不確定時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

摘 要： 針對(duì)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的控制系統(tǒng)所具有的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和不確定性特點(diǎn)，考慮最大允許網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延下界不為零及系統(tǒng)帶有不確定性的情況，采用不需事先指定參數(shù)的更具一般性的狀態(tài)反饋控制器，建立狀態(tài)反饋的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型。通過引入積分不等式方法，對(duì)Lyapunov?Krsasovskii泛函中的二次型積分項(xiàng)直接進(jìn)行界定，避免了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模型變換和對(duì)交叉項(xiàng)的界定所帶來的保守性。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出使網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件。最后通過對(duì)模型進(jìn)行Matlab仿真，得到狀態(tài)響應(yīng)曲線。系統(tǒng)狀態(tài)很快趨于穩(wěn)定，表明該結(jié)論的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞： 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)； 網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延； 積分不等式方法； Lyapunov?Krasovskii泛函

中圖分類號(hào)： TN926?34； TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2016）16?0010?04

Abstract： Since the control systems have characteristics of network time?delay and uncertainty in the network environment， a common mode feedback controller without assigning specify parameters in advance is used to establish the closed?loop network control system model with the state feedback by taking into account of fact that the lower bound of the maximum allowable network induced delay is not zero and the system has uncertainty characteristics. The quadratic integral item in Lyapunov?Krsasovskii functional is defined directly by introducing the integral inequality approach， which can avoid the conservative property caused by model transformation of the system and definition of the cross terms. On this basis， the condition that makes the networked control system robust stability is derived. The state response curve of the system is obtained by conducting Matlab simulation for the model. The system state tends to be stable， which shows the validity and feasibility of the conclusion.

Keywords： network control system； network deduced time?delay； integral inequality approach； Lyapunov?krasovskii function

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)與控制理論的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS）被廣泛應(yīng)用于航空航天、傳感器網(wǎng)絡(luò)、工業(yè)控制網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器人遠(yuǎn)程控制和微機(jī)電系統(tǒng)等復(fù)雜的控制系統(tǒng)中[1?8]。然而，通信與控制的相互作用使NCS的分析和設(shè)計(jì)變得非常復(fù)雜。基于網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)給信號(hào)處理、通信技術(shù)和控制技術(shù)等提出了新的挑戰(zhàn)。近年來，眾多學(xué)者對(duì)NCS的研究非常活躍，如NCS的穩(wěn)定性分析與控制綜合、最大時(shí)延上界的求取等，它們統(tǒng)稱為基于網(wǎng)絡(luò)的控制，也被確定為控制領(lǐng)域的關(guān)鍵研究方法之一[9]。

網(wǎng)絡(luò)時(shí)延是導(dǎo)致NCS性能下降的主要原因，同時(shí)，系統(tǒng)建模誤差和工作環(huán)境的變化也導(dǎo)致系統(tǒng)存在不確定性，因此，考慮具有網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和不確定性的NCS的分析和設(shè)計(jì)是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)[6，10]。文獻(xiàn)[9]將NCS中誘導(dǎo)延時(shí)、丟包和數(shù)據(jù)包錯(cuò)序等問題表示成最大允許時(shí)延的NCS綜合模型，考慮外界擾動(dòng)下不確定性系統(tǒng)的魯棒分析和綜合問題。但是在系統(tǒng)綜合分析時(shí)，必須事先指定一些參數(shù)，且這些參數(shù)只能采用試湊的方法，因此給系統(tǒng)帶來很大的保守性。

文獻(xiàn)[11]中為了處理上的方便，在構(gòu)造Lyapunov?Krasovskii泛函時(shí)，利用牛頓?萊布尼茨公式對(duì)泛函中的雙積分項(xiàng)進(jìn)行了模型變換，變換的目的是產(chǎn)生積分項(xiàng)，使得交叉項(xiàng)和二次型積分項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)，對(duì)交叉項(xiàng)的界定抵消泛函導(dǎo)數(shù)中的二次型積分項(xiàng)，獲得了時(shí)延相關(guān)的系統(tǒng)穩(wěn)定條件；但是，此變換將導(dǎo)致變換后的系統(tǒng)產(chǎn)生新的動(dòng)態(tài)而與原系統(tǒng)不等價(jià)，使得系統(tǒng)結(jié)果變得保守[9]。文獻(xiàn)[12]把數(shù)據(jù)包丟失情況作為不確定性處理，考慮網(wǎng)絡(luò)時(shí)延有上界，并通過引入自由權(quán)矩陣消除了交叉項(xiàng)， 但是自由權(quán)矩陣的引入會(huì)需要耗費(fèi)更多的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間。

本文考慮最大允許網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延下界不為零及系統(tǒng)帶有不確定性的情況，并采用更具一般性的狀態(tài)反饋控制器。引入積分不等式方法，通過對(duì)泛函中的二次型積分項(xiàng)直接進(jìn)行界定，避免了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模型變換和對(duì)交叉項(xiàng)的界定所帶來的保守性，推導(dǎo)出使閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件。

1 NCS問題描述

考慮被控對(duì)象具有時(shí)變結(jié)構(gòu)不確定性，可表示為如下狀態(tài)方程：

[xt=A0txt+B0tutxt=?t] （1）

式中：[xt?Rn]是狀態(tài)向量；[ut?Rm]是控制輸入量；系統(tǒng)矩陣[A0t，B0t]是時(shí)變的，且有如下形式：

[A0tB0t=A B+DFtEa Eb]

式中：[D，Ea和Eb]是具有合適維數(shù)的常數(shù)矩陣；[Ft]為具有Lebesgue可測(cè)元素的未知實(shí)矩陣，滿足如下關(guān)系：[FTtFt≤I，?t，] 其中，[I]是合適維數(shù)的單位矩陣。

為方便分析，先做如下假設(shè)：傳感器采用時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)方式，而控制器采用事件驅(qū)動(dòng)方式， T為采樣周期。傳感器在采樣時(shí)刻[0，T，2T，…，nT] 都采樣數(shù)據(jù)并給數(shù)據(jù)包打上時(shí)間標(biāo)簽向控制器發(fā)送，如圖1所示。

經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)時(shí)延[τsc]后，控制器收到數(shù)據(jù)后立即進(jìn)行計(jì)算，控制器計(jì)算時(shí)間為[τc]，計(jì)算出控制信號(hào)后向執(zhí)行器發(fā)送，經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)時(shí)延[τca]后控制信號(hào)到達(dá)執(zhí)行器，在此過程中始終保持系統(tǒng)時(shí)鐘同步。采用狀態(tài)反饋控制器：

[uct=Kxct-τc] （2）

式中：[xct?Rn]是控制器的輸入量；[uct?Rm]是控制器的輸出量；[K∈Rm×n]是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

則可知執(zhí)行器收到的控制信號(hào)為：

[ut=uct-τca=Kxt-τsc-τc-τca] （3）

假定網(wǎng)絡(luò)時(shí)變時(shí)延[τ=τsc+τc+τca≤γ]，[γ]是從傳感器到執(zhí)行器之間的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延上界。綜合式（1）～式（3），網(wǎng)絡(luò)控制閉環(huán)系統(tǒng)就可表示為：

[xt=A+DFtEaxt+B+DFtEbKxt-τxt=?t， t∈-γ，0] （4）

2 NCS魯棒穩(wěn)定性分析

為了對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，引入幾個(gè)定理：

引理1 Schur補(bǔ)[12]：對(duì)于給定的對(duì)稱矩陣[S=ST=S11S12?S22，]其中，[S11∈Rn×n] 。以下三個(gè)條件是等價(jià)的：

[S<0； S11<0，S22-ST12S-111S12<0；S22<0，S11-S12S-122ST12<0] （5）

引理2 給定具有適當(dāng)維數(shù)的[9]矩陣[Q=QT，H，E，]則[Q+HFtE+ETFTtHT<0] 對(duì)所有滿足[FTtFt≤I]的[Ft]都成立的充要條件是存在一整數(shù)[ε>0，]使得下列不等式成立：

[Q+ε-1HHT+εETE<0] （6）

Park不等式[12]：對(duì)任意給定向量[α，b∈Rn] ，矩陣[M∈Rn×n]，則以下不等式成立：

[-2aTb≤abTRRM?MTR+IR-1RM+Iab] （7）

定理1 對(duì)于給定標(biāo)量[ε>0]，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣[P，R]及矩陣[X=M1M2，][γ>0，]使以下不等式成立，則NCS閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

且有：

[T00T<1γR00R] （20）

即可用求解器gevp求得最大時(shí)延上界。

3 系統(tǒng)仿真

取定系統(tǒng)參數(shù)為[11]：[A=-0.2-10.4-0.4，][BK=-0.2-0.40-0.5]，[D=1001]，[Ea=Eb=0.2000.2，]取時(shí)變時(shí)延[τ=hsin100t，h<γ，]得傳感器采樣周期為0.1 s。

用Matlab的gevp求解器可得最大時(shí)延上屆[γ=3.028]，即時(shí)延[0≤τ≤0.330 2]。

取[ε]=1，[γ=0.3，h=0.2]，用feasp求解器驗(yàn)證可行性，可得tmin=-0.035 9，正定矩陣：

[P=0.305 50.039 10.039 10.790 7， R=0.411 30.007 60.007 60.697]

矩陣：

[M1=-0.7240.058 70.058 7-0.728 2， M2=1.012 60.058 5-0.220 40.789 2]

系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示，從圖2中可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)很快趨于穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)具有時(shí)變時(shí)延和不確定性的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，通過引入積分不等式方法，對(duì)Lyapunov?Krsasovskii泛函中的二次型積分項(xiàng)直接進(jìn)行界定，避免了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模型變換和對(duì)交叉項(xiàng)的界定所帶來的保守性，推導(dǎo)出使網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件。并給出滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件下的最大允許時(shí)延上界的求取方法，最后的仿真算例表明了該結(jié)論的有效性和可行性。

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