基于變模式分解和頻譜特性的自適應降噪算法

摘 要：機械故障檢測過程中，由于反映機械故障的振動信號微弱，很容易被外界噪聲干擾信號污染，從而影響機械故障診斷。為提取純凈振動信號，傳統(tǒng)EEMD濾波算法雖具有較強的降噪能力，但由于EEMD算法存在缺乏嚴謹理論基礎、運算效率低、容易造成有用信號丟失等缺點，致使降噪效果不理想。為解決以上問題，提出一種基于變模式分解和頻譜特性的自適應降噪算法。基于變模式分解優(yōu)點，通過分析有用信號模態(tài)與噪聲模態(tài)頻譜特性，提取有用信號模態(tài)從而實現(xiàn)降噪。通過仿真信號與實測信號分析表明，新算法降噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)EEMD濾波算法。

關鍵詞： 振動信號； 降噪算法； 變模式分解； 頻譜方差； 軸承故障

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）16?0001?05

Abstract： In the process of mechanical fault detection， the vibration signal reflecting the fault feature is weak and is easy to contaminate by outside noise， which increases the difficulty of diagnosing the mechanical fault. In order to extract the pure vibration signal and solve the above problem， an adaptive denoising algorithm based on variable mode decomposition and spectrum characteristics is proposed， because the traditional ensemble empirical mode decomposition （EEMD） filtering algorithm lacks rigorous theoretical foundation， has low operation efficiency and is easy to make the useful signal lost， which may cause a poor denoising effect although it has strong ability of denoising. On the basis of the advantages of variable mode decomposition， the useful signal mode is extracted to achieve denoising by means of analyzing the spectrum characteristics of useful signal mode and noise mode. The analysis results of the s

imulation signal and the measured signal show that the new algorithm is superior to the tradition EEMD in denoising.

Keywords： vibration signal； denoising algorithm； variable mode decomposition； spectrum variance； bearing fault

0 引 言

機械故障診斷與狀態(tài)監(jiān)測依賴于對機械振動信號進行分析，然而采集的振動信號混有大量噪聲干擾信號，其中噪聲勢必會影響對振動信號的分析，因此如何濾除噪聲、提取純凈振動信號是故障診斷的基礎。

傳統(tǒng)濾波方法把信號映射到頻域范圍內(nèi)，利用噪聲信號與有用信號頻率的差異性，設置合適的濾波器參數(shù)對噪聲信號進行濾除[1]。然而由于噪聲頻率特性復雜，因此難以設計合適的濾波器濾除噪聲，這就限制了濾波效果。小波閾值降噪效果雖優(yōu)于傳統(tǒng)濾波方法，但存在以下問題：小波降噪效果依賴于信號采樣頻率；難以選擇合適的小波基和閾值函數(shù)[2]。Huang等人提出的EMD是一種新的時頻分析算法[3]。該方法將原始信號分解成多個表征信號特征時間尺度的固有模態(tài)函數(shù)（IMF），具有良好的時頻分析能力。但EMD算法缺乏嚴謹?shù)睦碚摶A，同時分解過程中容易出現(xiàn)端點效應、模態(tài)混疊等問題。黃鍔等人針對EMD的缺陷，提出了集合經(jīng)驗模態(tài)分解（EEMD）算法[4]，利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性，將白噪聲添加到原信號中，能夠有效解決模態(tài)混疊現(xiàn)象。EEMD雖一定程度上降低EMD中模態(tài)混疊現(xiàn)象，但仍會帶來新的模態(tài)混疊、丟失頻譜、運算效率低等問題[5]。變模式分解（VMD）是一種新的信號分解方法[6]，通過對模態(tài)函數(shù)重新定義，假設各模態(tài)分量為具有不同中心頻率的有限帶寬，通過交替方向乘子法，不斷迭代運算，將各模態(tài)解調(diào)到對應基帶上，最終提取各個模態(tài)分量。VMD通過預設分解尺度，避免過度分解，運算效率較高，同時有效分離頻率相近的分量，避免模態(tài)混疊現(xiàn)象，更適合信噪比低情況下的噪聲處理。

因此本文基于VMD分解優(yōu)點，提出一種基于變模式分解和頻譜特性的自適應降噪算法（SA?VMD），通過驗證分析，SA?VMD降噪效果優(yōu)于EEMD濾波。

1 變模式分解原理

變模式分解（VMD）是一種新的，完全自適應分解方法。通過對經(jīng)典維納濾波、希爾伯特變換、頻率混合的回顧與分析，提出原始信號由k個中心頻率為[ωk]的k個模態(tài)分量組成。具體求解步驟如下[7]：

1.1 建立目標函數(shù)

首先利用希爾伯特變換求解各個模態(tài)[uk（t）]的單邊頻譜；然后引入指數(shù)項不斷調(diào)整各個模態(tài)估計的中心頻率，將每個模態(tài)頻譜轉(zhuǎn)移到基帶；最后帶寬估計通過高斯平滑解調(diào)信號來實現(xiàn)即梯度的二范圍的平方，所產(chǎn)生的約束變分問題如下：

[min{uk}，{ωk}k?kδ（t）+jπt*uk（t）e-jωkt22s.t. kuk=f] （1）

式中：[{uk}={u1，u2，…，uk}]與[{ωk}={ω1，ω2，…，ωk}]分別為模態(tài)集合與中心頻率；[δ（t）]為沖擊函數(shù)，[k：=k=1K為所有模]式分量的加和。

1.2 求解目標函數(shù)

通過引入二次懲罰項和拉格朗日乘子將約束性目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為非約束性目標函數(shù)，其中二次懲罰項在有限罰權重下具有良好的收斂性，拉格朗日乘子使約束條件具有嚴格性，得到增廣拉格朗日函數(shù)：

[L（{uk}，{ωk}，λ）：=αk?tδ（t）+jπt*uk（t）e-jωkt22+ f（t）-kuk（t）22+λ（t），f（t）-kuk（t）]（2） 式中：[λ（t）]為拉格朗日乘子；[α]為數(shù)據(jù)保真約束的平衡參數(shù)。

利用交替方向乘子法（ADMM）將原先式（1）中的最小化問題轉(zhuǎn)化為尋找增廣拉格朗日表達式的“鞍點”問題。求解式（2）中的迭代問題如下：

[un+1k=argminuk∈Xα?tδ（t）+jπt*uk（t）e-jωkt22+ f（t）-iui（t）+λ（t）222] （3）

利用在梯度的二范數(shù)的平方下Paraseval/Plancherel 傅里葉變換等距，將式（3）轉(zhuǎn)換到頻域分析。

[un+1k=argminuk，uk∈Xαjω1+sgn（ω+ωk）uk（ω+ωk）22+ f（ω）-iu（ω）+λ（ω）222] （4）

用[ω-ωk]替換式（4）第一項中[ω]：

[un+1k=argminuk，uk∈Xαj（ω-ωk）[1+sgn（ω）uk（ω）]22+ f（ω）-iu（ω）+λ（ω）222] （5）

將式（5）轉(zhuǎn)換為非負頻率的半空間積分形式：

[un+1k=argminuk，uk∈X0∞4α（ω-ωk）2uk（ω）2+ 2f（ω）-iu（ω）+λ（ω）2dω] （6）

二次優(yōu)化問題的解即：

[un+1k（ω）=f（ω）-i≠kuk（ω）+λ（ω）21+2α（ω-ωk）2] （7）

采用相同的求解過程將中心頻率求解問題轉(zhuǎn)換到頻域：

[ωn+1k=argminωk=0∞（ω-ωk）2uk（ω）2dω] （8）

求得中心頻率更新表達式：

[ωn+1k=0∞ωuk（ω）2dω0∞uk（ω）2dω] （9）

此表達式使新的[ωk]處于相應模態(tài)功率譜的重心。

總結完整的變模式分解算法步驟如下：

（1） 初始化[un+1k]，{[ω1k]}，[λ1]，[n←0]；

（2） [n=n+1]；

（3） 當[k≤K]時，k=1，2，…，不斷執(zhí)行利用式（5）更新[uk]；

（4） 利用式（9）不斷更新[ωk]；

（5） 對所有[ω≥0]，雙上升步長：

[λn+1（ω）=λn（ω）+Τf（ω）-kun+1k（ω）] （10）

（6） 滿足判斷收斂條件停止，否則回到步驟（2）：

[kun+1k-unk22unk22<ε] （11）

2 基于變模式分解和頻譜特性的自適應降噪算法

傳統(tǒng)EEMD濾波一般采用相關系數(shù)準則選擇對應模態(tài)分量，但由于EEMD分解時易出現(xiàn)頻譜丟失、模態(tài)混疊等現(xiàn)象，所以選擇的模態(tài)分量可靠性較差，同時此方法在不同信噪比下降噪性能不穩(wěn)定。本文針對傳統(tǒng)EEMD濾波降噪算法缺點，提出利用變模式分解將原始信號分解成一系列模態(tài)分量，如何選擇可靠性較高的有用信號模態(tài)分量，為此提出利用頻譜方差方法。

2.1 頻譜特性

頻譜分析是利用傅里葉變換將時域信號轉(zhuǎn)換到頻域信號進行分析。時域信號經(jīng)傅里葉變換后變成若干單一的諧波分量以獲得信號的頻率結構以及各諧波和相位信息。若隨機序列的自相關性越強，則頻譜圖中的譜線越集中，反之自相關性越弱，則譜線越分散[8]。

隨機噪聲信號，由于各時刻之間的弱關聯(lián)性及隨機性，所以反映在頻譜圖中譜線分散，頻段分布較廣。具有周期性的機械振動信號，信號之間存在著明顯的關聯(lián)性，所以譜線集中，頻段分布較小。有用信號與噪聲信號頻譜對比見圖1。

圖1 有用信號與噪聲信號頻譜對比圖

從圖1中可以看出有用信號只在特定頻段出現(xiàn)譜線幅值，而其他頻率處幅值近似為零，幅值變化較大，因此頻譜方差較大；噪聲信號分布頻帶較寬且譜線幅值變化小，頻譜方差較小[9]，其中計算頻譜方差如式（12）、式（13）所示。

[E=1Ni=0N-1m=0N-1x（m）WmkN=1Ni=0N-1X（k）， k=0，1，2，…，N-1] （12）

[D=1Nn=0N-1[X（n）-E]2] （13）

頻譜方差體現(xiàn)振動信號能量變化程度，能量越大，幅值變化越劇烈，頻譜方差越大[9]。按式（6）、式（7）分別計算噪聲信號與有用信號頻譜方差，分別為[1.509 1×10-5]和[0.022 4]，由此看出噪聲信號頻譜方差明顯小于有用信號頻譜方差。

2.2 降噪步驟

基于VMD和頻譜特性的自適應降噪算法具體步驟如下：

（1） 對原始含噪信號采用自適應濾波器進行預處理，其中參考噪聲為實測環(huán)境噪聲或假設噪聲。

（2） 利用變模式分解（VMD）對預處理后信號進行分解，其中根據(jù)信號數(shù)據(jù)類型，設定分解模態(tài)數(shù)K。

（3） 分別對各固有模式進行頻譜分析，計算各固有模式頻譜方差[Dk，]通過設定一個硬閾值[λ]來判定固有模式是否為有用信號。

[λ=max（Dk）ε] （14）

式中，[max（Dk）]為固有模式中最大頻譜方差，k=1，2，…，K，[ε]設定為10。

（4） 判斷若[Dk≥λ]則判定為有用信號，否則為噪聲信號或虛假信號。

（5） 最后重構有用信號即可實現(xiàn)降噪。

3 驗證分析

3.1 仿真信號

假設原始信號為：

[x（t）=cos（20πt）+0.2cos（40πt）+sin（60πt）+n]

式中，n為高斯白噪聲，取數(shù)據(jù)點2 000。其中有用信號被噪聲干擾信號嚴重污染，無法識別，原始信號如圖2所示。

對原始信號進行VMD，其中10 Hz，30 Hz信號被完好地分離出來，20 Hz信號幅值較小，被噪聲污染嚴重，分解結果較差，但經(jīng)過VMD分解后，20 Hz中心頻率被調(diào)整到此諧波上，VDM分解圖如圖3所示。根據(jù)EEMD的分解信號原理可知，EEMD將含噪信號分解成特征尺度由小到大，頻率由高到低的IMF分量，其中階數(shù)低的IMF分量一般為噪聲信號，階數(shù)高的IMF分量一般為有用信號。使用EEMD對原始信號處理，其中前四個IMF分量為噪聲信號或高頻有用信號，IMF5～IMF7最接近有用信號，但信號波形失真嚴重，出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，這樣不利于對信號進一步處理，同時由于EEMD分解的自適應性，受噪聲影響較大，容易出現(xiàn)過分解現(xiàn)象，降低運算效率，其中EEMD分解如圖4所示。

分別采用EEMD濾波與SA?EEMD對原始含噪信號進行處理，其中圖5為兩種算法降噪后波形，圖6為兩種算法降噪后頻譜圖。

從圖5中可以看出圖5（a）EEMD濾波波形恢復效果較差，其中在數(shù)據(jù)點300，700，1 350處波形嚴重失真，這樣不利于后期對信號的進一步分析。相反圖5（b）SA?VMD算法波形得到良好恢復，波形光滑，降噪效果明顯優(yōu)于EEMD濾波。為了定量分析兩種算法的降噪性能，本文通過計算信噪比、相關系數(shù)以及運行時間來驗證本文算法的優(yōu)越性見表1，其中相關系數(shù)與信噪比定義分別如式（15）、式（16）所示。

[ρxy=Rxy（τ）Rx（0）*Ry（0）] （15）

式中，[ρxy（τ）≤1]，[ρxy（τ）]越接近于1，表明兩個信號的相關度越大；越接近于0，表明信號的相關度越小[10]。

[SNR=10lg PSPN] （16）

式中：[PS]為有用信號功率；[PN]為噪聲功率。

從表1中可以看出EEMD降噪算法雖然信噪比提高約14 dB，但相關系數(shù)為0.981 2，損失部分有用信號。SA?VMD降噪算法信噪比大約提高18 dB，與原始信號相關系數(shù)為0.995 4，可以看出SA?VMD不僅具有良好的降噪能力，信號失真度小，而且SA?VMD運算效率明顯高于EEMD，利于實時性分析。

3.2 實測信號

實驗平臺主要由電機、轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)、傳感器、數(shù)據(jù)采集卡等組成。可通過改變轉(zhuǎn)速、軸承的磨損、油膜渦動來模擬機械運轉(zhuǎn)。選用型號6205?2RS轉(zhuǎn)軸，設定轉(zhuǎn)速1 750 r/min，運行過程中人為加入噪聲信號，同時制造軸承故障，使其產(chǎn)生故障信號，采集2 000點數(shù)據(jù)。含噪故障信號時域圖與頻譜圖如圖7所示，從圖7中可以看出，有效信號主要集中在100 Hz以下，由于噪聲信號的影響，微弱的轉(zhuǎn)軸故障信號被淹沒，無法得知轉(zhuǎn)軸故障情況。

分別使用EEMD濾波和SA?VMD對信號進行處理，其中圖8為EEMD降噪效果圖，從圖8中看出部分低頻微弱信號丟失，波形恢復較差。圖9為SA?VMD降噪效果圖，降噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)EMD降噪，波形達到良好恢復，充分保留原始信號特征。

表2為兩種算法的降噪對比，從表2中可看出兩種算法都實現(xiàn)降噪，提高信噪比，但EEMD來濾波在降噪的同時丟失了部分有用信號，其中相關系數(shù)為0.916 7。本文SA?EEMD算法降噪后信噪比達到18.560 9，相關系數(shù)為0.993 1，說明本文算法降噪效果明顯優(yōu)于EEMD濾波，波形恢復良好。同時從運行時間看出，SA?VMD運算效率高于EEMD濾波。綜合以上性能比較，充分說明本文SA?VMD算法的可行性與高效性。

4 結 論

本文提出一種基于變模式分解和頻譜特性的自適應降噪算法（SA?VMD），首先對預處理后信號進行VMD分解，利用噪聲模態(tài)與有用信號模態(tài)頻譜的差異性，提出通過計算頻譜方差，設定方差閾值，從而重構有用信號模態(tài)以達到降噪目的。通過仿真實驗表明，SA?VMD具有良好的模態(tài)識別能力，降噪效果良好。相比于傳統(tǒng)EEMD濾波，SA?VMD通過預設分解尺度，避免信號過度分解，抗模態(tài)混疊能力強，運算效率高，利于實時分析。同時SA?VMD在消除噪聲干擾，保留有用信號特征，自適應性等方面優(yōu)勢明顯。

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