基于柔性形態學濾波優化的周期性噪聲消除算法

摘 要： 針對周期性噪聲濾波易產生圖像失真與降噪效果不佳等問題，提出一種柔性形態學濾波的周期性噪聲消除算法。在數學形態學的思想上，構建了一種柔性形態學濾波器，利用形態學開?閉運算和閉?開運算相結合，提高濾波器噪聲抑制性能。并利用粒子群優化耦合被動聚集技術，改進信息共享機制，對柔性形態學濾波器的五個主要參數進行優化，輸出最優值，從而消除周期性噪聲。實驗結果表明，與當前降噪技術相比，所提算法對周期性和混合性噪聲具有更強的魯棒性，在消除噪聲的同時也較好地保護了圖像細節信息。

關鍵詞： 周期性噪聲； 柔性形態濾波器； 粒子群優化； 信息共享； 被動聚集

中圖分類號： TN911.7?34； TP391 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）21?0070?05

Periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering optimization

WEI Xing， JIAO Pengpeng， SHI Yong

（Nanjing Normal University Taizhou College， Taizhou 225300， China）

Abstract： In order to solve the image distortion and poor noise reduction effect of the periodic noise filtering， a periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering is proposed. On the basis of the mathematical morphology thought， a soft morphological filter was constructed. The combination of morphology open?close operation and close?open operation is used to improve the noise suppression performance of the filter. The technology of using particle swarm optimization to couple the passive congregation is used to improve the information sharing mechanism， optimize the five main parameters of soft morphological filter， output the optimal value， and eliminate the periodic noise. The experimental results show that， in comparison with the available noise elimination technology， the proposed algorithm has stronger robustness for periodic and mixed noise， and protects the image detail information while removing the noise.

Keywords： periodic noise； soft morphological filter； particle swarm optimization； information sharing； passive congregation

0 引 言

周期性噪聲是一種常見的噪聲，由于數據收集設備中的電子干擾和影響，周期性噪聲廣泛存在于圖像中，對周期性噪聲的消除和降低是圖像處理過程中的基本問題。傳統的周期性噪聲消除一般利用諧波濾波器或者自適應濾波，由于失真等原因，周期性噪聲并非單一頻率，其基波具有一定帶寬，并且包含豐富的諧波分量等其他噪聲干擾，若處理不當就可能在濾除噪聲的同時造成圖像失真或降噪效果不理想[1?2]。因此，Eng等提出了一種噪聲自適應轉換中值算法[3]，將圖像的每個像素點進行檢測分類，在噪聲密度較小時能夠有效去噪，但噪聲密度超過一定值時去噪效果不理想。Buades等提出了非局部均值去噪方法[4]，利用圖像中全局信息，計算鄰域像素的權值，并將每個像素點的鄰域與所有像素點進行對比，避免了傳統鄰域濾波中產生的偽影，又保留了邊緣細節特征，但該方法計算量非常大，耗時長，對周期性噪聲損壞的圖像恢復效果不理想。黃戰華等研究了一種在有復雜圖像中進行單一紋理提取的算法[5]。采用極坐標方法分析紋理頻譜特征并求出紋理分布的周期和方向，然后在頻域中對紋理頻譜進行濾波，再將濾波后的頻譜圖像轉換到時域中就得到了只保留相應紋理成分的圖像，該方法可以準確提取出圖像中的單一紋理，但在在紋理分布不均勻的區域效果欠佳。

針對周期噪聲的特點，本文在數學形態學的基礎上，提出了一種柔性形態學濾波算法。通過形態學開?閉運算和閉?開運算，提高濾波器噪聲抑制性能；利用粒子群優耦合被動聚集技術（PSOPC）進行優化改進，提出一種適合于周期性噪聲的形態學濾波的PSOPC優化算法，對構成的柔性形態學濾波器的主要參數進行優化，提高了降噪質量。最后測試了本文算法的降噪性能。

1 柔性形態學濾波器

數學形態學是一種非常重要的理論，其算法由集合論算法定義，因此，用數學形態學方法處理的圖像必須首先將其轉化為集合[6]。數學形態學是用具有一定結構元素表示圖像的形態，并進行圖像處理。它是將一個集合轉化為另一集合的算法，這種轉化的目的是尋找原始集合的特征，這種轉換是靠具有一定特征的結構元素去實現，因此得到的結果與結構元素的一些特性有關[7]。

在標準數學形態學的基礎上進行擴展和演變得出了柔性形態學，將標準形態學中的最小和最大運算替代為柔性形態學中排序統計運算[8]，在柔性形態學中，結構元素被分成兩個子集：硬核和柔性邊緣。

柔性形態學基本思想是假設集合[A，B?Z2，][A?B，][B]被分成兩個子集合：硬核[A]和柔性邊緣[B-A，]輸入圖像[f]的柔性膨脹和侵蝕可通過結構元素[[B，A，k]]定義如下：

[f⊕[B，A，k]=maxkk?（f（x-α）+A（α））α∈DA?f（x-β）+B（ββ∈DB-A）] （1）

[fΘ[B，A，k]=minkk?（f（x+α）-A（α））α∈DA?f（x+β）-B（ββ∈DB-A）] （2）

式中：[⊕]和[Θ]為膨脹和侵蝕運算符號；[maxk]和[mink]分別為集合中第[k]次的最大值和最小值；[DA]和[DB-A]分別表示[A]和[B-A]的定義域；[?]表示重復操作符。[f（a）]重復操作[k]次，則：

[k?f（a）=f（a），f（a），…， f（a）] （3）

式中[k]為重復次數。

[f]和[[B，A，k]]的形態學開和閉以及梯度操作可定義如下：

[f°[B，A，K]=（fΘ[B，A，K]）⊕[B，A，K]] （4）

[f?[B，A，K]=（f⊕[B，A，K]）Θ[B，A，K]] （5）

[G（f）=（f⊕[B，A，K]）-（fΘ[B，A，K]）] （6）

式中：[°]，[?]及[G（f）]分別表示開運算、閉運算和形態學梯度。

形態開操作是先腐蝕后膨脹，而形態閉運算是先膨脹后腐蝕；形態開運算可對圖像輪廓有平滑作用，去掉尖細的突出部位，形態閉操作也能對圖像的輪廓平滑，能夠消除小洞，填補輪廓上的縫隙[9]。

因此，通過構造形態開?閉和閉?開運算來濾除信號的正負脈沖噪聲。但是，由于開運算的收縮性會使噪聲開?閉濾波器的結果偏小，閉運算的擴張性會造成閉?開濾波器的結果偏大 ，因而存在統計偏離問題，直接影響到濾波器的噪聲抑制性能。故本文采用一種開?閉和閉?開結合的平均柔性形態濾波器，用于噪聲的非線性濾波，降低統計偏離問題：

[fsoft=f°[B，A，2]+f?[B，A，2]2] （7）

2 基于PSOPC的柔性形態濾波器優化

模型（7）描述的為平均柔性形態濾波器，是一種最簡單的形式，為擴大其適用性，故將模型（7）進行演變形成通用的柔性形態學濾波器：

[fsoft=γ?f°[B，A，k]+φ?f?[B，A，k]] （8）

式中：[0<γ<1，][0<φ<1，][γ+φ=1]。從式（8）可知，[γ，][φ，][k，][A，][B]對所構建的柔性形態濾波器有直接的影響作用，因此，為取得理想圖像去噪效果必須對上述參數進行優化，本文利用[PSOPC]技術對上述5個參數進行參數優化計算。

2.1 PSOPC

粒子群優化（PSO）是利用一種信息共享機制來尋找最優解，PSO具有全局搜索性的優化算法，利用優化算法進行結構元素的選取，在最大迭代次數之內，獲得信噪比最大的粒子參數，具體過程描述如下[10]。假設[M]個粒子在搜索空間飛行，每個粒子都有對應的位置和速度，分別用[Si]和[Xi]表示第[i]個粒子的位置和速度，第[i]個粒子的最優位置為pb，全部粒子的最優位置為pg，在加速粒子群優化算法的基礎上，用隨機加權加速度在每個時間內趨近pb和pg的位置，如圖1所示。

圖1中，[X（k）]為當前粒子位置；[X（k+1）]為修正粒子位置；[V（k）]為當前點粒子速度；[V（k+1）]為修正速度；[Vpb]為當前粒子最優值；[Vpg]為全部粒子最優值。每個粒子都試圖用這些信息來修改它的位置，例如介于當前位置和pb之間的各自距離，介于當前位置和pg之間的距離，每個粒子的速度使用以下公式進行適當的修正[11]。

[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）] （9）

[Xi（k+1）=Xi（k）+Vi（k+1）] （10）

式中：[Vi（k）]為第[i]個粒子的第[k]次速度；[Xi（k）]為第[i]個粒子的位置；[pbi]為第[i]個粒子的最優位置；pg為整體最優位置；[c1]和[c2]為已知數，范圍為0～4；[r1]和[r2]為介于0～1之間的隨機數；[W]為慣性權重（一般取[W=0.7]）。根據式（9）可分析，每一維粒子速度受到預定義范圍[[0，Vmax]]的限制，如果速度有超過這個范圍的趨勢，那么將會限定在[Vmax]。

PSOPC是一種PSO與被動聚集相結合的新技術，一個集合中的成員可以做出反應，并且無需直接檢測環境中的輸入信號，因為他們可以從鄰居那里得到充分的信息，個體需要監視周圍環境與他們直接相關的鄰居，比如鄰居的位置和速度，因此，集合中的每個個體都能夠從其他成員那里得到多種潛在信息，這樣可以最大限度地減少漏檢率和誤檢率，在被動聚集中，群組成員不僅能夠從環境中獲取必要信息，同時也能夠從其相鄰成員中獲取。因此，群組中的個體具有更多獲取信息的選擇，有助于降低漏檢率和錯誤解釋。根據PSO中的公式（9）進行演變，可得出PSOPC表達式：

[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）+c3×r3×Ri（k）-Xi（k）] （11）

式中：[Ri]為從群中隨機選取的粒子；[c3]為被動聚集系數，一般取[c3=0.6]；[r3]為在[[0，1]]范圍內的均勻隨機數。對于單峰函數，PSOPC算法比PSO具有更好的試驗結果，算法精度和收斂性明顯優于PSO算法。

2.2 柔性形態學參數優化

通過式（8）分析得出，為對柔性形態學濾波進行優化，因此，需要優化的參數為：結構元素的大小；硬核和柔性邊界的形狀；重復操作次數[k；]權重系數[γ]和[φ]。

由于結構元素越大，輸出越模糊不清，因此，結構元素大小限制在[3×3]到[5×5]范圍內，考慮到對稱性，因此，結構元素的硬核可通過以下進行選擇：

（13）

根據結構元素的大小，重復次數[k]為[1，3]或者[1，5]范圍內的整數，[γ]的變化范圍是0～1。

優化過程在以下條件下執行：圖像被選擇為原始圖像，并收到正弦曲線[N（14，30，30）]浸染。當對整數參數優化時，相應粒子的值等概率映射為一個有效的整數。當計算適應度函數時，為了降低算法復雜度，[MSE]只計算圖像的一小部分。對系統進行初始化設置，群的大小設定為30，最大迭代次數為300。通過試驗證明，經過300次迭代后適應度值為419.836 7。優化結果如下：結構元素大小為5×5；結構元素的硬核為模型（13）的第三個表示；重復次數[k=2；]加權系數[γ=0.527，][φ=0.473]。

然而，在相同的環境下進行不同的實驗得出的[γ]和[φ]的優化結果是不同的，通過對30次優化實驗得出[γ]和[φ]值都在0.5左右，因此，根據優化算法的自適應性，加權系數[γ=φ=0.5]。

3 仿真結果與分析

為體現算法的有效性和先進性，與當前算法比較，設置對照組：頻譜中值濾波器[5]，中值濾波器[3]，均值濾波器[5]，分別設為A，B，C組。借助Matlab 7.0測試本文算法性能。

為評估濾波后圖像的質量，引入兩個評價指標：峰值信噪比（PSNR）和形狀誤差（SE）。

PSNR是定量計算圖像質量的一個重要指標[12]，其定義如下：

[PSNR=20lg255MSE] （14）

其中，均方差[MSE]可通過適應度函數計算：

[MSE=1MNi=1Mj=1NIo（i，j）-If（i，j）2] （15）

式中：[Io（i，j）]和[If（i，j）]分別表示原始圖像和濾波圖像；[M]和[N]為圖像的尺寸大小。

SE是評價濾波器對在保持圖像細節方面的能力[12]，表示如下：

[SE=1MNi=1，j=1M，N（p，q）∈EIo（i，j）-Io（p，q）-If（i，j）-If（p，q）χ] （16）

式中：[Io（i，j），][Io（p，q）]和[If（i，j），][If（p，q）]分別表示原始圖像和濾波圖像，[E]為掩模元素。

3.1 周期性噪聲去除

在本文中，將常見的正弦曲線噪聲添加到原始圖像中，正弦曲線噪聲作為一種常見的周期性噪聲，可定義為[N（ω，θ，τ）]，其中，[ω]，[θ]，[τ]分別表示正弦曲線噪聲的頻率，角度和振幅，[θ]的變化范圍為[[0，180°]]，[τ]為在噪聲影響下的圖像灰度值的變化，[τ=0]時表示無任何噪聲。原始圖像和添加正弦曲線噪聲[N（14，30，30）]的結果如圖2所示。

圖3為利用四種不同濾波方法對正弦曲線噪聲[N（14，30，30）]去除的實驗結果。圖3（a）為優化柔性形態濾波器，圖3（b）為頻譜中值濾波器，圖3（c）為中值濾波器，圖3（d）為均值濾波器。

通過圖3可以看出，圖3（c）和3（d）采用的中值濾波器和均值濾波器對噪聲基本消除效果不明顯，圖3（a）的柔性形態濾波性能優于圖3（b）的頻譜中值濾波器。

圖4為不同濾波結果的PSNR比較，其中圖4中橫坐標為正弦曲線噪聲[N（ω，30，30）]的周期長度[1ω]從2～12的變化過程。從圖4可以看出，隨著[1ω]的增加，PSNR不斷降低，但是頻譜濾中值濾波例外，主要是因為用于柔性形態濾波器中結構元素的大小和中值濾波器中的窗口無法足夠覆蓋噪聲。相反地，由于噪聲峰值檢測過程，頻譜中值濾波器的PSNR維持在一個很高的水平。當周期噪聲頻率較高時，其性能比頻譜中值濾波優異。由于頻譜中值濾波對多頻率敏感度弱于優化柔性形態濾波，因此，當頻率較低時，頻譜中值濾波的效果比優化柔性形態濾波好。

圖5為四種濾波器得到的圖像形狀誤差結果，隨著[1ω]的增加，形狀誤差不斷增加，表示圖像細節保持能力越弱，從圖5得出，均值濾波器得到的形狀誤差最大，表示其對圖像細節信息保護能力最差，本文算法與頻譜中值算法在圖像細節保護上做得較好，能夠在對噪聲去除的同時保護圖像細節。

3.2 混合噪聲去除

在實際生活中，圖像中一般既含有周期性噪聲又存在隨機噪聲（例如高斯白噪聲），稱作為混合噪聲。因此，必須計算各濾波器對混合噪聲降低的能力。

假設圖像受到周期性噪聲[N（ω，30，30）]和高斯白噪聲（均值為零，方差為0.01）的浸染，通過之前提到的四種不同濾波方法處理，其仿真結果見圖6。

從圖6可以看出，本文算法對混合噪聲具有較好的消除作用，頻譜中值濾波器不能有效去除高斯白噪聲，而其他中值濾波器和均值濾波器僅對高斯白噪聲抑制性能較好，對混合噪聲的抑制不夠理想。

圖7和圖8分別為四種濾波器對含有混合噪聲的圖像處理后的PSNR和SE測試結果。從圖7可以看出，當添加高斯白噪聲和正弦曲線噪聲后，相對于周期性噪聲濾波，四種濾波器的PSNR都下降很明顯，說明四種濾波器對混合噪聲的消除效果無正弦周期性噪聲。另外，從圖7和圖8看出，在對混合噪聲濾波中，本文算法整體性能優于其他三種濾波方法。

4 結 論

本文討論了柔性形態濾波器對周期噪聲去除的性能，利用PSOPC技術對濾波器進行優化。通過實驗得出，為提高去噪算法的適應性，采用PSOPC優化技術搜索柔性形態濾波最優值，通過計算結構元素的大小和形狀以及重復參數與加權系數，通過在PSO中引入被動聚集，粒子通過其相鄰關系能獲取更多信息，從而避免誤判斷更新方向的風險。

在本文所討論的方法中，優化柔性形態濾波器在周期噪聲去除和微小形狀保留以及耗時方面表現較好，在PSNR表現上明顯優于平均柔性形態濾波；與均值濾波器比較，優化柔性形態濾波器在細節保留和降噪能力方面更勝一籌；雖然優化柔性形態濾波器在噪聲去除方面不如頻譜均值濾波器，特別是在噪聲頻率低時，但是其耗時更低，此外，頻譜均值濾波器依賴于參數的選擇，目前其參數的選擇還沒有具體研究。

參考文獻

[1] 曲軍陶，李凌慧，周亞麗.基于FFT的多周期噪聲的濾波?X算法研究[J].現代電子技術，2014，37（1）：104?109.

[2] SILVA R D D， MINETTO R， SCHWARTZ W R. Adaptive edge?preserving image denoising using wavelet transforms [J]. Pattern analysis and applications， 2013， 16（4）： 576?580.

[3] DUAN F， ZHANG Y J. A highly effective impulse noise detection algorithm for switching median filters [J]. IEEE signal processing letter， 2010， 17（7）： 647?650.

[4] BUADES A， COLL B， MOREL J M. A non local algorithm for image denoising [C]// Proceedings of 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. [S.l.]： IEEE， 2005： 60?65.

[5] 黃戰華，劉正，羅文斌.基于頻譜濾波的多紋理提取算法[J].光電工程，2011，35（8）：51?55.

[6] 雷濤，樊養余，毛力.廣義自對偶形態學濾波器及其在圖像去噪中的應用[J].光電子·激光，2011，22（1）：136?143.

[7] PINGEL T J， CLARKE K C， MCBRIDE W A. An improved simple morphological filter for the terrain classification of airborne LIDAR data [J]. ISPRS journal of photogrammetry and remote sensing， 2013， 77： 21?30.

[8] 董紹江，湯寶平，陳法法.粒子群優化的多尺度形態濾波器消噪方法[J].重慶大學學報，2012，35（7）：7?12.

[9] 黃鳳崗，楊國，宋克歐.柔性（soft）形態學在圖象邊緣檢測中的應用[J].中國圖象圖形學報，2000，5（4）：284?287.

[10] MALAN K M， ENGELBRECHT A P. Characterising the searcha?bility of continuous optimisation problems for PSO [J]. Swarm intelligence， 2014， 8（4）： 275?302.

[11] 曹炬，陳鋼，李艷姣.多策略粒子群優化算法[J].計算機工程與科學，2014，33（9）：1510?1515.

[12] 王利朋，劉東權.基于粒子群算法的柔性形態學濾波器[J].計算機應用，2010，30（10）：2811?2814.

[13] 李剛，楊欣，唐庭閣.基于自適應形態學濾波器的布匹瑕疵檢測算法[J].吉林大學學報（信息科學版），2012，30（2）：157?163.