巧妙破譯“探索規(guī)律”的教學(xué)“密碼”
——臺灣林心怡《釘子板上的多邊形》一課教學(xué)賞析

江蘇無錫市梁溪區(qū)教研室　趙國防

巧妙破譯“探索規(guī)律”的教學(xué)“密碼”
——臺灣林心怡《釘子板上的多邊形》一課教學(xué)賞析

江蘇無錫市梁溪區(qū)教研室趙國防

“探索規(guī)律”，作為新課程進一步強化和突出的重要內(nèi)容，越來越受到廣大教師的普遍關(guān)注。加強和重視“探索規(guī)律”的教學(xué)，不僅可以進一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，優(yōu)化學(xué)習(xí)方式，而且對于加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解與認(rèn)識，促進思維能力逐步提升等方面均有著重要而積極的作用。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對第二學(xué)段“探索規(guī)律”內(nèi)容的要求是“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化的趨勢”。面對“隱含的規(guī)律”和“變化的趨勢”，一線教師常常很難把握“規(guī)律教學(xué)”的“要義”和“火候”，要么蜻蜓點水，讓規(guī)律“走過場”；要么過分強調(diào)，讓規(guī)律“陷僵局”。

臺灣著名數(shù)學(xué)教師林心怡執(zhí)教的《釘子板上的多邊形》一課，簡約深刻，自由開放,妙趣橫生，以一種新的視角為我們精巧破譯了 “探索規(guī)律”教學(xué)的行進“密碼”，令人回味無窮。

一、重視過程：讓“規(guī)律”探索自然行進

“探索規(guī)律”的教學(xué)，自然是以“規(guī)律”探索的過程為基本立足點和出發(fā)點的。精心設(shè)計探索活動，引領(lǐng)學(xué)生在具體情境中充分經(jīng)歷規(guī)律的探索與發(fā)現(xiàn)過程，無疑便成為“探索規(guī)律”的關(guān)鍵性一步。

1.整體感知，猜測規(guī)律

“規(guī)律”的得來，離不開對大量、豐富素材與數(shù)據(jù)的分析與研究。課始，林老師簡要揭示了“周點”“面積”“內(nèi)點”之后，便以周點為8、面積為4、內(nèi)點為1的長方形為例，進行了巧妙變化——“如果面積改變，內(nèi)點、周點的數(shù)量會不會改變？”“如果面積變回4，內(nèi)點、周點會變回來嗎？”一邊追問，一邊結(jié)合著釘子板上直觀的圖形及對應(yīng)的數(shù)據(jù)進行對比、觀察、分析。這一過程，我認(rèn)為用意有三：一是讓學(xué)生整體感知“內(nèi)點”“周點”和“面積”三個變量之間的緊密關(guān)系，為接下來的深入探索提供了思維模型；二是讓學(xué)生感受到所要研究的問題的復(fù)雜性，為接下來的分類研究創(chuàng)造機會；三是喚起探究欲望，激發(fā)探究興趣。

2．分步研究，探索規(guī)律

面對復(fù)雜的問題，既要有整體思路，全面認(rèn)識，更要有分步研究、層層深入的意識和能力。林老師讓學(xué)生感受到了問題研究的復(fù)雜性之后，便巧妙破解難題，分步推進。“我們先來討論周點改變，會不會影響面積？”引導(dǎo)學(xué)生圍繞內(nèi)點為1，探討周點和面積之間的關(guān)系。此過程，學(xué)生四人為一組，每組至少在練習(xí)紙上畫了三個多邊形，并進行了數(shù)據(jù)記錄和分析，各個小組均順利得到了：S=n÷2。然后，教師進一步提出新的問題：“如果內(nèi)點為2，它們又會有怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生又以兩人為一小組進行了探究。整個探究過程，教師高度放手，從研究素材的生成，到研究數(shù)據(jù)的觀察與分析，再到研究結(jié)論的總結(jié)與表達(dá)，全部由學(xué)生獨立完成，科學(xué)有序，民主高效。

3．及時對比，總結(jié)規(guī)律

規(guī)律探索，離不開對大量素材和數(shù)據(jù)的研究與分析。在研究與分析的過程中，有一重要的方法，那便是對比。通過對比，便于尋找異同，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深刻認(rèn)識。在林老師的課上，她多次引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)和得到的結(jié)論進行對比分析，不斷將規(guī)律認(rèn)識引向深入。特別是各組匯報時，林老師都在黑板上記錄下他們總結(jié)的關(guān)系式，無形間既默默強化了規(guī)律，又讓學(xué)生在對比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究過程和表達(dá)方式不同，但卻得到了相同的 “規(guī)律”。在變與不變中感受“規(guī)律”的必然性和通用性，體會到了數(shù)學(xué)研究的無窮魅力。

4．充分驗證，強化規(guī)律

任何研究結(jié)論，都要在充分驗證之后才會被進一步認(rèn)可，特別是運用不完全歸納法得到的“規(guī)律”，更需要引導(dǎo)學(xué)生充分驗證。林老師在放手讓學(xué)生分別探索了內(nèi)點為1、內(nèi)點為2的多邊形面積與周點的關(guān)系之后，引導(dǎo)學(xué)生對所得到的結(jié)論進行了及時驗證。這樣一來，既讓學(xué)生對所發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”有了進一步的認(rèn)識與理解，又讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的科學(xué)探究之旅，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度和研究精神。

二、關(guān)注方法：讓“規(guī)律”探索科學(xué)有序

“探索規(guī)律”的教學(xué)，是以規(guī)律探索為素材，引導(dǎo)學(xué)生運用科學(xué)的方法，經(jīng)歷探索過程，感受探索樂趣，積累探索經(jīng)驗的活動。在這樣的過程中，離不開科學(xué)、有效的研究方法。研究方法的發(fā)現(xiàn)、總結(jié)與運用，自然也成為“探索活動”教學(xué)的重任之一。

1．過程中自悟

很多有效的研究方法，都是研究者在研究過程中自然而然發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出來的。學(xué)生的探索活動，也必然會生成和積累一些有價值的研究方法，教師在此過程中要充分關(guān)注并為其積極創(chuàng)造條件。林老師在課中，多次適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)方法。當(dāng)學(xué)生探索完內(nèi)點為1的多邊形周點和面積之間的關(guān)系后，林老師及時追問：“大家覺得哪一組的記錄比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律？”此語，問得妙！一箭雙雕！她既是在引發(fā)比較，又是在引出一種有效解決問題的策略——列表。這一過程，喚起了學(xué)生對研究方法的關(guān)注，更培養(yǎng)了學(xué)生一種善于觀察、勤于反思、重視方法的意識與能力。

2．互助中共悟

真正有意義的合作學(xué)習(xí)，不應(yīng)僅僅是學(xué)習(xí)團隊對知識的習(xí)得，還應(yīng)在發(fā)現(xiàn)的過程中善于及時反思，總結(jié)經(jīng)驗，修正方法。在林老師的課上，她為學(xué)生創(chuàng)造了多次合作學(xué)習(xí)的機會，從四人合作探索內(nèi)點為1的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，到兩人合作探索內(nèi)點為2的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，再到全班合作驗證結(jié)論。在合作中，教師適時以問題引領(lǐng)學(xué)生進行方法總結(jié)與梳理，不斷讓學(xué)生在規(guī)律總結(jié)的過程中感悟方法，積累經(jīng)驗。

3．必要時點撥

兒童由于年齡小，研究經(jīng)驗不足，因此，一些必要的研究方法有時需要教師及時予以點撥。林老師在學(xué)生的研究過程中，結(jié)合研究進程，及時對研究方法進行了歸納與總結(jié)。不管是“列表找規(guī)律”“用字母表示關(guān)系式”還是“假設(shè)—驗證”等，都在適當(dāng)時機，對學(xué)生的研究方法及時予以點撥、歸納，讓學(xué)生在探索規(guī)律的過程中，不斷關(guān)注方法、重視方法、完善方法。這樣，讓規(guī)律教學(xué)不再僅僅是為了得到規(guī)律的教學(xué)，而是讓其承載了更多的育人功能，很好地滲透了研究精神與研究方法的培養(yǎng)。

三、訓(xùn)練思維：讓“規(guī)律”探索超越規(guī)律

語文教學(xué)，常以“明線”和“暗線”兩種視角進行課文分析。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)同樣也存在這樣兩條線索，即學(xué)習(xí)活動的行進過程為“明線”，思維訓(xùn)練的巧妙滲透為“暗線”。本課中，思維訓(xùn)練雖不是“探索規(guī)律”的基本環(huán)節(jié)和主要任務(wù)，但它卻作為貫穿整個活動的“暗線”一直存在。在林老師的教學(xué)中，她結(jié)合探索進程，及時巧妙地予以了關(guān)注和滲透，讓規(guī)律探索超越了“規(guī)律”。

1.歸納與類比

林老師的課中，四人合作探索內(nèi)點為1的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，兩人合作探索內(nèi)點為2的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，這兩個環(huán)節(jié)，都是先研究實例，得出數(shù)據(jù)，再在數(shù)據(jù)中提取規(guī)律，思維方式是歸納推理。到了內(nèi)點為0、3、4、5……的多邊形周點和面積之間的關(guān)系的探索過程，卻是先猜想多邊形面積與周點數(shù)量之間的關(guān)系，再分組用實例驗證是不是存在這樣的規(guī)律，思維方式是類比推理。兩種推理方式的運用，既確保了順利、及時得到結(jié)論，又巧妙訓(xùn)練了學(xué)生的思維。

2.比較與分類

比較是確定兩個或兩個以上的對象或同一個對象在不同時間條件下的相同與不同點的思維方法。本課中，教師多次引導(dǎo)學(xué)生進行比較，在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從周點相同（都為8）時，兩個圖形面積和內(nèi)點數(shù)量的比較，到學(xué)生記錄數(shù)據(jù)方式的比較；從發(fā)現(xiàn)內(nèi)點為2的多邊形周點和面積之間的關(guān)系時 “為什么畫出的圖不一樣，得到的關(guān)系式卻都是一樣”的比較，到最后分排驗證規(guī)律后的整體比較，等等，時時引導(dǎo)學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，加深認(rèn)識，訓(xùn)練思維。課始，引導(dǎo)學(xué)生感受 “內(nèi)點”“周點”和“面積”三個變量時，由于變量多，關(guān)系復(fù)雜，不便于研究，教師及時對研究對象進行了分類 （內(nèi)點為1的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，內(nèi)點為2的多邊形周點和面積之間的關(guān)系，內(nèi)點為3、4、5……的多邊形周點和面積之間的關(guān)系），既確保了研究活動的順利有序進行，又滲透了分類思想。

3.抽象與概括

抽象就是在認(rèn)識事物中，抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征，舍棄其非本質(zhì)屬性或特征的思維方法。概括則是將抽象出來的同類事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來，并把它推廣到同一類事物上去的思維方法。林老師的課中，每一個探索活動之后，“作業(yè)紙”上都有學(xué)生記錄關(guān)系式的空格，實際上就是在引導(dǎo)學(xué)生對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先進行抽象，然后用數(shù)學(xué)語言（數(shù)據(jù)或模型）進行概括表達(dá)。幾次探索活動，幾次抽象與概括，學(xué)生的抽象與概括能力得到了提升。

四、一點商榷

筆者以為，“舉例驗證”環(huán)節(jié)雖然涉及，但來得有些遲。如果在發(fā)現(xiàn)內(nèi)點為1的多邊形周點和面積之間的關(guān)系（即S=n÷2）之后，接著引導(dǎo)學(xué)生進行舉例驗證，那樣效果將會更好。理由有三：一是讓學(xué)生明白“舉例驗證”是探索規(guī)律的重要環(huán)節(jié)之一，必不可少；二是讓學(xué)生體會“探索活動”的完整性、科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性；三是為后續(xù)的探內(nèi)點為2、3、4、5……的多邊形周點和面積之間的關(guān)系積累經(jīng)驗。一人之見，還請各位批評指正。