，我們通過測(cè)量、計(jì)算，得出圓的周長總是直徑的3倍多一些。根據(jù)這樣的倍數(shù)關(guān)系，我們推導(dǎo)出了圓的周長計(jì)算公式。

五、在應(yīng)用中提高數(shù)學(xué)能力

選擇典型的習(xí)題進(jìn)行操練是范例教學(xué)的內(nèi)在要求。在練習(xí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，我作了三點(diǎn)安排，一是利用原有例題的材料，讓學(xué)生去求周長，以達(dá)到課前比較的最終要求；二是通過不同的條件讓學(xué)生去求圓的周長，并歸納求圓的周長的其他公式，從而讓范例教學(xué)發(fā)揮從個(gè)別中尋求整體的作用；三是利用圓的周長公式解決實(shí)際問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

1.完成“試一試”

引導(dǎo)學(xué)生試著計(jì)算例題中三個(gè)車輪的周長大約各是多少厘米。再比較一下三個(gè)車輪周長的長短。

2.完成“練一練”

讓學(xué)生獨(dú)立完成已知圓的直徑、半徑，求圓的周長的練習(xí)。交流時(shí)向?qū)W生提出問題，你是怎樣算的？這里用的是哪一個(gè)公式？為什么用這個(gè)公式？最后師生共同明確：計(jì)算圓的周長，要根據(jù)已知條件，正確地選擇公式計(jì)算。

3.解決實(shí)際問題

“已知一輛汽車車輪的直徑是60厘米，求它轉(zhuǎn)一周前進(jìn)多少米？”

學(xué)生列式計(jì)算。交流時(shí)回答，你是怎樣算的？為什么求的是車輪的周長？

通過范例教學(xué)圓的周長，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、測(cè)量、計(jì)算和交流、歸納等活動(dòng)過程，推導(dǎo)出圓的周長計(jì)算公式，積累了推導(dǎo)計(jì)算公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了分析、綜合和歸納、概括等思維能力。通過體驗(yàn)圖形與生活的聯(lián)系，感受到平面圖形的學(xué)習(xí)價(jià)值；積極參與實(shí)驗(yàn)探究，培養(yǎng)了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，樹立了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

真正的學(xué)習(xí)就是學(xué)生與教師同時(shí)被一個(gè)問題，一道習(xí)題所吸引，而這個(gè)問題和這道習(xí)題將能激發(fā)人的智力，對(duì)智力提出要求，同時(shí)使人體驗(yàn)到精神世界本身固有的規(guī)律性。這種學(xué)習(xí)，猶如真正的游戲一樣令人愉快，但又是那么嚴(yán)肅認(rèn)真。范例教學(xué)意味著通過例子、通過典型來達(dá)到最佳的效果。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以按照這樣的路徑“提出問題——推理論證——形成概念——演繹擴(kuò)展——運(yùn)用中產(chǎn)生新的問題”，科學(xué)地實(shí)施范例教學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)研究一滴水，發(fā)現(xiàn)一片海。?