基于四元數法進行發射車不調平瞄準控制

劉顯勤，吳林瑞，趙慧莉

（北京航天發射技術研究所，北京，100076）

基于四元數法進行發射車不調平瞄準控制

劉顯勤，吳林瑞，趙慧莉

（北京航天發射技術研究所，北京，100076）

利用四元數法推導發射車不調平進行瞄準控制的起豎角和回轉角，給出起豎角和回轉角理論確定值計算式的推導過程，并與現有的修正方法進行了比較。研究結果表明，四元素法可以比較簡單地實現不調平進行瞄準控制起豎角和回轉角的解算，用于發射車不調平的瞄準控制。

四元數；不調平；瞄準

0 引 言

傾斜式發射車可以為戰術導彈、火箭彈等提供初始射角和射向（大地坐標系）。進行瞄準時，如果測量值不是絕對角度（如采用軸角編碼器測量起豎、回轉的相對角度），當射向瞄準的回轉軸與水平面不垂直時，會使起豎和回轉運動存在耦合，導致相對測量值的起豎角與大地坐標系的俯仰角、相對測量值的回轉角與大地坐標系的方向角之間存在強非線性關系，這給瞄準特別是高精度瞄準帶來了不可忽視的誤差。通常的方法是進行發射車調平，使回轉平臺的水平度在可接受的范圍內，保證瞄準精度在誤差范圍內。當發射車不平度較大時，要達到較高的調平精度，不但需要較長的時間，而且也對結構受力不利。由于采用調平的方法減小瞄準偏差存在上述問題，因此尋求發射車不進行調平而進行起豎回轉的方法變得相當重要。

文獻[1]、文獻[2]采用歐拉坐標變換進行推導，計算效率問題在推導坐標轉換時進行了簡化處理。本文在只考慮不調平對瞄準的影響的基礎上，采用四元數法對不調平發射車進行起豎回轉解耦，得到了起豎角和回轉角的確定計算式。

1 基本條件說明

設R為導彈瞄準線的單位向量，用來確定瞄準的俯仰角和方向角；設Rm為目標俯仰角和方向角的導彈瞄準線的單位向量。

1.1 定義坐標系

a）回轉平臺坐標系o-x1y1z1：o為回轉機構中心，平面ox1y1為回轉平臺平面，y1軸由車頭方向指向車尾方向，與導彈瞄準線的初始向量在平面ox1y1內的投影重合，z1軸垂直于平面ox1y1豎直向上，右手系確定x1軸；

b）地理坐標系o-xyz：o為回轉機構中心，平面oxy為水平平面，y軸由車頭方向指向車尾方向，與導彈瞄準線的初始向量在平面oxy內的投影重合，是方向角變化量的基準軸，z軸垂直于水平面豎直向上，右手系確定x軸。

1.2 角度變量說明

a）目標高低角ψ：ψ為與水平面的夾角，0～65°之間為正；

b）目標方向角γ：導彈瞄準線在oxy面內的投影與-y軸的夾角，-30～30°，從+z軸看，逆時針為正；

c）x1軸、y1軸與水平面的夾角α、β：從+x1軸與+y1軸的正向看，逆時針為正；由安裝于回轉平面的水平測量儀測量得到；

d）坐標轉換角δ、φ：由o-xyz先繞x軸轉動角δ，得到o-x′y′z′；再繞y′軸轉動角φ，得到o-x1y1z1；從+x軸、+y′軸看，逆時針為正，計算得到；

e）起豎角σ，回轉角θ：進行起豎回轉的角度，從+z軸、+x軸看，逆時針為正，由軸角編碼器測量得到。

2 四元數在剛體轉動中的應用

本文的坐標轉化采用四元數方法進行，本質上與采用歐拉角的坐標變換一致。

所謂四元數是由1個實數單位“1”和3個虛數單位“i”、“j”、“k”組成并具有下列形式的數[3～5]：

四元數的加法、減法與復數的一致；乘法“?”滿足結合律，但不滿足交換律；單位1，i，j，k的乘法規則如下：

剛體轉動的四元數表示：將虛數單位i，j，k與空間坐標系坐標軸的單位向量i，j，k對應起來，剛體向量F繞某軸n轉動?角，n為轉動軸的單位向量。

繞n軸轉動?角的四元數表示為

剛體向量F繞n軸轉動?角后，得到F′：

3 推導解耦的起豎角和回轉角

只考慮不調平對瞄準的影響，作如下假設：

a）水平儀測量平面與回轉平面重合，測量軸為1x軸和1y軸；

b）起豎軸q平行于回轉平面，且垂直于導彈瞄準線，即與1x軸平行。

不調平進行標準控制的起豎角和回轉角的推導流程如圖1所示。按照圖1所示推導流程進行不調平起豎角、回轉角的推導。地理坐標系o-xyz的坐標軸x，y，z的單位向量分別為i，j，k。

圖1 推導流程

3.1 導彈瞄準線的目標單位向量

根據目標高低角ψ 和方向角γ，可得到Rm：

3.2 o-x1y1z1坐標軸單位向量及坐標轉動角

坐標轉動方式為：由o-xyz先繞x軸轉動角δ，得到o-x′y′z′；再繞y′軸轉動角φ，得到坐標系o-x1y1z1；從轉動軸的正向看，逆時針轉動為正。由轉動方式可知，x軸與x′軸重合，y′軸與y1軸重合。

用四元數計算x1軸、y1軸和z1軸的單位向量，坐標轉動角δ 和角φ，步驟如下：

a）計算y1軸的單位向量oy1。

由坐標轉換方式可知，oy1由oy繞x軸轉動角δ

得

到，oy1與y′軸重合，ox = i，oy = j。

繞x軸轉動角δ 的四元數表示為

oy繞x軸轉動角δ 得到oy1，表示為

oy1與水平平面oxy的夾角，即為水平儀測量的角度β，可得到：δ = β。

b）計算x1軸的單位向量ox1。

由坐標轉換方式可知，ox1是由ox繞y′軸轉動角φ得到，其中y′軸的單位向量oy′ = oy1。

繞y′軸轉動角φ 的四元數表示為

ox繞y′軸轉動φ 角得到ox1，表示為

ox1與水平平面oxy的夾角，即為水平儀測量的角度α，可得到：

c）計算z1軸的單位向量oz1。

由坐標轉換方式可知，oz1由oz繞x軸轉動角δ，再繞y′軸轉動角φ 得到，其中ox = i，oz = k，y′軸的單位向量oy′ = oy1。

oz先繞x軸轉動角δ，得到oz′：

oz′再繞y′軸轉動角φ，得到oz1：

綜合以上計算得到：

a）坐標轉換角度：

b）x1軸、y1軸和z1軸的單位向量坐標：

3.3 計算目標起豎和目標回轉角度

根據式（4）、式（13）、式（14）可求得目標單位向量與回轉平臺平面的夾角，即為目標起豎角σm；目標單位向量在回轉平臺平面內的投影與1y-軸的夾角，即為目標回轉角θm。

a）計算目標起豎角σm。

得到：

b）計算目標回轉角θ。

得到：

綜合以上，可得到目標起豎角σm和目標回轉角θm：

其中，求得的θm，從+z軸看，逆時針回轉為正；ψγ、由初始瞄準給出，δφ、由下式得到：

式中 α 和β 由水平儀測量得到。

實際進行起豎回轉的過程中，由于重心的變化會影響回轉平臺的不平度，即水平儀的輸出會有變化。由式（19）、式（20）可知，目標起豎角σm和目標回轉角θm可以根據水平儀測量角α 和β 實時更新。

4 誤差分析

受實際工裝的影響，按照第3節中推導的起豎角、回轉角，最終得到的俯仰角、方向角與目標之間存在一定的誤差。當工裝精度較差時，可能導致最終的俯仰角、方向角不能達到精度要求，因此對工裝有較高的精度要求。

產生誤差的原因有：

a）水平儀測量誤差。由第3節中的推導可知，要求水平測量x1軸、y1軸與水平面的夾角，當測量存在誤差時會對最終的俯仰角和方向角造成誤差。為了便于分析，假設測量y1軸與水平面夾角存在誤差Δ，測量x1軸與水平面的夾角不存在誤差，那么，當方向角為零時，造成俯仰角的誤差最大為Δ。

b）起豎軸的誤差。當起豎軸不垂直于瞄準線或回轉軸時，控制起豎角度為σm角，實際起豎角會小于σm。

假設起豎軸與x1軸存在夾角Δ=30′，起豎角σm= 50°時，實際起豎的角度σs≈49°59′53″，誤差約為7″；當Δ＜10′時，控制起豎角σm= 50°時，實際起豎的角度誤差小于1″。

c）回轉軸的誤差。受安裝影響，實際測量軸與目標軸之間存在1個小的夾角，這樣實際轉動的角度會比測量值大。

假設實際測量的回轉軸與目標回轉軸之間存在小夾角Δ = 30′，控制回轉角θm= 30°時，實際回轉角θs≈30°0′31″；當Δ＜5′，回轉角θm= 30°時，實際回轉的角度誤差小于1″。

5 與現有方法比較

文獻[2]通過實時計算方向角與目標之間的誤差來判斷回轉到位，而俯仰角采用石英加速度計直接測量。在起豎回轉過程中存在一定缺點：如果起豎回轉不能同時到位，就可能需要反復的調節；如當回轉到位停止時，起豎還未到位，起豎會繼續進行，由于回轉平臺不水平帶來的起豎回轉耦合，導致起豎過程影響方向角，因此需要再次進行回轉調節；同理，回轉也會影響俯仰角。

本文給出的是解耦后的起豎角與回轉角，回轉先到位（達到回轉角）時，對應的方向角其實還未達到目標值；當起豎到位（達到起豎角）時，通過起豎與回轉的耦合，方向角和俯仰角達到目標值。起豎先到位的情況也是如此。如果直接測量俯仰角（如采用石英加速度計），那么應當使回轉先到位，俯仰角達到目標值時，方向角也就達到目標值了。

6 結束語

本文采用四元數法進行不調平瞄準，根據俯仰角和方向角的目標值，水平儀測量的回轉平臺的不平度，推導得到解耦后的起豎角和回轉角，分析了工裝精度對實際系統起豎回轉的影響，并與現有方法進行了比較。

在加工和安裝精度滿足要求的情況下，本文提供的解算式，可直接用于傾斜式發射車不調平進行起豎回轉控制的起豎角度和回轉角的解算，不需再進行修正。

[1] 張勝三. 發射車不調平而進行瞄準角修正[J]. 導彈與航天運載技術, 2001(1): 38-42.

[2] 張勝三. 發射車不調平進行瞄準角修正的新方法[J]. 導彈與航天運載技術, 2007(4): 26-28.

[3] 許方官. 四元數物理學[M]. 北京: 北京大學出版社, 2012.

[4] 肖尚彬. 四元數方法及其應用[J]. 力學進展, 1993,23(2): 249-260.

[5] 趙雙明, 郭秋燕, 羅研, 等. 基于四元數的三維空間相似變換解算[J].武漢大學學報: 信息科學版, 2009,34(10): 1214-1217.

Non-adjusting Level Aiming Control of Launcher Based on Quaternion Method

Liu Xian-qin, Wu Lin-rui, Zhao Hui-li
(Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing, 100076)

This paper introduces the derivation of erection angle and rotation angle of non-adjusting level aiming control of launcher based on the quaternion method. The derivation process of theoretical value calculation method of erection angle and rotation angle is given and compared with current correction method. The results show that, the quaternion method can be used to calculate erection angle and rotation angle of non-adjusting level aiming control, used for vertical and rotary control of launcher.

Quaternion; Non-adjusting level; Aiming

V55

A

1004-7182(2016)04-0044-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160411

2015-06-20；

2016-07-08

劉顯勤（1985-），男，工程師，主要從事計算機控制方面研究